Матрица плотности системы N частиц

При исследовании динамических систем обычно требуется знание не полной матрицы плотности системы (6.14), а более простых статистических операторов, зависящих от переменных одной, двух,., ., 5 частиц. [c.102]

Вторичное квантование. В статистической механике приходится иметь дело с волновыми функциями, зависящими от огромного числа переменных, поэтому координатное представление неудобно для практического использования. Квантовые состояния многочастичных систем обычно описываются в представлении чисел заполнения которое также называется представлением вторичного квантования. Главным достоинством этого представления является то, что в нем симметрия Д/ -частичных волновых функций учитывается автоматически путем введения специальных операторов рождения и уничтожения. Действуя на квантовое состояние системы, эти операторы изменяют число частиц в одночастичных состояниях. Как мы увидим дальше, формализм, основанный на использовании операторов рождения и уничтожения, очень удобен для построения операторов динамических величин и приведенных ( -частичных) матриц плотности, которые играют исключительно важную роль в кинетической теории (см. главу 4). Мы обсудим основные идеи метода вторичного квантования, поскольку он будет часто использоваться в книге. Детальное изложение этого метода можно найти в любом современном учебнике по квантовой механике (см., например, [14, 79, 89, 125]). [c.32]

И играет роль эффективного одночастичного гамильтониан. Формально квантовое уравнение Власова (4.1.41) похоже на уравнение движения для системы невзаимодействующих частиц в самосогласованном среднем поле ). Поскольку это поле зависит от одночастичной матрицы плотности, описываемая уравнением Власова динамика может оказаться довольно сложной. [c.256]

Если начальное состояние описывается статистическим ансамблем систем с фиксированным числом частиц то 5 = 1,2,... Для большого ансамбля, который более удобен в теории бозе- и ферми-систем, нужно, в принципе, задать бесконечную последовательность приведенных матриц плотности ). Наконец, статистический оператор ( о) можно попытаться найти, рассматривая эволюцию системы при t < т. е. сам процесс возникновения неравновесного состояния. [c.63]

Матрица плотности (10.1) описывает системы, которые могут обмениваться энергией и частицами с окружающим термостатом, т. е. системы, находящиеся при постоянной температуре и давлении Р большой канонический ансамбль). Термодинамический потенциал Ф определяется из условия нормировки матрицы плотности [c.53]

Если производить очень медленные действия с частицей, например перемещать торцевую перегородку или вводить новые перегородки, то частица может успевать переходить с уровня на уровень и в среднем принимать максвелловское распределение. С точки зрения внешнего мира такая частица ведет себя как малая термодинамически равновесная система. Можно и в этом случае иметь дело с матрицей плотности р х,х ), но соответствующие ей изменения или действия нужно усреднять по промежуткам времени, значительно большим, чем время установления термодинамического равновесия. [c.59]

Предполагается, что частицы различимы. Найти г-представление (Ги. . ., — ...,г м) матрицы плотности ех р — этой системы. Показать, что в пределе й—>0 статистическая сумма 8р (ехр ( —Р )) совпадает с классическим значением [c.158]

Как сказано в замечании к задаче 32, для определения г-представления матрицы плотности может быть использована любая система ортогональных функций при условии, что она является полной. Если частица заключена в ящик объемом и наложены периодические граничные условия, то совокупность [c.198]

Значение матрицы плотности при = Гг = г определяет плотность числа частиц в системе Ы = г, г) (см. IX, (7,19)). Поэтому изменение плотности электронов под влиянием поля есть [c.203]

Симметризованная матрица плотности для системы из N частиц [c.73]

Рассеивающие мотивы атомов иногда можно рассматривать как нек-рые частицы, включённые в однородную матрицу осн. вещества. Тогда ур-ние (2) соответствует т. н. разностной кривой рассеяния (разности интенсивностей излучений рассеянного всей системой и рассеянного матрицей осн. вещества). Если описывать рассеивающие мотивы атомов ф-цией распределения рассеивающей плотности р(г), а плотность частиц матрицы обозначить pj, то разность [c.42]

В квантовой механике роль, подобную роли классической функции распределения >лг, играет матрица плотности р у 3, 41. Например, в координатном представлении матрица плотности системы N частиц является фушщией времени и координат и дискретных спиновых переменных ) частиц [c.206]

Другая причина, существенно отличающая квантовую теорию, связана с симметрией волновой функции системы многих частиц, обусловленной их тождественностью. При этом, если в квантовой системе N одинаковых частиц (ниже в этом параграфе мы ограничимся лип1ь таким случаем) можно пренебречь взаимодействием, то матрица плотности не представляет собой произведения матриц плотности отдельных частиц. Для системы частиц со nimoii половина, подчиняющихся статистике Ферми —Дирака, благодаря детерминантной форме волновой функции матрица плотпости системы невзаимодействующих частиц имеет вид [12] [c.211]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

Величина имеет простой смысл ср. поля частиц системы, действующего на данную частицу, а В, ведёт к увеличению (уменьшению) вероятности сближения двух бозе- ферми-)частиц, изменяя соответств. образом нх взаимодействие. Самосогласованному характеру величины И отвечает зависимость матрицы плотности (3) от решений ур-ния (5), к-рое становится нелинейным и может поэтому иметь более одного набора решений. Так, при выполнения нек-рых условий возможно сосуществование двух решений ур-ния (5), отвечающих однородному и неоднородному состояниям системы, каждое из к-рых устойчиво в своей области плотностей и темп-р. Это соответствует фазовому переходу со спонтанным варушеиием трансляц. симметрий и с появлением волн зарядовой плотности. [c.414]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

При определенных температурах нагрева композиции перед прессованием и определенных режимах этого процесса границы между частицами алюминия исчезают и полученный по такой технологии модифицирующий пруток можно считать композиционным материалом. Такие прутки выполняют роль носителя модификатора — при их введении в расплав алюминиевая матрица расплавлялась и частицы НП оказывались в объеме жидкого металла, минуя контакт с атмосферой. Экспериментально установлено, что независимо от химиче-ското состава НП, их кристаллической системы и класса, элементов симметрии, пространственной группы, структурного типа, периода решетки, плотности, температуры плавления и других рассмотренных параметров все они обладали близким модифицирующим эффектом. Как показали результаты исследований, зарождающая способность частиц НП определяется самой технологией изготовления модифицирующих композиций — совместным прессованием частиц алюминия иНП и способом их введения в расплав. В результате прессования исключительно твердых частиц НП в контакте с алюминием, обладающим высокой пластичностью, происходят его нагрев и дополнительное повышение характеристик пластичности, при этом на поверхности частиц образуется монослой алюминия, который впоследствии и служит подложкой для наращивания кристаллического материала при охлаждении и затвердевании металла. [c.261]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Переходя к кинетической теории плотных квантовых систем с сильным взаимодействием между частицами, мы должны иметь в виду, что динамику многочастичных корреляций и эволюцию одночастичной матрицы плотности теперь приходится описывать, по существу, на одной и той же шкале времени ). Если в начальном состоянии отсутствуют корреляции между частицами, то для восстановления всех долгоживущих корреляций требуется значительное время. Иначе говоря, квантовая кинетическая теория, основанная на граничном условии, которое вводится с помощью квазиравно-весного статистического оператора (4.1.32), будет существенно немарковскощ т. е. в кинетическом уравнении для одночастичной матрицы плотности важную роль будут играть эффекты памяти. Решать немарковские кинетические уравнения очень сложно. В большинстве задач эффекты памяти удается учесть только в первом приближении, т. е., фактически, для слабо неидеальных систем ). Поэтому кажется разумным попытаться сохранить марковский вид уравнений эволюции, расширив набор базисных динамических переменных. В контексте классической кинетической теории эта идея уже обсуждалась в разделе 3.3.4. Теперь мы хотим распространить ее на квантовые системы. [c.288]

Оптические уравнения Блоха. Эволюция двухуровневой квантовой системы во времени описывается кипегнческими уравнениями для матрицы плотности двухуровне ой системы. Оптические уравнения Блоха эквивалентны уравнению для матрицы цлотности и более наглядны эа счет описания эволюции двухуровневой снстемы на языке эволюции частицы со спином 1/2. Для этого вводится вектор псевдоспина (илн вектор Блоха) [c.188]

При квантовомеханич. описании макроскопич, систем всякая физич, величипа является оператором или соответствующей ему матрицей. Понятие статп-стич, усреднения заложено уже в самом аппарате квантовой мехапики. Роль ф-ции распределения играет здесь статистический оператор w (наз, также статистической матрицей, или матрицей плотности). Ф-ла для среднего значения к.-н. физич, величины/ принимает вид /= Sp/u , где Sp — сумма диагональных элементов матрицы. Принципиальное отличие квантовой системы, состоящей из большого числа частиц, по аналогии с классич, случаем, состоит в том, что для вычисления / нельзя пользоваться обычной квантовомеханич, ф-лой 7 = ( 1 з (q)f ( ) dg, поскольку определение волновой ф-ции системы г]) иред- [c.72]

Поведение системы частиц, взаимодействующих с диссипативной подсистемой, необходимо описывать квантовостатистическими методами. Будем пользоваться методом матрицы плотности (статистического оператора, см. гл. Х1П в [5]). С помощью метода матрицы плотности исследуем вначале временное затухание пространственно-однородного электромагнитного поля в кристалле, а затем выясним особенности прохождения через кристалл света фиксированной частоты. Исследование второго вопроса будет проведено в представлении волновых пакетов, которое позволит проследить за пространственным перемещением фотонов и экситонов. При изложении будем следовать работе Серикова и автора [379]. [c.485]

Рассмотрим теперь некоторые операции с запутанными состояниями. Допустим, например, что в синглетном состоянии (379) частица В представляет собой составной элемент более сложной системы С. Если частица В со спином 1/2 находится во взаимодействии с другими степенями свободы системы С, то временную эволюцию полной системы С можно описать как унитарное преобразование с оператором U = ехр[-/Яг/Й], где Я — гамильтониан системы С. Но унитарное преобразование не меняет ни матрицы плотности, ни величины запутывания Е (см. ниже). Более того, любое состояние систем А, С в момент времени i с помощью обратного унитарного преобразования / можно привести к исходной полярной форме Шмидта (383). Таким образом, при унитарных преобразованиях, в частности, при эволюции систем согласно уравнению Шрёдингера величина запутывания Е сохраняется. [c.363]

Основной задачей квантовой статистической механики, как и классической, является проблема многих тел. По существу она сводится к разработке эффективных методов расчета равновесных и неравновесных характеристик системы, состоящей из чрезвычайно большого числа частиц. За последние годы наметился ряд новых перспективных подходов к этой проблеме, связанных с систематическим использованием аппарата теории квантованных полей. Среди них одним из наиболее эффективных является, по-видимому, метод временных температурных функций Грина, представляющий собой естественное развитие аппарата, разработанного первоначально в связи с задачами квантовой электродинамики и мезодинамики. Уже использование динамических функций Грина, определенных как средние по основному состоянию системы, оказалось весьма эффективным при решении некоторых задач статистической физики. Однако только обобщение на случай конечных температур, представляющее собой соединение идей квантовой теории поля и метода матрицы плотности, позволило выявить все возможности данного аппарата. [c.7]

Рассматриваемые в этом параграфе системы — это, по существу, механические системы (точнее, системы слабо взаимодействующих друг с другом частиц с внутренними степенями свободы), взаимодействие которых с термостатом (т.е. с другими частицами ), подобное своеобразному трению, делает их статистическими. Это взаимодействие, как и в 3 гл. 5, будет аппроксимироваться релаксационным членом. Физическая значимость предлагаемых задач неоспорима это ядерный магнитный резонанс (для простоты — в варианте классической теории), открытый и описанный Феликсом Блохом и независимо Парселлом (F. Blo h, Е. Pur ell, 1946) и другими, и двухуровневая система (для нас — единственный пример исследования уравнения для матрицы плотности), рассмотрение которой на аналитическом уровне (в математическом отношении это самый простой пример — две строки и два столбца) удается провести лишь в немногих частных случаях. В отличие от 3 предлагаемый материал обязательным не является. [c.386]

Рассмотрим теперь матрицу плотности для системы из многих тождественных бозе- или ферми-частиц. Введем для удобства индексы D, S и Л, обозначающие соответственно различимый (distinguishable), симметричный (symmetri ) и антисимметричный (antisymmetri ). Рассмотрим сначала случай свободных частиц. Гамильтониан системы равен [c.73]

КВАНТОВАЯ СТАТЙСТИКА, раздел статистической физики, исследующий системы мн. ч-ц, подчиняющихся законам квант, механики. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ, раздел квант, теории, посвящённый изучению систем, состоящих из трёх и большего числа ч-ц. Б квант, механике система из N ч-ц описывается при помощи волн, ф-ции, зависящей как от координат всех ч-ц, так и от всех др. величин, необходимых для задания состояния каждой ч-цы ( внутр. переменных ). Если рассматривается такая система, к-рая явл. частью большой подсистемы, то описание производится с помощью матрицы плотности. [c.263]

Это значит, что для того чтобы затормозить рост зародышей первичной рекристаллизации, стимулируемой разной плотностью дефектов, в центре рекристаллизации и деформированной матрице объемная доля нераство-ренных частиц должна быть больше, а размеры частиц меньше, чем для торможения миграции границ на стадии собирательной рекристаллизации, стимулируемой только стремлением системы к уменьшению энергии границ. [c.352]

Покрытые частицы представляют большой интерес как один из видов ядерного топлива. Применение покрытых частиц для высокотемпературных реакторов на тепловых нейтронах с газообразным теплоносителем рассматривается в последнем обзоре Годдела [13]. Разработка и создание таких реакторов потребовали проведения исследований по технологии нанесения покрытий на частицы. Разработанная технология позволила использовать покрытые частицы во всех высокотемпературных реакторах как в Америке, так и в Европе. Покрытые частицы можно использовать либо с графитовой матрицей, либо в виде плотно упакованной слоистой системы. Простейшей формой покрытой частицы является топливная частица с нанесенным на нее пиролитическим графитом. Пиролитический графит, обладающий высокой плотностью, служит конструкционным материалом5 способным не только замедлять. [c.450]

Наллчие области у матрицы обусловлено тем, что по мере увеличения концентрации , в закритической области плотность кластера наполнителя растет, он поглогцает более мелкие агрегаты и при некоторой концентрации п происходит нарушение непрерывности матрицы как кластера, занимающего весь объем системы. Матрица в свою очередь разбивается на ряд агрегатов, имеющих определенное распределение по размерам и числу частиц. [c.146]

Величина смещения () в силу случайности скорости пульсации V сама является случайной величиной и для достаточно больших интервалов времени можно принять гипотезу о нормальном законе распределения трехмерной случайной функции (О, т. е. вероятности попадания жидкой частицы в момент времени I в точку с координатами х , х . Тогда плотность распределения этой вероятности в системе координат, оси которых являются главными осями соответствуюнцей дисперсионной матрицы, имеет вид [c.18]

Более точно величина О определяется как радиус гирации каждой частицы. Однако тот факт, что наблюдаемую дифракционную картину можно подогнать под эту формулу, отнюдь еще не доказывает, что система действительно состоит из резко очерченных, приближенно сферических объектов, беспорядочно разбросанных в статистически однородной матрице. Это важно иметь в виду при интерпретации рассеяния на малые углы, скажем, в стекле, где спектр флуктуаций плотности или концентрации также может иметь вид (4.31) (ср. [9]). [c.162]

Отлив на словолитной машине тре-буетнетолькопред-варительной регулировки отливного инструмента в отношении кегля, толщины, роста, линии шрифта и т. п. Необходима периодич. проверка системы и линии шрифта в течение всего отлива. Так напр., матрицедержатель и другие части отливного аппарата могут сдать во время работы. От этого изменится положение очка, линия шрифта или размеры литеры. Части отливочного инструмента расширяются от нагрева и сжимаются при охлаждении. Поэтому изменение в нагреве гарта или в охлаждении отливного инструмента вызывает изменения в росте, кегле и толщине литер, в линии шрифта. Словолитец проверяет отлитые литеры при помощи специальных приборов (фиг. 11, а—и) и регулирует соответственным образом нагрев гарта, приток воды, скорость отлива, а также и установочные винты отливного аппарата. Последовательные удары струй горячего расплавленного гарта вызывают износ очка матрицы она выгорает и очко литеры теряет свою четкость. Это обстоятельство требует контроля очка и своевременной смены выгоревшей матрицы на запасную. Наиболее быстро выгорают матрицы из красной меди никелевые и стальные выдерживают очень большие количества отливов. Статистика выносливости матриц неизвестна. В процессе отлива могут получаться литеры различной плотности. Так как неплотные литеры сильно усаживаются в печати и матрицировании, то необходимы контроль плотности отливки и регулировка машины. Необходимо держать возможно низкую температуру и обеспечить достаточную подачу расплавленного гарта насосом, регулируя его ход. Забивание отливных отверстий гарью и затвердевшими частицами гарта уменьшает подачу прочистка их и поддерживание минимальной отлива, соответствующей рецептуре гарта,—обязательные мероприятия. Слишком большая скорость отлива и недостаточная Г вызывают также не плотную отливку и нечеткое очко. При тщательной регулировке отливного аппарата, при правильном подборе рецептуры гарта, t° и ско- [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...