Классификация систем уравнений

Траектории вихрей являются регулярными. Наличие двух инвариантов (2.6) делает систему уравнений (2.2) интегрируемой. Другими словами, введение фазовых переменных, например в полярной системе координат, совпадающей с центром полости, позволяет записать траектории движения вихрей в квадратурах для произвольных начальных положений и их интенсивностей. Такими переменными являются расстояния от вихрей до начала координат Г1 и Г2 и относительное угловое положение вихрей 6 1 — 6 2. Анализ различных траекторий, классификацию типов движений можно найти в работе [15]. [c.456]

В результате мы получили систему уравнений ) для опре-деления допустимых наборов к и, следовательно, уровней энергии и амплитуд. Точнее, речь идет о системе алгебраических уравнений высокой степени по переменным Сложность системы (1.32) затрудняет решение проблем существования и классификации ее решений, которые будут подробно рассмотрены в разд. 1.5 (ср. Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1966). [c.20]

Прежде чем приступить к использованию уравнений в характеристической форме и изучению дальнейших свойств характеристик, проиллюстрируем паши идеи несколькими примерами и покажем некоторые трудности, которые могут возникнуть при классификации систем. [c.119]

При оценке влияния особенностей системы подрессоривания на колебания корпуса наиболее важным является характер зависимости действующих от катков на корпус сил и параметров колебаний корпуса и неровностей пути. Имея в виду дифференциальные уравнения колебаний корпуса (2.60), в основу классификации систем подрессоривания положим характер зависимости сил Р/ от обобщенных координат ф и г и их производных, а также от профиля пути у (д )., [c.47]

Классификация методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Методы численного интегрирования ОДУ являются методами преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические. После дискретизации независимой переменной t система ОДУ [c.235]

Методы решения задач статистической динамики нелинейных систем зависят существенно от сложности системы (например, от порядка дифференциального уравнения, описывающего ее движение), наличия в ней инерционных элементов и обратных связей. Нелинейные динамические системы можно разделить на четыре основных класса в соответствии с классификацией, приведенной в работе [85] (схема). [c.141]

Как уже отмечалось в подразд. 20.3, принцип действия аналогичных элементов пневматических и гидравлических систем одинаков. Это в полной мере можно отнести к пневматическим и гидравлическим машинам. Поэтому уравнения, описывающие работу гидромашин, формулы для определения их основных параметров, характеристики, классификация, подробно изложенные в гл. 12 и 16, справедливы и для пневматических машин. [c.301]

Понятие об уравнении системы. Классификация колебательных систем связана со свойствами операторного уравнения, устанавливающего зависимость между вектором состояния системы и(/) и вектором q(/) воздействий на систему со стороны окружающей среды [c.16]

Классификация параметрических резонансов. Рассмотрим механическую систему, движение которой описывается уравнением (1). При отсутствии параметрического возбуждения уравнение системы имеет вид [c.119]

Дисперсионное уравнение типа (П. 10) полностью характеризует волновые свойства линейных однородных систем и поэтому может быть положено в основу классификации происходящих в них волновых процессов. [c.297]

Bee три корня уравнения (11.1.13) вещественны. Действительно, по математической классификации задача (11.1.11) является задачей па собственные значения для системы линейных уравнений, матрица которой в силу парности касательных напряжений — симметрическая. А собственные значения симметрической матрицы, являющиеся корнями ее характеристического (векового) уравнения (11.1.13), всегда вещественны. Каждому из них соответствует собственный вектор, являющийся в нашем случае решением систем (11.1.11) и определяющий единичный вектор нормали к главной площадке. Если корни различны, то соответствующие им собственные векторы ортогональны и поэтому три главные площадки взаимно перпендикулярны. [c.333]

Приведены классификация автоматических регуляторов и описание их эле.ментов. Разработана статика чувствительного элемента. На базе полученных равновесных кривых выяснены степени неравномерности и нечувствительности, а также найдены причины, влияющие на их величину. Дан вывод линейных дифференциальных уравнений элементов систем регулирования и показан экспериментальный способ определения величины сил трения. Получены дифференциальные уравнения систем. [c.2]

Многие объекты и, соответственно, их механико-математические модели содержат параметры (массы элементов и их размеры, установочные углы и пр.). Таким образом, исследователь имеет дело с некоторым многообразием моделей, которое определенным образом параметризовано. Проведение параметрического анализа изучаемых свойств движения объектов занимает значительную часть содержательной работы механика. Такой анализ позволяет установить классификацию свойств и закономерности их зависимости от параметров. Некоторые из обсуждаемых ниже свойств нелинейных механических систем связаны с вопросами ветвления решений алгебраических уравнений. [c.323]

Работы, проводимые по типизации технологических процессов, базируются на классификации объектов и систематизации показателей для выбора оптимальных технологических процессов. Завершаются эти работы разработкой моделей, которые языком схем, таблиц, уравнениями описывают как сам процесс проектирования, так и свойства объекта проектирования. Таким образом, проводимые в направлении типизации и стандартизации процессов и их элементов работы являются важными предпосылками для перехода к более высокому уровню проектирования — применению автоматизированных систем проектирования технологических процессов на базе средств вычислительной техники. [c.236]

Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости я проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1976, 99, вып. 2, 162—175 [c.143]

Мы приступим сейчас к систематическому изложению теории нелинейных систем и методов исследования и решения нелинейных дифференциальных уравнений, обратив особое внимание на вопросы так называемого качественного интегрирования, о важности которого мы уже упоминали. Однако наша задача будет заключаться не столько в том, чтобы дать математически безупречные доказательства всем высказываемым утверждениям, или в том, чтобы дать исчерпывающую классификацию всех возможных случаев, сколько в том, чтобы пояснить идею качественного интегрирования и развить существующие методы в связи с их применениями к теории колебаний и к некоторым другим вопросам. [c.240]

Характерные свойства автоколебательных систем находят, как мы увидим, свое математическое отображение в нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих эти системы. Поэтому классификация, основанная на характере дифференциальных уравнений, относит автоколебательные системы к классу нелинейных колебательных систем. Кроме автоколебательных систем, мы познакомимся в этой главе также с некоторыми другими важнейшими типами нелинейных систем. [c.109]

В гл. 1 авторы приводят один из возможных методов классификации ракетных двигателей и рассматривают общее уравнение тяги, систему к. п. д. и возможные источники энергии для ракетных аппаратов (химические, ионные, на основе свободных радикалов, синтеза и деления ядер). Следует отметить, что приводимый авторами вывод уравнения тяги на основе интегрирования сил давления полностью соответствует современным представлениям и позволяет более глубоко уяснить физический смысл возникновения тяги и изменения ее на нерасчетных режимах, чем обычный вывод, основанный на теореме импульсов. Определен--ный интерес представляет также подробный анализ полетного к. п. д., в котором наряду с правильным определением этого коэффициента критически рассмотрены распространенные, к сожалению, неправильные представления об этой величине, приводящие к ряду недоразумений в учебной литературе. [c.6]

Эта работа построена так, что, зная основы теоретической механики, дифференциальных уравнений, теории управления, теории вероятностей, а также программирования, читатель может в полном объеме представить проблему диагностики управляемых систем. Все, что описано уравнениями движения и закономерными соотношениями, может быть подвергнуто конструктивной диагностике. Методическая часть книги написана в общем виде применительно к любой управляемой системе, движение которой моделируется обыкновенными дифференциальными уравнениями. Классификация неисправностей, также как модельные примеры по диагностике, даются применительно к конкретным системам управления, математические модели движения которых описаны в литературе. [c.16]

Типовая классификация систем уравнений (2.1.3). Рассмотрим модель Крайко — Стернпиа [19] для ошгсаиия одномерных нестациоиарпых течений с плоской, цилиндрической или сферической симметрией. Так как все параметры зависят только от I п г, система уравнений (2.1.3) в отсутствие массовых сил примет внд [c.46]

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ. Имеет место общая теорема, согласно которой система уравнений (5.3), (5.4), имеющая квадратичный по скоростям интеграл движения, независимый с интегралом энергии, заменой переменных может быть приведена к лиувиллеву виду. Доказательство ее опирается на вычисление собственных значений и подходящую нормировку (ортогональных) собственных векторов квадратичной части второго интеграла относительно ри- [c.189]

В свою очередь, классификация всех полуиростых алгебр Ли сводится к классификации простых алгебр Ли, так как согласно теореме Картана любая полупростая алгебра Ли единственным образом представима в виде прямой суммы попарно ортогональных простых подалгебр. Для простых алгебр Ли удается полностью решить систему уравнений Якоби (1.4) для структурных постоянных на соответствующем классе тензоров и тем самым описать все эти алгебры. В конце прошлого века Киллингом и Картаном были классифицированы комплексные простые алгебры Ли, и менее чем через четверть века после этого Картан установил все их вещественные формы. Знания последних достаточно для перечисления всех вещественных простых алгебр Ли ввиду возможности редукции вещественного случая к комплексному путем комплексного продолжения. [c.21]

Энергетический баланс электроэнергетической системы составляется как соединение энергобалансов топливо, тепло и электроснабжающих систем. Соединяющим эти балансы является комбинированное производство тепловой и электрической энергии на ТЭС и ГЭС. П1рименяя относительные выражения для балансов, МОЖНО получить о бобщенное уравнение для электроэнергетической системы. Это уравнение позволяет анализировать структуру систем и обосновать их классификацию. Все системы делятся на две группы, охватывающие 10 типов. [c.188]

Уравнение (5-26), впервые полученное В. Кеезомом в 1924 г., для фазового перехода в сверхпроводнике аналогично уравнению Клапейрона—Клаузиуса для обычных систем. Температура (при Як = 0) играет в некоторой степени ту же роль, что и критическая температура системы жидкость—пар (обращение в нуль теплоты перехода, скачка энтропии и т.- д.). Однако в критической точке системы жидкость — пар переход не является фазовым переходом второго рода (по классификации Эренфеста). В частности, следует отметить, что в критической точке ряд вторых производных от термодинамического потенциала, таких, как теплоемкость Ср, величины (dv/dT)p, (dvldp)T и др., обращается в бесконечность. [c.123]

Динамические характеристики одномерных систем. Значительная часть средств измерений (например, датчики, согласующие устройства, усилители, фильтры, регистрирующие устройства) представляет собой одномерные линейные стационарные динамические системы. Преобразование сигналов в таких системах удобно характеризовать динамическими характеристиками. К настоящему времени в ГОСТ 8.256—77 ГСИ установлены классификация динамических характеристик (ДХ) средств измерений, основные правила выбора нормируемых динамических характеристик СИ, формы представления ДХ и осиовиые требования к методам нх экспериментального определения. Полными ДХ, янание которых позволяет рассчитать законы изменения выходного сигнала и динамической погрешности при любых законах изменения измеряемой величины, являются дифференциальное уравнение, нмпульсная характеристика, переходная харктеристика, передаточная функция, совокупность амплитудно- и фазо-частотной характеристик (АЧХ и ФЧХ соответственно). [c.99]

Классификация сил. Слагаемые, входящие в левую часть уравнения (1), можно истолковать как взятые с противоположным знаком обобщенные силы, действующие на систему. В левой части последовательно стоят даламберовы силы инерции, силы, пропорциональные обобщенным скоростям [c.89]

Предыдущие задачи, следуя классической терминологии теории колебаний, обычно называют задачами о вынул<денных колебаниях систем с неидеальным источником энергии. Такая л<е преемственность терминологии используется при классификации автоколебаний и параметрических колебаний при ограниченном возбул<дении. Примером параметрической системы с ограниченным возбул<дением является система, изобрал<епная на рисунке и. 3 таблицы. Уравнения движения этой системы имеют вид [21] [c.200]

Далее будут приведены некоторые достаточные условия, когда соответствующие переопределенные системы сводятся к определенным системам, для которых число уравнений совпадает с числом неизвестных функций и которые обладают достаточно широким произволом в решениях. Тем самым устанавливается непустота рассматриваемых классов решений, а построенные конкретные примеры течений доказывают содержательность этих классов. Вопрос о полном анализе совместности переопределенных систем и классификации решений остается открытым. [c.168]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Заметим, что в XX в. получила дальнейшее развитие теория интегрирования уравнения Гамильтона — Остроградского — Якоби методом разделения переменных. Т. Леви-Чивита установил критерий возможной классификации соответствующих динамических задач с любым числом степеней свободы. Найденные им общие условия, которым должна удовлетворять функция Гамильтона для того, чтобы уравнение Гамильтона — Остроградского — Якоби интегрировалось в квадратурах методом разделения переменных, легли в основу позднейших исследований. Ф. Далль-Аква составил классификацию указанного характера для систем с тремя степенями свободы. [c.103]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

При а = О или n = О полная интегрируемость этой системы установлена в работг1Х [176, 180] если = О, это — система типа В (по классификации [180]), а при а = О получаем систему типа (по классификации [176]). Остается невыясненным, интегрируемы ли уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.9) в общем случае (а ф О и ф 0) по-видимому, это верно. [c.393]

Решения линейных и нелинейных систем ) сопоставляли д. М. Гробман и В. А. Якубович (см. Б. Ф. Былов и др., 1966). Иначе асимптотическое сопоставление решений нелинейных систем выполнено А. Н. Еругиным 1961), который дал (1966—1967) классификацию всей совокупности решений нелинейной системы дифференциальных уравнений по их асимптотическому поведению. [c.86]

Основы топологической динамики были заложены Пуанкаре, когда он предложил качественное описание решений дифференциальных уравнений, которые не могут быть решены аналитически. Одним из его ранних достижений была классификация отображений окружности (теорема 11.2.7). М. Морс и Дж. Д. Биркгоф внесли большой вклад в топологическую динамику, пытаясь понять поведение более классических систем (геодезических потоков и гамильтоновых систем). Позднее подход, основанный в большей степени на внутренних свойствах топологической динамики, разрабатывался Г. Хедлундом, Дж. Окстоби и другими. Важная область топологической динамики — теория дистальных расширений X. Фюрстенберга, которая в дальнейшем разрабатывалась Р. Эллисом. [c.21]

Мы уже несколько раз встречались с неподкрученными когомологическими уравнениями (см. 2.9) при доказательстве существования абсолютно непрерывных мер ( 5.1), при описании замен времени для потоков и более общих отношений между орбитальной эквивалентностью и эквивалентностью потоков ( 2.2) и при классификации S -расширений динамических систем (п. 4,2 б). В этом параграфе будет доказан общий результат для гиперболических множеств, который описывает полное множество инвариантов гёльдеровых и С -коциклов. Затем мы покажем, как из этого результата вытекают различные интересные утверждения, касающиеся гиперболических динамических систем. Дальнейшие приложения теоремы Лившица рассматриваются в 20.3 и 20.4. [c.610]

Глава 3 содержит, среди прочего, классификации особенностей границы множества гиперболических дифференциальных уравнений (В. 3. Шапиро и А. Д. Вайнштейн) и особенностей границы множества фундаментальных систем решений линейных дифференциальных уравнений (эта теория М. Э. Казаряна связана со стратификацией Шуберта многообразия Грассмана с бифуркациями точек Вейерштрасса алгебраических кривых и с теорией фокальных многообразий проективных кривых). В этой же главе обсуждаются особенности границы множества неосцилляционных систем (т. е. систем Чебышева) — связь этого вопроса со стратификацией Шуберта многообразия флагов и с порядками Брюа недавно обнаружена Б. 3. и М. 3. Шапиро. [c.9]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Таким образом, оптические свойства кристалла тесно связаны со свойствами симметрии тензора е(со) и с геометрией соответствующей ему квадратичной формы. Исследования в этом направлении приводят к понятию уравнений Френеля, эллипсоида Френеля, оптической индикатрисы (или эллипсоида Пуансо) и волнового вектора соответствующие сведения читатель может найти в классических трудах по электромагнитной оптике [Born, 1972 Klein, 1970 Ландау и Лифшиц, 1982]. На этом пути создана оптическая классификация кристаллов на три класса согласно характеристикам собственных значений тензора е или обратного тензора Двухосные кристаллы в этой классификации — это такие кристаллы, у которых е имеет три разных собственных значения. К классу оптически двухосных кристаллов принадлежат, например, кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической систем. Одноосные кристаллы — [c.62]

Шебехели [321 ввел удобную систему классификации динамического поведения в общей задаче трех тел. Однако, прежде чем перейти к ней, приведем уравнения движения и определим некоторые величины. [c.172]

Необходимо отметить, что приведенная нами схема, связанная с использо-ва 1ием критических показателей а, , 7, 6, помимо своей простоты приобретает дополнительную привлекательность в связи с тем, что экспериментальные значения этих четырех критических показателей (несущественно различающихся у разных авторов) для большого числа дискретных систем и газов оказываются подозрительно (для такой чисто феноменологической классификации) близкими друг к другу, что естественно наводит на мысль о существовании некоторого универсального механизма критических явлений и переходов Л-типа. Однако выяснение этих обстоятельств остается за рамками термодинамического подхода, в котором задание уравнений состояния, являющихся как бы отправным моментом рассмотрения в любой области, включая критическую со всеми ее особенностями, производится-как бы извне (точнее, заимствуется из эксперимента), а не выводится теоретически. Не приводя здесь таблиц значений критических индексов для различных систем, укажем только их характерные значения а 1/8, Д 1/3, 7 4/3, 4,5. [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...