Классификация критических точек

Проектирование построенного многообразия равновесий на пространство параметров является гладким отображением. Теория особенностей гладких отображений (в частности, проекций) доставляет классификацию критических точек типичных отображений (а следовательно, и бифуркаций положений равновесия в типичных семействах). [c.15]

Результаты первых работ Пелагеи Яковлевны по классификации критических точек линий тока в настоящее время настолько хорошо известны, что мы зачастую пользуемся ими как чем-то само собой разумеющимся, не задумываясь, откуда они взялись. Эти результаты вошли в повседневный научный обиход, в частности через знаменитый курс Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля, [c.3]

В настоящей статье дается классификация критических точек линий тока коллинеарного движения в пространстве. [c.13]

II. Л = О U одновременно А = А = А = 0. В этом случае плоскости м = 0, 1> = 0, и = 0 пересекаются но одной прямой, которую назовем критической прямой, так как каждая ее точка является критической. Перенеся начало координат в одну из точек критической прямой, можем написать дифференциальные уравнения без свободного члена. Этот случай характеризуется тем, что О является корнем характеристического уравнения. Пусть (Oi = 0. Тогда один из интегралов будет = С, т. е. одна система поверхностей представляет собой параллельные плоскости. Имеем движение плоскопараллельное, классификация критических точек которого дана в моей статье [3]. [c.23]

Другие примеры. Возможна аналогичная классификация других простых течений около клиньев, основанная на теоремах 2 и 3 н уравнении (3.30). При такой классификации критические точки должны располагаться в полукруге Г. Аналогично можно [c.80]

В этой главе описан начальный отрезок классификации критических точек функций. Эта классификация простейших вырождений критических точек оказалась тесно связанной с классификацией простых групп Ли, группами, порожденными отражениями, и группами кос. [c.11]

ПРИЛОЖЕНИЯ КЛАССИФИКАЦИИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ [c.96]

Здесь описаны приложения классификаций критических точек функций в геометрии, приводящие к лагранжевым особенностям (см. о них в обзоре Симплектическая геометрия , т. 4). Термин каустики, описывающий ответы в этих задачах, заимствован из оптики (каустика, т. е. жгущая —место концентрации световых лучей). Теория лагранжевых особенностей [c.100]

Эта часть утверждения Тома верна и составляет начал общей классификации критических точек функций, изложение [c.124]

Здесь обозначения А,..., Х классов особенностей следуют классификации критических точек функций ([28]), с точностью до Л+-экв -валентности (две функции Л -эквивалентны, если одна из них может быть преобразована в другую подходящей заменой независимых переменных и прибавлением константы). Большинство классов определено в 1.3 — это и т.д. [c.126]

Подобная теория для лежандровых особенностей начинается с более грубой, по сравнению с использовавшейся выше -эквивалентностью, классификации критических точек функций. [c.128]

Критическое состояние — это особое состояние вещества. Если исходить из классификации фазовых переходов, то переход от жидкости к пару (или обратно) в критической точке может рассматриваться как фазовый переход второго рода. Действительно, в критической точке обе фазы идентичны, т. е. имеют равные значения объема и энтропии, а так как ц и з представляют собой частные производные от химического потенциала ф по давлению и температуре, то, следовательно, первые производные химического потенциала в критической точке непрерывны что касается вторых производных химического потенциала, то они обращаются в критической точке [c.242]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

Статья 2 посвящена классификации критических (особых) точек коллинеарного движения в пространстве. Теперь этот вопрос рассматривают в более общем виде как пример классификации особых точек линейных систем [2]. [c.51]

Естественно, возникает вопрос о способах классификации веществ по этим группам, т. е. о критериях термодинамического подобия. Как показывает анализ, существенное значение имеет форма потенциальной кривой вандерваальсовского взаимодействия молекул данного вещества. Причина этого будет ясна, если учесть, что в уравнение состояния входят только те индивидуальные (т. е. зависящие от природы данного вещества) константы, которые содержатся в аналитическом выражении потенциальной энергии вандерваальсовского взаимодействия двух молекул в зависимости от расстояния между ними. Если бы число этих индивидуальных констант не превышало двух, то они могли бы быть исключены (с помощью двух условий, определяющих критическую точку) из уравнения состояния и последнее могло бы быть приведено к безразмерному выражению, не содержащему никаких констант, зависящих от природы вещества. В этом случае закон соответственных состояний был бы общим законом, т. е. был бы справедлив для всех веществ. В действительности число индивидуальных констант, входящих в выражение для потенциальной энергии вандерваальсовского взаимодействия, больше двух. Поэтому единого приведенного уравнения состояния общего для всех веществ не существует и закон соответственных состояний имеет ограниченное значение, т. е. справедлив только для термодинамически подобных веществ. [c.21]

Через каждую точку векторного поля, в которой V О, проходит одна и только одна линия тока и единственная траектория (в предположении, что L J, 1 2 и 1 3 —однозначные и непрерывно дифференцируемые функции). Те точки, где V = О, носят название критических точек. Классификация этих точек дается обычно в общей теории дифференциальных уравнений. [c.90]

Классификация сталей по структуре и их критические точки [1] [c.15]

Ниже приведены нормальные формы для особенностей проектирования тг-мерного лагранжева подмногообразия из 2тг-мерного фазового пространства на тг-мерное конфигурационное пространство для и 5. Этих нормальных форм конечное число, и их классификация связана (довольно загадочным образом) с классификациями простых групп Ли, простейших вырожденных критических точек функций, правильных многогранников и многих других объектов. При тг 6 нормальные формы некоторых особенностей неизбежно должны содержать параметры. [c.418]

Проверка (107.47) и (107.49) для каждой конкретной интересующей нас ветви по всей зоне Бриллюэна позволяет установить значения к, в которых может быть критическая точка. Для каждой такой точки можно установить, является ли она точкой минимума, максимума или седловой точкой. Это можно установить, определяя обращающиеся в этой точке в нуль компоненты градиента. Тип и индекс критической точки определяются характером сингулярности плотности состояний для фононного распределения вблизи критической точки. Эта классификация обсуждается в работах [8, 63, 85]. [c.321]

Затем мы дадим перечень тех критических точек, которые могут быть предсказаны из свойств симметрии. Непосредственно может быть определен симметрический набор критических точек и дана их классификация в соответствии с теорией Морзе. Кроме того, будет дан обзор проведенного анализа критических точек в нескольких кристаллах со структурой алмаза (в германии, кремнии и алмазе), основанного на дополнительной ин- формации о дисперсии фононов, полученной комбинированием детальных расчетов и измерений неупругого рассеяния нейтронов. Вслед за изучением роли критических точек в дисперсии фононов (т. е. в однофононных состояниях) полезно привести результаты подобного же анализа для объединенной, т. е. двухфононной, функции распределения частот в различных кристаллах типа алмаза и сравнить их с имеющимися оптическими исследованиями в двухфононной области энергий. [c.148]

Один из наиболее полно изученных разделов теории особенностей дифференцируемых отображений — исследование и классификация вырождений критических точек функций. Функции общего положения имеют только невырожденные критические точки. Более сложные особенности при малых шевелениях функции исчезают, распадаясь на невырожденные. [c.11]

Чтобы не утяжелять изложение, мы в основном ограничиваемся случаем голоморфных функций, диффеоморфизмов и т. д. Теория практически без изменений переносится на случай вещественных гладких функций, некоторые отличия, появляющиеся в вещественном случае,. мы будем указывать. Классификация вещественных критических точек приведена в п. 2.8. [c.11]

В статье Хессельберга и Свердрупа [1] разбираются различные случаи плоского коллинеарного движения. Полная классификация критических точек плоского коллинеарного движения дана, с помощью различных методов, в статьях Дициуса [2] и моей [3]. [c.13]

На фиг. 16 приведены результаты детальных модельных расчетов дисперсии фононов в Na I [85]. На фигуре показаны положения критических точек и их обозначения по Каро и Харди [85]. Хотя информации, приведенной на фиг. 16, почти достаточно для определения дисперсии фононов в различных направлениях и, следовательно, классификации критических точек по их индексам P x), такой классификации проведено не было, и мы не будем пытаться это делать. Вместо этого мы воспроизводим на фиг. 17 фуцкцию распределения частот, вычисленную [c.199]

Конечная определейность изолированной особенности. Задача классификации критических точек функций состоит в. описании орбит действия группы Ли ростков диффеоморфизмов, на бесконечномерном пространстве ростков функций. Удобно сводить эту задачу к описанию действия конечномерной группы Ли на конечномерном пространстве струй. [c.15]

В настоящем параграфе приведены некоторые методы вычисления матриц пересечения особенностей. Они позволяют получить диаграммы Дынкина для начального отрезка классификации критических точек. В заключение мы формулируем ряд результатов, описывающих группу монодромии в терминах целочисленной решетки, определенной на гомологиях неособого слоя формой пересечения. [c.75]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Здесь описаны некоторые приложения классификации критических точек функций в геометрии, приводящие к лежандро-вым особенностям (см. о них в обзоре Симплектическая геометрия , т. 4 настоящей серии). Теория лежандровых особенностей опубликована в 1974 г. (см. [105], (9]). [c.97]

Уравнение (5-26), впервые полученное В. Кеезомом в 1924 г., для фазового перехода в сверхпроводнике аналогично уравнению Клапейрона—Клаузиуса для обычных систем. Температура (при Як = 0) играет в некоторой степени ту же роль, что и критическая температура системы жидкость—пар (обращение в нуль теплоты перехода, скачка энтропии и т.- д.). Однако в критической точке системы жидкость — пар переход не является фазовым переходом второго рода (по классификации Эренфеста). В частности, следует отметить, что в критической точке ряд вторых производных от термодинамического потенциала, таких, как теплоемкость Ср, величины (dv/dT)p, (dvldp)T и др., обращается в бесконечность. [c.123]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

Если подходить к работе Вилсона с критической точки зрения, то прежде всего следует отметить следующее. В основу классификации характера взаимодействия в жидко-металлических системах автор кладет вид фазовой диаграммы. Это несомненно плодотворный подход, поскольку диаграмма состояния в принципе отражает характер межмолекулярного взаимодействия в том числе и в жидкой фазе. Такой подход к классификации жидких систем был дан много лет назад в трудах акад. Н. С. Курнакова и его школы [1—3]. К сожалению, большой комплекс исследований Н. С. Курнакова по физикохимическому анализу жидких систем, имеющих не только историческое значение, в обзоре Вилсона отражения не нашел. К этому необходимо добавить, что термодинамика в принципе не накладывает ограничений на поведение сплавов в жидкой фазе с точки зрения характера их взаимодействия в твердом состоянии и поэтому к вопросам взаимосвязи, между диаграммами состав — свойство и видом диаграммы состояния следует подходить с учетом изменений характера химической связи при плавлении компонентов и промежуточных фаз, на что нами в свое время было обращено внимание [4] и что нашло отражение в итогах дискуссии по жидкому состоянию, проводившейся Академией наук СССР в 1961 г. [5]. [c.9]

Известно много фазовых переходов первого рода, например переход жидкость — пар в чистом веществе, за исключением критической точки, когда теплоемкость Ср становится бесконечной (см. фиг. 53а). Что касается фазовых переходов второго рода, то известно лишь небольшое число примеров, причем имеются определенные отклонения от схемы Эрепфеста. Рассмотрим, например, случай перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние этот переход описывается кривой равновесия в плоскости переменных II — Т (Я — магнитное поле). Скрытая теплота перехода равна нулю только в точке Н = О кривой равновесия, когда теплоемкость Сц (= Су) испытывает скачок. Как показал Опсагер [4], для двумерного изинговского ферромагнетика при Н = О теплоемкость С и (=Су) логарифмически расходится в точке перехода и непрерывна везде вне ее. Тисса [5, 6] указал, что разложение в ряд Тейлора невозможно, поскольку коэффициенты при производных от ц второго и более высоких порядков для одной илп обеих фаз могут обращаться в бесконечность. Таким образом, первоначальная классификация Эренфеста является в значительной мере неполной. [c.205]

Измерения теплоемкостей дают очень ценный материал для изучения фазовых переходов, а также критических и закритиче-ских явлений. Выше (гл. 12, 4) отмечено, что в области фазовых переходов наблюдается аномальное возрастание теплоемкости. Поскольку измерения теплоемкостей могут быть проведены с весьма высокой точностью, они могут быть использованы как один из наиболее чувствительных методов обнаружения фазовых переходов. Далее, при исследовании фазовых переходов часто бывает важно измерить величину скачка теплоемкости в точке перехода или вблизи критической точки, так как это дает возможность сопоставить экспериментальные результаты с теоретическими выводами. Кроме того, изучение формы кривой теплоемкость — температура в области переходов в твердой фазе может быть использовано для классификации переходов и выяснения их природы, поскольку [c.248]

III. В закритической области (Р>/ кр 2 > р), где нет энергетического барьера между паром и жидкостью (г=0), классификация агрегатных состояний может быть осуществлена лишь на основе вторичных признаков. В частности, будем предполагать, что уравнение линии равновесия фаз пар — жидкость ф(Р, 4)= О продолжено за пределы критической точки как огибающая точек максимума изобар в координатах Ср — Т и, следовательно, в закритической области можно различать (в известной мере условно) состояния жидкости tats) и перегретого пара t>ts). [c.78]

Следует отметить, что ранее предлагалась [95] иная классификация однофононных критических точек для структуры алмаза, однако в то время эксперимент и теория находились еще на начальной стадии развития. Несмотря на это, результаты Бильца и др. [95] довольно близки к более поздним результатам Джонсона и Лаудона [91]. Мы обсудим работу [95] позднее при сравнении теории и эксперимента. В настоящее время наиболее точной представляется интерпретация Джонсона и Лаудона. [c.174]

Для интерпретации этих данных Каро и Харди [123] рассчитали одно- и двухфононную дисперсию фононов в NaF, используя ряд моделей разной степени сложности, учитывающих эффекты ионной поляризации. Как и для Na l, для каждой модели можно вычислить одно- и дву> фононные функции распределения частот и идентифицировать критические точки. На фиг. 26 даны результаты вычисления двухфононной функции распределения частот с выделением критических точек (но без классификации их по индексу) в лучшей из разработанных ав- [c.209]

В главе 2 рассмотрены топологические и алгебро-геометри-ческие аспекты теории критических точек функций. Здесь изложены основные понятия локальной теории Пикара—Лефшеца, то есть учения о ветвлении циклов и интегралов, зависящих от параметров. Подробно исследован основной объект этой теории — расслоение исчезающих когомологий (то есть ветвящихся контуров интегрирования), связанное с критической точкой, и, в частности, множество определения этого расслоения — дополнение к дискриминанту особенности. Мы также рассматриваем связь простых особенностей функций с классификацией [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...