Эллипсоид Пуансо

Движение может быть очень наглядно описано методом Пуансо ). Эллипсоид Пуансо, определяемый уравнением [c.167]

Если осью симметрии тела является главная ось инерции, так что А —В Ф С, то движение значительно упрощается. Эллипсоид Пуансо становится эллипсоидом вращения, и мы опишем движение качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле (подвижной полодии), по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу (герполодии). Нужно различать случаи Л > С и Л < С в первом случае один конус находится вне другого, в последнем — конус полодии (или конус тела) содержит внутри себя конус герполодии (или пространственный конус) ) [c.170]

Следуя Пуансо, изучим движение эллипсоида инерции Э тела относительно неподвижной точки О. Дело в том, что этот эллипсоид жестко связан с самим телом. Положение эллипсоида инерции в пространстве однозначно определяет положение твердого тела. [c.467]

Найденное соотношение является интегралом энергии. Пуансо показал, что, пользуясь интегралами (111.21) и (111.22), можно дать общую геометрическую интерпретацию движения твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции. Чтобы получить результат Пуансо наиболее простым способом, рассмотрим уравнение эллипсоида инерции [c.416]

Таким образом, приходим к следующей, полученной Пуансо, геометрической интерпретации движения твердого тела в случае Эйлера эллипсоид инерции для неподвижной точки катится без скольжения по плоскости, неподвижной в пространстве-, эта плоскость перпендикулярна кинетическому моменту угловая скорость тела пропорциональна длине радиуса-вектора точки касания, а по направлению с ним совпадает. [c.162]

В рассматриваемый момент времепи t мгновенная угловая скорость вращения тела (а(р, q, г) пересекает Рис. 134 поверхность эллипсоида инерции в точке Р, которую Пуансо назвал полюсом. Пусть х, у, z обозначают координаты полюса, тогда [c.186]

Изменение момента инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Эллипсоид инерции (Пуансо). Исследуем теперь изменение моментов инерции относительно различных осей, выходящих из точки О (рис. 181). Примем эту точку за начало координат и пусть а, р, — направляющие косинусы некоторой прямой 03. Квадрат расстояния тр от точки с координатами х, у, г до этой прямой имеет значение От — Ор , т. е. [c.20]

Рассмотрим эллипсоид инерции тела, построенный в неподвижной точке О и пусть Ох, Оу, Ог — главные оси инерции этого эллипсоида. В некоторый момент времени мгновенная ось вращения Ош пересекает поверхность эллипсоида в некоторой точке т, которую Пуансо называет полюсом. [c.160]

Мы пришли, следовательно, к выводу, что эллипсоид инерции постоянно касается неподвижной плоскости П. Точка касания т является полюсом, прямая От — мгновенной осью, а мгновенная угловая скорость ш, равная От п, пропорциональна Оот. Пуансо называет полодией кривую, описываемую полюсом т на поверхности эллипсоида, и герполодией — кривую, описываемую полюсом на неподвижной плоскости II (рис. 228). Конус, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в теле, имеет вершину [c.162]

Установив это, вернемся к движению. Сопоставляя оба способа воспроизведения движения, данных Пуансо, мы видим, что, в то время как центральный эллипсоид катится по неподвижной плоскости П, конус (С ), неизменно связанный с телом, катится по плоскости П, а последняя вращается с постоянной угловой скоростью (А вокруг ОР. [c.173]

Замечание. Следует заметить, что для эллипсоида инерции с центром О движение тела по Пуансо вполне определяется двумя постоянными А и АГ первых интегралов, если отвлечься от ориентировки системы отсчета. Оно определяется также расстоянием Р=ф 2Л А центра эллипсоида инерции от неподвижной касательной плоскости и значением a J = 2Л /( верчения. Если отвлечься от времени, то движение зависит лишь от этого расстояния Р время же, необходимое для перехода от одного положения к другому, непосредственно следующему, пропорционально Ш]. [c.92]

Полодия и герполодия. Движущийся конус. — Мгновенный полюс I, вообще говоря, перемещается по движущемуся эллипсоиду инерции и по неподвижной касательной плоскости (Р). Геометрическое место мгновенных полюсов на эллипсоиде есть кривая, которой Пуансо дал название полодии (дорога полюса), а геометрическое место полюсов на плоскости (Р) получило название герполодии. Точка, совпадающая в каждый момент с мгновенным полюсом, имеет относительную скорость на эллипсоиде, равную ее абсолютной скорости на плоскости, так как скорость переносного движения равна нулю. Эта точка описывает за один и тот же промежуток времени равные по длине дуги на полодии и герполодии отсюда следует, что эти две кривые могут лишь катиться одна по другой. [c.93]

В своей, работе Пуансо дал рисунок герполодии, на котором эта кривая изображена с точками перегиба, лежащими между двумя последовательными точками касания с каждой из указанных окружностей. Позднее было доказано, что если движущийся эллипсоид есть эллипсоид инерции, то кривая не может иметь точек перегиба. Мы приведем здесь простое доказательство этой теоремы. Попрежнему предполагается, что А В С. [c.98]

В движении по Пуансо верчение постоянно, оно представляет собой проекцию вектора (О на направление кинетического момента. Итак, мгновенная угловая скорость со (постоянная по величине) имеет постоянные проекции на ось симметрии эллипсоида инерции и на ось кинетического момента. Следовательно, мгновенная ось вращения составляет постоянные уг.т с осью симметрии эллипсоида инерции и с осью кинетического момента, неподвижной в пространстве. Она описывает, таким образом, в теле конус вращения вокруг оси 02 и в [c.104]

Геометрическое представление Пуансо делает очевидными некоторые из полученных результатов. Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то полодия представляет собой параллель на этой поверхности, а герполодия, лежащая в плоскости (Р), есть окружность с центром Р. Таким образом, оба конуса, неподвижный и подвижной, являются конусами вращения, и так как радиус-вектор р эллипсоида, вокруг которого происходит вращение, остается постоянным, то вращения равномерны. [c.105]

Движение планеты, составленной из концентрических однородных сферических слоев. — В теории потенциала доказывается, что в рассматриваемом случае силы ньютонова притяжения от внешней точки, действующие на планету, имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты, и эта равнодействующая такова, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в этом центре. Таким образом, силы притяжения со стороны Солнца и других планет имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты. Если учитывается только действие Солнца, то центр тяжести планеты движется по траектории, представляющей собой коническое сечение, одним из фокусов которого является Солнце. Движение планеты около своего центра тяжести есть движение по Пуансо. При нашем предположении эллипсоид инерции приводится к сфере, все диаметры которой являются главными осями инерции, а следовательно, представляют собой постоянные оси вращения. Движение планеты около своего центра тяжести приводится поэтому к равномерному вращению вокруг оси, имеющей постоянное направление в планете и в пространстве. В этом случае мы не имеем явлений прецессии и нутации. [c.201]

Геометрическая интерпретация Пуансо дает полное представление о движении тела, не подверженного действию никаких сил. Ориентация неподвижной плоскости Пуансо и ее расстояние от центра эллипсоида инерции определяется значениями Т и L, которые находятся из начальных условий. Задача об определении полодии и герполодии становится тогда чисто геометрической задачей. Направление угловой скорости определяется направлением вектора р, а мгновенная ориентация тела определяется ориентацией эллипсоида инерции, который жестко связан с движущимся телом. Подробное описание рассмотренного движения с позиций картины Пуансо можно найти в ряде различных книг ). [c.183]

Можно также сказать построение Пуансо является непосредственным геометрическим представлением наших уравнений (24.10), так как поверхность эллипсоида инерции по существу тождественна с поверхностью [c.177]

Рис. 42. Построение Пуансо для нахождения относительного положения мгновенной оси вращения w и момента импульса N в случае сплюснутого и удлиненного эллипсоида инерции

Поясним регулярную прецессию при помощи рис. 43. Неподвижную в пространстве ось момента импульса N направим вертикально вверх точку пересечения этой оси с поверхностью сферы единичного радиуса, описанной вокруг центра эллипсоида инерции, обозначим через N. Точки пересечения мгновенной оси вращения и оси фигуры с этой сферой обозначим через R и F. Так как, согласно построению Пуансо, эти три оси должны лежать в меридиональной плоскости, проходящей через точку F, то наши три точки Ни F лежат на одном меридиане, проходящем через неподвижную точку 7V для случая сплюснутого эллипсоида инерции, который здесь подразумевается (рис. 42а), точка N находится между точками F и R. Мгновенное движение является вращением вокруг оси OR. При этом точка F движется нормально к названному меридиану, причем угловое расстояние между точками F и N не изменяется. Таким образом, мы можем изобразить мгновенное перемещение точки F в виде короткой дуги параллели, описанной вокруг оси ON (см. стрелку слева на рис. 43). Следовательно, и точка R должна изменить свое положение, а именно, переместиться так, чтобы все три точки F N и R оставались на одном меридиане, определяе- [c.180]

Это же построение приводит нас непосредственно к введенному Пуансо представлению свободного движения произвольного волчка в случае трехосного эллипсоида инерции. Подобно этому эллипсоиду, [c.181]

Динамическое значение этого эллипсоида, который Пуансо назвал центральным", будет видно ниже ( 44 — 46). [c.66]

Таким образом мы можем дать полное представление о последовательном ходе движения, если мы представим себе, что эллипсоид инерции, имея свой центр закрепленным и находясь всегда в соприкосновении с некоторой неподвижной плоскостью, катится вместе с телом, которое с ним неизменно связано, по этой плоскости с угловой скоростью, пропорциональной в каждый момент времени радиусу 0J, проведенному в точку касания J. Эта замечательная теорема была дана Пуансо 1). [c.113]

В этом отношении работа Пуансо является единственной, если не считать некоторых замечательных выводов, сделанных из нее Сильвестром 1). Самая простая и, может быть, наиболее интересная теорема в этом направлении заключается в следующем. Однородный материальный эллипсоид того же размера и той же формы, как эллипсоид инерции данного тела, имеющий неподвижный центр и катящийся по плоскости, расположенной так же, как и неподвижная плоскость Пуансо, может быть приведен в движение таким образом, что в дальнейшем он будет двигаться совершенно одинаково с данным вращающимся телом. Иными словами, положение главных осей инерции и угловые скорости вращения вокруг этих осей будут всегда одинаковыми в обоих случаях. [c.121]

Доказать, что сумма квадратов расстояний концов главных осей эллипсоида инерции до неизменяемой прямой постоянно. (Пуансо). [c.126]

Для этой цели рассмотрим эллипсоид инерции твердого тела относительно его неподвижной точки О. В каждый момент полупрямая (мгновенная ось вращения), на которой лежит вектор о), предполагаемый приложенным в точке О, будет пересекать поверхность этого эллипсоида в некоторой точке Q, которую Пуансо назвал полюсом (в рассматриваемый момент) (фиг. 11). Далее, на основании равенства, связывающего векторы to и ЛГ (гл. IV, п. 18), мы заключаем, что при движении тела вектор АГ всегда будет перпендикулярен [c.86]

Две кривые, описываемые при движении твердого тела полюсом соответственно на эллипсоиде и на плоскости, называются (по Пуансо) полодией (первая) и герполодией (вторая). Если указаны эти две кривые, то геометрическая картина движения (т. е. картина движения, оставляющая в стороне закон движения во времени) будет определена однозначно. [c.87]

Для оправдания этого названия заметим следующее. При произвольном выборе начальных значений проекций угловой скорости р, q, г или, что одно и то же, при произвольном начальном значении Вектора ш, эти величины изменяются с течением времени в согласии с уравнением 18 ) или с уравнениями (5 ), а также в согласии с условиями качения эллипсоида инерции по плоскости t. Если же начальное мгновенное вращение происходит (при какой угодно величине и стороне) вокруг одной из главных осей инерции, то в силу гех же уравнений (18 ), или уравнений (5 ), или на основании геометрического представления Пуансо угловая скорость ю будет сохраняться неизменной также и в последующие моменты. В конце концов, здесь речь идет о таких же статических решениях, уравне ний (б ), о которых говорилось ранее (гл. VI, п. 17). [c.89]

Оба случая, Xq = уд — Zg — О и и = v = w — О, надо сразу же исключить, так как первый приводит к движению по Пуансо (случай Эйлера) тяжелого твердого тела, закрепленного в его центре тяжести, а второй вследствие соотношений (115) — к твердому телу, имеющему эллипсоидом инерции относительно неподвижной точки сферу, т. е. к частному случаю тяжелого гироскопа. [c.170]

Для твердого тела, находящегося в движении по Пуансо вокруг одной из своих точек О и отнесенного к своим главным осям инерции относительно точки О, эллипсоиды, уравнения которых имеют вид [c.173]

Доказать, что при движении твердого тела по инерции площадь диаметрального сечения этого эллипсоида, параллельная неподвижной плоскости t, с которой согласно представлению Пуансо соприкасается эллипсоид инерции, остается постоянной. [c.173]

Параметрические уравнения полодии. При движении Пуансо мы назвали полюсом точку Q пересечения линии действия угловой скорости <а, приложенной в закрепленной точке О, с эллипсоидом инерции относительно этой точки [c.173]

Обозначим 7г плоскость, касательную к эллипсоиду инерции в точке Р. Ее называют плоскостью Пуансо. Отметим следующие свойства (рис. 98) рассматриваемого движения. [c.194]

Теоремы Пуансо и Сильвестра. Как и ранее, будем предполагать, что центр тяжести G находится в покое. Рассмотрим эллипсоид, связанный с телом и движущийся вместе с ним пусть уравнение его в системе (5123 имеет вид [c.240]

Так как вектор момента количеств движения постоянен, касательная плоскость к эллипсоиду в точке Р ( oi, Шг, Шз) будет неподвижна-, обозначим ее через ш. Таким образом, при свободном движении тела эллипсоид (13.14.1) будет катиться по плоскости со центр эллипсоида при этом будет оставаться неподвижным. Угловая скорость будет равна расстоянию г от центра G эллипсоида до точки Р касания с плоскостью со. В этом состоит теорема Пуансо. [c.240]

Таким образом, оптические свойства кристалла тесно связаны со свойствами симметрии тензора е(со) и с геометрией соответствующей ему квадратичной формы. Исследования в этом направлении приводят к понятию уравнений Френеля, эллипсоида Френеля, оптической индикатрисы (или эллипсоида Пуансо) и волнового вектора соответствующие сведения читатель может найти в классических трудах по электромагнитной оптике [Born, 1972 Klein, 1970 Ландау и Лифшиц, 1982]. На этом пути создана оптическая классификация кристаллов на три класса согласно характеристикам собственных значений тензора е или обратного тензора Двухосные кристаллы в этой классификации — это такие кристаллы, у которых е имеет три разных собственных значения. К классу оптически двухосных кристаллов принадлежат, например, кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической систем. Одноосные кристаллы — [c.62]

Интересное геометрическое истолковяние движения тела в случае Эйлера дал французский ученый XIX века Пуансо, Оказывается, что при движении тела в случае Эйлера эллипсоид инерции тела для неподвижной точки, жестко скрепленный с движущимся телом, катится без скольжения по определенной неподвижной в пространстве плоскости. [c.459]

Правило Пуансо гласит из центра О эллипсоида инерции нужно отложить вектор угловой скорости о и в точке его пересечения с эллипсоидом провести касательную плоскость к последнему. Перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида на эту плоскость, и даст направление вектора момента импульса N. Для доказательства правильности этого построения следует только вспомнить, что для любой поверхности /( ,/ , С) = onst направляющие косинусы нормали к касательной пропорциональны производным [c.176]

С другой стороны, Мак-Куллах 2), преобразовывая представление Пуансо при помощи инверсии относительно сферы с центром в О и радиусом, равным 1 (которая скользит по самой себе во всяком движении вокруг О), заметил, что при движении по Пуансо так называемый гирационный эллипсоид или взаимный эллипсоид инерции [c.88]

Из п. 14 следует, что при движении по инерции тела с гироскопической структурой относительно неподвижной точки оба конуса Пуансо будут конусами вращения. Доказать, что ерли эллипсоид инерции будет сплюснутым, то половина угла при вершине у неподвижного конуса не может превосходить 19 28. [c.173]

Геометрическая интерпретация Пуансо. Как мы видели, полная интеграция уравнений (47.2) должна ввести шесть независимых друг от друга произвольных постоянных ( 260 и 261) мы же до сих пор нашли их только четыре С , Су, С , h. Тем не менее, как показал Пуансо (Polnsot), зная только приведённые выше простейшие ингегралы, мы в состоянии дать вполне - ясную геометрическ Ю картину изучаемого движения. С этой целью рассмотрим снова эллипсоид инерции тела, соответствующий неподвижной точке. Для взятых нами подвижных осей уравнение этого эллипсоида по формуле (26.13) на стр. 275 примет вид [c.525]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...