Гиперболическая система уравнени

Так как в каждом из этих уравнений дифференцирование производится в одном направлении, линии главных деформаций являются характеристиками гиперболической системы уравнений (5.6). [c.50]

С математической точки зрения плоские задачи о динамическом распространении трещин с переменной скоростью сводятся к решению гиперболической системы уравнений (4.2) со смешанными граничными условиями, задаваемыми на плоскости (причем одно условие — сквозное), когда граница, разделяющая области задания смешанных условий, движется с переменной скоростью. [c.492]

Система уравнений (7.1.6) в отсутствие членов, характеризующих излучение, является гиперболической системой уравнений первого порядка в частных производных. [c.358]

Соотношения (1.19), (1-20) приводят к гиперболической системе уравнений относительно компонент скорости перемещения, и уравнение для определения характеристических многообразий совпадает с (1.16). [c.9]

Большое разнообразие в типах анизотропных тел (число констант изменяется от 3 до 21) осложняет их исследование. По большей части рассматривались частные виды сред с небольшим числом констант упругости. Волновые процессы описываются при этом гиперболической системой уравнений с постоянными коэффициентами (для однородной среды). Для анизотропных тел существуют уже не два, а три типа волн. [c.299]

Рис. 70. Характеристики гиперболической системы уравнений

Таким образом, в случае неограниченной области, занятой телом, задача динамической теории упругости сводится к задаче Коши для гиперболической системы уравнений (Д.4). При этом должны выполняться условия на бесконечности. В общем случае эти условия заключаются в ограничениях на поведение вектора перемещений на бесконечности при гоо [c.196]

Рассмотрим сначала общий случай, когда по разные стороны от разрыва действуют различные гиперболические системы уравнений, описывающие процессы перед и за разрывом. Их порядки обозначим через п и п" " соответственно. Пусть число независимых соотношений на разрыве выражено числом N. Тогда, согласно условию эволюционности, число уходящих характеристик должно быть равно — 1. [c.43]

Гиперболические системы уравнений, выражающие законы сохранения, которые описывают поведение сплошных сред, обладают важным свойством. А именно, в качестве формального следствия правильно записанных уравнений сплошной среды можно получить еще одно дивергентное уравнение, которое в большинстве моделей сплошных сред выражает сохранение энтропии в случае непрерывных процессов. В других моделях оно может выражать сохранение механической энергии, как например, в случае изучения волн по теории мелкой воды. Как показано С.К.Годуновым (Годунов [1962], [1978]), это свойство позволяет записать исходные уравнения в изящной форме, в которой число функций, характеризующих систему уравнений, сокращается и становится равным числу измерений (включая время). Кроме того, явное введение энтропии (так будем называть сохраняющуюся в непрерывных процессах величину) позволит изучить изменение ее плотности и производство энтропии на разрыве. [c.71]

Таким образом, при изучении разрывов как пределов непрерывных решений в рассмотрение вводится новая, более сложная модель среды, использование которой приводит к тем или иным выводам, касающимся разрывов. При этом важно, чтобы эта модель соответствовала физике процессов, происходящих в среде. Исходной системой уравнений следует считать эту полную, более детализированную модель, а гиперболическая система законов сохранения возникает как ее предельный случай. Важно при этом отметить, что одна и та же гиперболическая система уравнений может соответствовать различным исходным полным уравнениям и поэтому различным множествам осуществимых разрывов. [c.79]

Существуют случаи, когда структура разрыва может быть описана той же гиперболической системой уравнений, решения которой терпят разрыв. Так обстоит дело для разрывов решений линейных уравнений или для разрывов, соответствующих волнам Римана, не изменяющим при движении своей формы. Однако, в общем случае для того, чтобы можно было построить рещение задачи о структуре разрыва, система уравнений, описывающая структуру, должна отличаться от исходной гиперболической системы уравнений. [c.98]

Уравнения для описания структуры разрыва, должны отражать физику явлений, происходящих в разрыве. Уравнения для структуры могут быть различными для одной и той же исходной гиперболической системы уравнений, разрывы решений которой изучаются (см. 1.5). Однако, уравнения усложненной модели, описывающие структуру, должны быть определенным образом согласованы с гиперболическими уравнениями крупного масштаба. [c.98]

Для этого будем предполагать, что, если характерные времена Г и длины Ь велики, то уравнения, описывающие структуру, переходят в гиперболическую систему уравнений или соответственно в гиперболические системы уравнений, если эти системы различны по разные стороны от разрыва. Будет допускаться, что внутри структуры разрыва может существовать поверхность (для простоты считаем, что таких поверхностей не более одной), при переходе через которую могут терпеть разрыв или обращаться в нуль некоторые коэффициенты уравнений, описывающих структуру. В частности именно это может приводить к упомянутому выше различию гиперболических систем уравнений, действующих по разные стороны от разрыва. [c.98]

Полные системы уравнений для явлений больших масштабов переходят в гиперболические системы уравнений, для которых разыскиваются условия на разрыве. [c.104]

Предположим, что это гиперболическая система уравнений, т. е. имеется два различных характеристических направления аь2, определенных формулой (9.20). Когда (9.18) является системой почти линейных уравнений, т. е. и = и(х, ), А = А (л , 1) В = В(л , ), с = с(л , и), процедура действий будет аналогичной. [c.65]

Рассмотрим процедуру линеаризации разностных уравнений на примере конечно-разностной аппроксимации гиперболической системы уравнений [c.19]

Тогда уравнения (6.13.38) 1,2 и (6.13.39) приводят к следующей нелинейной гиперболической системе уравнений с дисперсией [c.413]

Симметрично-гиперболическая система уравнений 288 Симметрия магнитная 362 [c.553]

Гидравлические прыжки 93, 439 Гиперболическая система уравнений 9, 10, 14, 115—143 [c.607]

Матрицы А и В для гиперболической системы уравнений имеют действительные собственные значения и могут быть приведены к виду [c.220]

Численное решение полученной гиперболической системы уравнений находится маршевым методом [38]. [c.38]

Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78]

Если на границе тела заданы напряжения, то определение напряжений во всех точках тела связано с интегрированием гиперболической системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (IX.11) при известных граничных условиях. Обычно эти уравнения решаются приближенными методами построения полей линий скольжения. Иногда удается построить решение краевой задачи, основываясь только на свойствах линий скольжения. [c.116]

Таким образом, система уравнений (39) и (41) при М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях, имеет два семейства (с+ и с ) действительных характеристик и относится к гиперболическому типу. При М = 1 имеем Р = О, что соответствует двум совпадающим семействам характеристик, и система имеет параболический тип. При М<1, т. е. при дозвуковых скоростях, система не имеет действительных характеристик и является эллиптической. [c.176]

Полученную систему уравнений при решении конкретных задач необходимо интегрировать с учетом конкретных граничных и начальных условий. Система уравнений Эйлера представляет собой систему квазилинейных уравнений первого порядка. В случае На, = О получим основную систему уравнений классической газодинамики. В курсе газовой динамики показано, что эта система гиперболического типа. Поскольку при решении уравнений Эйлера с соответствующими начальными и граничными условиями мы получаем с определенной степенью точности информацию о реальных течениях сжимаемых газовых сред, уместно ввести понятие о математической модели реального явления. [c.135]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени при неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при 1- о° нестационарного-решения при стационарных (не зависяш их от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

Обстоятельное исследование метода характеристик для общ,его случая вихревых трехмерных течений было выполнено В. В. Русановым (1953) еш е до появления возможности использования быстродействуюш,их вычислительных машин. Русанов рассмотрел обш,ие квазилинейные гиперболические системы уравнений и применил полученные результаты к произвольным неустановившимся и установившимся пространственным течениям газа. В последнем случае характеристическая сетка в пространстве строится из элементарных тетраэдров, гранями которых являются характеристические плоскости, подобно тому как в двумерных задачах сетка строится из треугольников. Русанов изложил способ расчета элементарных тетраэдров при решении задачи Коши, при расчете течений около стенки, около свободной поверхности или около ударной волны, а также привел примеры расчета течений по предложенной им схеме. [c.170]

Реальные меченые частицы адсорбируются на стенках поровых каналов. Задача адсорбции из газового потока в пренебрежении эффектом диффузии сводится к решению гиперболической системы уравнений (А. Н, Тихонов, А. А. Жуховицкий и Я. Л. Забежинский, 1946 А. А. Самарский и С, Б. Фомин, 1958). Конечная скорость адсорбции определяет запаздывание процесса. Уравнения переноса при изотерме Генри и при учете диффузии оказываются подобными уравнениям фильтрации однородной жидкости в трещиноватых пластах разрывы в количестве адсорбированных частиц затухают во времени по экспоненциальному закону (Э. А. Бондарев и В. Н. Николаевский, 1962), Ряд относящихся сюда задач исследован Э. А. Бондаревым (1965) и М. И. Швидлером (1965). Имеются работы по диффузионному извлечению веществ из пористых сред Г. А. Аксельруд, 1959 Г. А. Бабалян и др., 1961 Б. В, Дерягин и М, А, Альтшулер, 1962, и др.). [c.646]

Предложенные О. Шнидером (1935) так называемые сопряженные уравнения гидравлического удара (представляющие собой не что иное, как интегралы уравнений характеристик гиперболической системы уравнений гидравлического удара) послужили основой вычислительных алгоритмов для систем любой сложности. Один из них был предложен М. А. Мостковым в серии работ, обобщенных в его совместной с А. А. Башкировым монографии (1952), другой — Н. А. Картвелишвили (1948, 1951). Эти алгоритмы оказались очень удобными для реализации на ЭВМ. [c.721]

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны . Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса к Кортевега — де Фриза (КдФ), на взаимодействии солито-нов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ — простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны. [c.7]

Нелинейной заменой искомых функций, используя алгсбраичность условия текучести, можно систему уравнений Д.ТЯ напряжений, описывающую плоскую задачу, I-вести к квазилинейной гиперболической системе уравнений первого порядка для двух неизвестных функций. При интегрировании этой системы удобно перейти к специальным криволинейным координатам, так называемой сетке линий скольжения, являющимися характеристиками этой системы. [c.115]

В [3.49] (1969) рассматриваются на основе уравнений типа Тимошенко осесимметричные волновые процессы в оболочках вращения постоянной толщины. Нагрузка предполагается в виде волны давления с убывающей окоростью рас-прос11ранения, но вначале скорость ее превышает хотя бы одну из характерных скоростей рассматриваемой гиперболической системы уравнений. На основе упрощенных уравнений по лапласовым изображениям построены асимптотические решения при больших величинах параметра преобразования в окрестности поперечных сечений, определяющих седловые точки. Эти решения справедливы вблизи наибольших разрывов, вдали от которых решения рекомендуется находить численно методом конечных разностей. В качестве примера рассмотрена круго вая цилиндрическая оболоч1ка, подверженная [c.217]

До сих пор мы интересовались решениями AS уравнения (5.10.9), которые имеют слабые разрывы. Основное свойство> таких решений — это свойство всех разрывных решений линейной гиперболической системы уравнений разрывы в AS переносятся вдоль определенных поверхностей в пространстве, называемых волновыми фронтами которые, двигаясь с конечной скоростью, заметают в пространстве-времени характеристи-неские поверхности этой системы уравнений. Скорости распространения в олн и разрывов, переносимых волновыми фронтами, определяются из уравнений характеристик для данной системы. Пусть характеристическая кривая (для одномерного движения) описывается уравнением h x, t)=Q. Также пусть x = S t)—положение разрыва в момент t. Тогда h Se t) t) = 0. Дифференцируя это соотношение по t, получаем dxh dth = О, где с = dSefdt — скорость движения разрыва. Следовательно, характеристическая скорость, или скорость распространения возмущений, определяется формулой [c.296]

В случае решения гиперболической системы уравнений для невязкого газа методом характеристического типа, в котором решение продвигается по слоям на фиксированной сетке, это условие является, конечно, не чем иным, как условием Куранта— Фридрихса — Леви (см. Курант, Фридрихе и Леви [1928]). Однако в литературе описаны устойчивые и достаточно точные решения, в которых этот критерий не выполняется. Известно также, что подобное условие возникает для более простых уравнений из-за постановки специальных граничных условий (Чорин, частное сообщение). [c.341]

Линии, определяемые уравнениями (4.I ), для гиперболической системы уравнений первого порядка (4.12) называются ха-рактеристиками. Уравнения (4.15), полученные в результате преобразования исходной системы, с учетом (4.17) можно записать в виде [c.51]

В разд. 1.2 настояндей главы рассматриваются явные конечноразностные методы расчета нестационарных и стационарных пространственных сверхзвуковых течений невязкого нетеплопроводного газа. Для численного интегрирования гиперболической системы уравнений, записанной в консервативной форме, применяется явная конечно-разностная схема второго порядка точности. Область интегрирования располагается между телом и ударной волной. Внутренние поверхности разрыва не выделяются. Рассматриваются различные способы вычислений условий на границах. В разд. 3 приводятся некоторые результаты расчетов обтекания тел под углом атаки. [c.197]

Скорость сходимости глобальных итераций по полю функции ф показана на фиг. 1, где приводятся ее распределения на стенке ф , для гиперболического приближения, первой и второй итераций. Абсциссе х = О на графиках соответствует минимальное сечение сопла. Видно, что гиперболическое приближение дает решение, близкое к точному решению эллиптико-гиперболической системы уравнений (2.1)-(2.5), несмотря на то, что ф , вблизи горла сопла падает в 3 раза. Сходимость коэффициента вязкого трения на стенке су показана на фиг. 2. Уже первая глобальная итерация дает распределение су вдоль стенки, близкое к точному распределению. [c.41]

Тип системы уравнений определяет особенности постановкп задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

Система уравнений (2.1.6), (2.1.17) и (2.1.19) — нелинейная гиперболическая, решение ее в общем виде получить довольно трудно. Однако в случае линейного упрочнения 0 (е ) = = onst, система является линейной и решение ее можно получить в явной форме. Пусть уравнение (2.1.19) имеет вид [c.91]

Таким образом, из проведеииого анализа видно, что хотя система уравнений (4.1.22) (аналогично н снстема (4.1.1)) имеет мнимые характеристлки и, следовательно, не является гиперболической, существует класс функций, в котором задача Гшши для этих систем условно корректна . [c.316]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Установленное правило носит совершенно общий характер если на отрезке вертикальной оси скорость и деформация сохраняют постоянные значения, то в треугольнике, ограниченном характеристиками, проходящими через крайние точки этого отрезка, скорость и деформация сохраняют те же значения. Вообще, если на отрезке 2 заданы переменные значения скорости и деформации, в правых частях уравнений (6.7.3) будут фигурировать разные значения uj и ег, соответствующие тем точкам, из которых выходят характеристики. Но решение ввутри треугольника, ограниченного характеристиками, полностью определяется заданием функций v(t), e t) на отрезке 2, оно не зависит ни от предшествующей истории, ни от дальнейшего изменения этих функций. Это свойство характеризует гиперболические уравнения или гиперболические системы. [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...