Диаграмма устойчивости решения

При нулевой вязкости ((5 = 0) уравнение (1.1.36) есть уравнение Матье. Диаграмма устойчивости нулевого решения уравнения Матье приведена на рис. 1.1.1. [c.17]

На рис. 61 выбор значений с и из области, ограниченной кривой а, обеспечивает устойчивость стационарных решений цепочек при всех рассмотренных значениях п. Кривые, ограничивающие области устойчивости этих решений при разных п, отличающиеся главным образом четностью, заключены между кривыми а и б, т. е. для длинных цепочек (п > 3) соответствующие диаграммы устойчивости мало отличаются друг от друга. На рис. 62 приведены стационарные решения при п = 7, с = с1 и с = Са, которые отве-устойчивости Д 1Я данного [c.192]

Решение этого уравнения для случая Я>0 известно и представляет собой чисто периодическую функцию (синус или косинус) с круговой частотой ( >в=УЯ. На диаграмме устойчивости ему соответствует положительная ось Я. Случаю Я<0 соответствуют уже не тригонометрические, а экспоненциальные функции с действительным показателем У Я т. Эти решения неустойчивы, что и видно на диаграмме, где все точки отрицательной оси X находятся в области неустойчивости. [c.165]

М Ке д > О, то решения устойчивы, если же имеет место противоположное неравенство, то неустойчивы. На бифуркационных диаграммах (см. рис. 74) сплошная линия соответствует устойчивым решениям. [c.177]

Диаграммы равновесных состояний оболочки предельно упрощены на рис. 9.12.2 показана только одна ветвь состояния равновесия, отличного от начального. В действительности, полное нелинейное решение включает серию таких ветвей, соответствующих как устойчивым, так и неустойчивым состояниям равновесия. [c.209]

Усовершенствование моделей материала с целью описания накопления повреждений на закритической стадии деформирования является важной задачей механики композитов. Уточненный расчет конструкций с использованием полных диаграмм требует, кроме того, развития методов решения краевых задач с учетом разупрочнения материала [57, 96, 199, 223, 252, 254] и получения условий устойчивости закритического деформирования в ослабленных зонах [61, 158, 227]. Естественно, что это должно базироваться на эффективных экспериментальных методах построения равновесных диаграмм деформирования [323]. [c.24]

Решение. На фазовой диаграмме, изображенной на фиг. 13, тройная точка представляет собой точку вогнутости области устойчивости 2, но этого не может быть. [c.109]

В результате исследований, проведенных в 1959— 1960 гг. в ЦНИИСКе автором статьи на оригинальном приборе, были выявлены некоторые расхождения в величинах пределов пропорциональности и условного предела текучести в образцах из сплава Д16-Т при растяжении и сжатии, что требует использования диаграммы сжатия при точном решении задач устойчивости. [c.8]

При точном решении задач устойчивости различных элементов конструкций из таких сплавов, как, например, Д16-Т, у которых диаграммы растяжения и сжатия заметно отличаются друг от друга, для получения более правильного результата следует пользоваться диаграммами сжатия применяемого материала, а не растяжения. [c.84]

Устойчивость ветвей диаграммы показана на рис. 65, она была исследована в линейном приближении еще В. Вольтеррой, наиболее полные результаты получены в [150, 57]. Некоторым общим выводом по устойчивости является то, что добавление ротора приводит к двукратному увеличению как устойчивых стационарных движений, так и неустойчивых. При этом неустойчивые решения исчезают при малых к, с, соответствующих быстрому вращению ротора. [c.156]

Это уравнение называется частотным. Его корни, т. е. значения Q и Л, определяют виды прецессии и численные значения скоростей Q и (О, при которых ротор теряет устойчивость. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. Эти решения можно представить в виде диаграммы соотношения скоростей Q и со (рис. 7.10). [c.347]

Анализируя (5.2) при разных значениях шага т, были определены неустойчивые моды (рис. 6), которые оказались более реалистичными для анализа существования равновесных конфигураций реальных вихревых структур, чем решение для системы из точечных вихрей [И]. С целью проведения сопоставления между системами с разным числом вихрей для сохранения суммарной интенсивности в системе размер вихрей выбирался так, чтобы суммарная площадь сечений ядер вихрей была одинаковой, т. е. е = 0.15л/]У. В результате заметим, что учет винтовой формы вихрей с уменьшением их шага приводит к потере устойчивости вихревыми системами все для меньшего и меньшего их числа, а при т < 1.4 устойчивые конфигурации из винтовых вихрей отсутствуют полностью. Качественно это согласуется с результатами визуальных наблюдений и снимет отмеченное во введении противоречие их сравнения с данными теории равновесия точечных вихревых систем. Более того, экспериментальные результаты работы [3] позволяют провести и количественное сравнение. В [3] описана двойная вихревая структура N = 2 с безразмерным шагом т = 1.45. Этот режим хоть и близок к границе неустойчивости (см. диаграммы рис. 6), но является еще устойчивым, т.е. такая вихревая пара существовать может. А близость ее параметров к границе неустойчивых режимов косвенно подтверждается тем, что получить ее в эксперименте было очень трудно, требовалась тонкая регулировка экспериментальной установки и режимных параметров течения для получения вихревой пары с параметрами, обеспечивающими ее устойчивой существование. [c.412]

Рис. 61. Диаграмма выбора параметров с к д, обеспечивающих устойчивость (при с и <7 из области, ограниченной кривой а) стационарных решений цепочек с простым зацеплением.

Расчет устойчивости скальных массивов при намеченной потенциальной поверхности смещения осуществляется с помощью методов теории предельного равновесия с учетом приведенных ниже положений. Смещающиеся скальные массивы не являются абсолютно жесткими телами, а состоят из скальных блоков или отсеков, взаимодействующих в процессе смещения. Достижение предельного равновесия на какой-либо части потенциальной поверхности смещения еще не означает нарушения устойчивости массива, которая зависит от взаимодействия неустойчивых блоков с расположенными ниже устойчивыми частями массива. Расчет устойчивости] скальных откосов состоит в определении дефицита устойчивости как отдельных отсеков, так и всего скального откоса в целом. Диаграмма прочности на сдвиг по скальной трещине или ослабленной зоне представляет собой криволинейную зависимость, которая для упрощения математических расчетов аппроксимируется на выбранном интервале нормальных напряжений линейной (кулоновской) зависимостью. Прочность скальных массивов на отрыв по трещинам предполагается, как правило, равной нулю. Расчет абсолютного критерия устойчивости практически невозможен, поскольку природа всегда сложнее и многообразнее тех неизбежно упрощенных схем, которые могут быть рассмотрены в аналитических расчетах. Только вероятностный метод расчета устойчивости позволяет оценить надежность получаемого решения с учетом уровня достоверности вводимой в расчет исходной информации. [c.167]

Рис. 74. Бифуркационные диаграммы для случаев м, О (а) и М1 = <) М2 О (б, в). Сплошной линией показаны устойчивые ветви решения, а штриховой - неустойчивые

Демпфированные колебания 14, 22 Детектирование вынужденных колебаний 249 Диаграмма устойчивости решения уравнения Матье (диаграмма Айнса— Стретта) 165—169 Динамичности коэффициент 196. См. [c.295]

Устойчивость решений уравнения Матье (23) можно определить несколькими способами, например с использованием диаграмм Стретта. Однако для этой задачи более наглядным является метод Ван дер Поля. Ввиду малости Ао решение для 6F в окрестности устойчивого положения будет иметь вид [c.74]

Решениями уравнепия (11.2) служат специальные функции, называемые функциями Матъе, свойства которых подробно изучены. Как и в случае рассмотренного в 10 параметрического возбуждения, эти решения могут быть или ограниченными, или неограниченно возрастающими. Выделение соответствующих этим случаям областей параметров ans приводит к диаграмме устойчивости, кото- [c.183]

Из приближенных решений (7.232), (7.233) следует, что при дробном значении V решения ограничены во времени (но не периодические), т. е. могут рассматриваться как устойчивые, а собственные значения в зависимости от д дают кривые, целиком находящиеся в незаштрихованных областях на рис. 7.25. Функции с дробным значением V позволили установить, какие области на плоскости (а, д) являются неустойчивыми, а какие — устойчивыми. Неустойчивые области на рис. 7.25 заштрихованы. Показанные на рис. 7.25 устойчивые и неустойчивые области называются диаграммой Айнса — Стретта. [c.223]

Традиционные методы технологических исследований и обработки их результатов, принятые для анализа отдельных операций (см. рис. 7.2 и 7.3), не решают поставленной задачи. Даже корреляционные диаграммы и их математические интерпретации оценивают межонерационные связи только применительно к конкретным изделиям, что всегда случайно по своей природе. Между тем для решения задач анализа и оптимального синтеза многооперационных процессов прежде всего необходимы характеристики совокупности изделий — партионные характеристики точности на различных операциях, которые имеют между собой устойчивые, функциональные связи. [c.175]

Диаграмма Айнса— Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций ио решению уравнения Матье. В каждом конкретном случае достаточно составить это уравнение, т. е. найти значения параметров системы а и после этого диаграмма сразу дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы. [c.275]

Рабинович И. М., Геометрический метод решения задач динамики упругих систем (диаграмма перемещений — скоростей). Общая прочность и устойчивость сооружений при действии взрывной нагрузки, сб. статей. Гос. изд-во строит, литературы, М. 1944. [c.429]

На рис. 3 (диаграмма Семёнова) изображены графики левой и правой частей ур-ния (3), к-рые характеризуют соотношение между энерговыделением и теплоотводам. Видно, что при р < Pi или р > Рг уравнение(3) имеет единственное решение, в то время как при Pxстационарных состояний систе.мы три. Из них два крайних (высоко- II низкотемпературное) устойчивы, а сред- ряс. 3. Диаграмма Семёнова, [c.385]

Диаграммы равновесных состояний р - f для перемещений по оси Y двух узлов панели (в отличие от диаграмм раздела 1.3, ось / на этом рисунке является осью ординат) показывают, что резкое изменение прогиба начинается при значениях = 0,8875 3400000 = 3017500Н. Процесс решения расходится при = 0.901563 3400000 = 3065314 Н. Таким образом, при нелинейном анализе потери устойчивости критическая сила лежит в диапазоне 3017500 <Р < 3065300 Н, что несколько ниже критической силы, полученной при анализе устойчивости по Эйлеру. [c.432]

Равновесное состояние соответствует минимальному значению энергии Гиббса. Это состояние может быть достигнуто только при очень малых скоростях охлаждения или длительном нагреве. В связи с этим рассмотрение диаграмм состояния позволяет определить фазовые превращения в условиях очень медленного охлаждения или нагрева. Истинное равновесие в практических условиях достигается редко. В подавляющем числе случаев сплавы находятся в метастабильном состоянии, т. е. в таком состоянии, когда они обладают ограниченной устойчивостью и под влиянием внешних факторов переходят в другие более устойчивые состояния, так как их энергия Гиббса больше минимальной. Для целей практики важно, что метаетабильные состояния нередко сообщают сплавам высокие механические или другие свойства. В этом случае металловедение должно установить природу метастабильных состояний, обеспечивающих оптимальный комплекс свойств, и разработать режимы термической или какой-либо другой обработки, позволяющей получить эти неравновесные состояния. Исходным положением при решении этих задач является знание диаграмм фазового равновесия. [c.48]

Оптимальное (с точки зрения протекания процессов повреждения в равновесном режиме) проектирование требует математического описания закритического деформирования, которое не сводится лишь к аппроксимации диаграмм, имеющих ниспадаю1цие участки. Не потеряли актуальность вопросы обоснования континуальных моделей разупрочняющихся сред и определения области их применимости. Возникает ряд математических проблем, связанных, в первую очередь, с анализом устойчивости процесса деформирования, единственности решения краевой задачи и возможной сменой типа дифференциальных уравнений [224], а также необходимостью учета свойств нагружающей системы, разработкой определяющих соотношений (даже для изотропных материалов), развитием численных методов и созданием эффективных итерационных процедур решения такого рода нелинейных задач. [c.27]

Для решения задач механики неоднородных сред представляется очень важным (но мало разработанным) вопрос, по какому пути пойдет деформирование некоторого структурного элемента в зависимости от его окружения в композите — соответствующему линии 1 или 4 (рис. 11.1) — и возможны ли промежуточные пути Ответ на этот вопрос основывается на исследованиях закономерностей эакритиче-ского деформирования материалов при сложном напряженном состоянии и построении условий устойчивости сопротивления элементов в состояниях, соответствующих точкам на ниспадающей ветви диаграммы. Рассмотрим далее вывод критериев устойчивости для элементов структуры некоторых гетерогенных сред. [c.247]

Изучение явлений электрохимической коррозии металлов и, в частном случае, решение вопроса об устойчивости или неустойчивости пассивного состояния системы обычно базируется на анализе работы коррозионных элементови наиболее часто осуществляется построением и изучением поляризационных диаграмм коррозии. [c.58]

Рентгеновский фазовый анализ, однако, успешно использовали при исследовании сложных тройных систем. Общий подход к решению таких задач заключается в медленном охлаждении сплавов различного состава из жидкого состояния до комнатной температуры и последующем получении их рентгенограмм, но которым обычно можно легко сказать, сколько (одна, две или три) фаз в исследуемом сплаве анализ рентгенограмм позволяет определить кристаллические структуры встречающихся фаз. Следует подчеркнуть, что, хотя этот метод и позволяет обнаружить по меньшей мере некоторые из фаз, образующихся в системе, он не дает результатов, отвечающих равновесному состоянию получаемые данные дают только приблизительное представление о фазовых равновесиях в исследуемой системе при комнатной температуре после специальной термической обработки и заданной скорости охлаждения. В частности, если компоненты А, В и С тройной системы А — В — С заметно отличаются друг от друга по температурам плавления, то приближение к равновесию в углу диаграммы состояния, отвечающему самому тугоплавкому металлу, характеризует состояние, зафиксированное при более высокой температуре, чем аналогичное равновесие в углу, отвечающему самому легкоплавкому металлу. Фазы, устойчивые только при высоких температурах, не обнаруживаются превращения, протекающие при более низких температурах, не фиксируются, и в результате частичного протекания превращений исследуемые сплавы при комнатной температуре могут оказаться в неравновесном состоянии. Этот метод только указывает, какие фазы могут встретиться при более тщательном исследовании сплавов и примерные интервалы сЬставов, в которых они образуются. [c.107]

Однако одного факта определения амплитуды ф еще недостаточно, чтобы утверждать, что такое движение физически может быть реализовано. Нужно показать, при каких начальных условиях установится это решение и будет ли оно устойчиво. На эти вопросы можно ответить, построив соответствующую диаграмму, которая называется диаграммой Кенигса —Лемерея. [c.530]

Результаты опытов по устойчивости плоских панелей в условиях ползучести показаны на рис. 34. Здесь штриховыми линиями нанесены результаты испытаний на устойчивость плоских панелей из дуралюмина Д16АТВ в условиях ползучести при температуре 250° С, через а обозначено отношение сжимающего усилия к критическому значению. Сплошными линиями показаны теоретические данные. Как видим, эксперименты подтверждают результаты приведенного выше решения, имеет место монотонное изменение прогибов с уменьшаюш,ейся скоростью. Штрих-пунктирная линия получена в результате опыта, проведенного с пластинкой, продольные края которой свободно перемещались (случай балки —полоски), эта кривая t ( ) аналогична диаграммам, относящимся к стержням, и позволяет найти критическое время для балки-полоски. [c.126]

Для упрощения решения этой задачи Вейнхольд в своих работах [5], [6] заменил диаграммы всех применяемых сплавов единой обобщенной кривой, имеющей сложное аналитическое выражение, и разработал метод безразмерных параметров, позволяющий использовать эту обобщенную кривую при расчете конструкций из любых сплавов. Этот метод был использован при составлении в ТУ СН ПЗ—60 [1] таблиц для коэффициентов pв . Однако отсутствие экспериментальных работ по устойчивости внецентренно сжатых стержней из отечественных сплавов не давало возможности авторам технических условий оценить точность использованного метода в ппименении к алюминиевым сплавам, рекомендованным в ТУ СН 113—60. Кроме этого, сравнение обобщенной кривой (по Вейнхольду) и экспериментально определенной диаграммы з — г сплава АВ-Т1, нанесенных на один чертеж (рис. 1), указывает на их существенное отличие в пластической стадии. [c.168]

В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации особо замечательных решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. [c.17]

Решение Бобылева-Стеклова. Решение Бобылева-Стеклова на бифуркационной диаграмме (см. рис. 31) находится на нижней правой ветви и ему соответствует устойчивое периодическое решение на сфере Пуассона (см. рис. 40, 41). [c.126]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. 46, 53-56). Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, по-видимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей (М, 7) = О (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, 4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны. [c.141]

Изложенное выше решение задачи устойчивости стержня за пределом упругости, по существу, принадлежит Энгессеру [ 1 и Карману [ 1. Последний провёл также большое экспериментальное исследование устойчивости стержней за пределом упругости и обнаружил хорошее подтверждение данной выше теории. В частности, для материалов, имеющих ярко выраженную площадку текучести на диаграмме 01 — ( 1, им в хорошем согласии с формулами (3.17), (3.18) обнаружена полная потеря устойчивости даже весьма коротких стоек. [c.135]

Таким образом, рассматривая точечное преобразование полуоси положительных лг самой в себя, осуществляемое фазовыми траекториями и выражаемое функцией последования (3.19), мы доказали, что на фазовой плоскости лампового генератора имеется единственная замкнутая фазовая траектория, соответствующая периодическим, незатухающим колебаниям в генераторе. Однако, для того чтобы утверждать, что эти незатухающие колебания действительно могут происходить и что наши высказывания о наличии периодического режима имели физическое значение, нам следует ответить еще на два вопроса. Во-первых, на вопрос о том, при каких начальных условиях устанавливается найденное нами периодическое решение, в частности установится ли оно, если начальные значения х и х будут достаточно малы. Во-вторых, на вопрос о том, устойчиво ли найденное периодическое движение по отношению к произвольным малым изменениям начальных условий, например по отношению к изменениям максимального значения силы тока. На оба эти вопроса мы легко сможем ответить, рассматривая график функции последования (3.19) — так называемую диаграмму Ламерея (рис. 124). Очевидно, графиком функции последования (3.19) является прямая линия с угловым коэффициентом [c.187]

Второе издание книги полностью переработано. В нем в отличие от первого издания более подробно изложены общие вопросы теорйи пластичности,, а также рассмотрены теория пластичности с анизо- тропным упрочнением, условие пластичности и теория пластичност для анизотропных материалов, напряженное состояние в шейКе образца при растяжении, новые методы построения действительной диаграммы деформирования, большие деформации и пластическая устойчивость цилиндрических и сферических оболочек, численные методы решения краевых задач плоской деформации и примеры йри-менения их, теория ползучести с анизотропным упрочнением, кратковременная ползучесть, использование критерия Треска—Сен-Венана, в решении задач установившейся ползучести, методы решения задач неустановившейся ползучести и примеры их применения, определение времени разрушения в условиях ползучести, вязкоупругость. [c.3]

Для практических целей наибольшее значение имеют границы между областями устойчивых и неустойчивых решений. Этот вопрос хорошо исследован, причем окончательные результаты представляются в виде диаграммы, построенной в плоскости параметров а и q, которая называется диаграммой Айнса-Стретта. [c.159]

В плоскости параметров а, q области устойчивости чередуются с областями неустойчивости, причем наиболее широкая, а потому и наиболее важная область неустойчивости содержит точку а = 1, q = 0. Диаграмма Айнса-Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье. Достаточно составить это уравнение, т.е. найти значения параметров системы а и д, после чего диаграмма дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...