Устойчивость решения уравнения Мать

Это соотношение справедливо при условии, что а ф т , где т —целое число. Сравнивая выражение (2.33) с условием устойчивости решения уравнения Матье (см. стр. 54), можно установить, что в рассматриваемом случае (т. е. когда q малы) решение будет устойчивым только при соотношении между параметрами а и q, удовлетворяющем условию [c.64]

Исследование задачи об устойчивости решения уравнения Матье по существу доведено до конца. Наличие карты устойчивости (см. рис. 2.1) дает возможность при заданных значениях параметров а и (/, не прибегая к выкладкам, получить ответ на поставленный вопрос. Для этого достаточно установить, в которую из зон этой карты попадает характеристическая точка механизма, координаты которой определяются значениями параметров механизма и параметров возбуждения. [c.200]

Обратимся теперь к основному уравнению рассматриваемых здесь задач ( .5), которое называется уравнением Матье. Решения уравнения Матье носят колебательный характер, и их свойства зависят от конкретных значений параметров а и с/. В одних случаях данной комбинации значениям а тл д соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других случаях — колебания с возрастающими амплитудами. Очень часто (при исследованиях устойчивости) подробности колебаний малосущественны, так как основную важность представляет именно тенденция колебательного процесса если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива в противном случае имеет место параметрический резонанс и система неустойчива. [c.273]

Результаты решения уравнения Матье для двух различных комбинаций а и д показаны на рис. .2, а, б (эти решения получены при помощи электронного аналогового устройства). Хотя в обоих случаях параметр д системы одинаков д = 0,1), но колебания имеют резко различный характер из-за различия между значениями параметра а (а = 1 а = 1,2) в первом случае они возрастают, т. е. система неустойчива, а во втором случае остаются ограниченными, т. е. система устойчива. [c.273]

Это предельное соотношение можно выразить через параметр устойчивости р, пользуясь формой решения уравнений Матье (24) или (25), которая следует из функций энергий (26) и (27). При малых значениях р критической формой изгиба, которая характеризуется наиболее быстрым нарастанием амплитуды, является форма с собственной частотой Юп, равной половине частоты радиальных симметричных колебаний [1]. Таким образом, согласно уравнениям (24) и (25), критической форме соответствует = 1/2. Если обозначить [c.35]

При нулевой вязкости ((5 = 0) уравнение (1.1.36) есть уравнение Матье. Диаграмма устойчивости нулевого решения уравнения Матье приведена на рис. 1.1.1. [c.17]

Таким образом, наша задача привелась к решению уравнения Матье [151]. Исследование свойств интегралов этого уравнения приводит к заключению, что на плоскости двух действительных переменных а, д существуют такие области, включающие в себя ось д = О, что для значений параметров а, д, принадлежащих этим областям, интегралы уравнений (8), (9) представимы сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, для таких параметров функции Ь и Т будут ограничены для всех значений времени, колебание жидкости будет оставаться в известных пределах и поверхность жидкости будет устойчива при колебаниях сосуда. [c.372]

В. С. Лощинин. Об условиях вхождения решений уравнения y =f (х, у) в полосу устойчивости. — Уч. зап. Балашовского пед. ин-та, физ.-мат. серия, 1958, т. 3. [c.315]

Линии характеристических чисел функций Матье делят плоскость а, q на ряд областей или зон. Ниже показано, что в зависимости от того, в какую из этих областей попадает характеристическая точка (а, q) уравнения Матье, решение уравнения оказывается либо устойчивым, либо неустойчивым. Вследствие этого рис. 2.1 часто называют картой устойчивости. [c.60]

Вне областей параметрического резонанса поведение решения уравнения (3.6) исследовалось в работах [91, 93, 109, 171, 423, 671] и др. Из теории уравнения Матье известно (см. также [91, 93, 171]), что при достаточно больших значениях частоты и амплитуды колебаний оси подвеса (уо > I, q> q ) верхнее положение равновесия маятника становится устойчивым (при этом нижнее положение равновесия также остается устойчивым). Аналитически оценку границы устойчивости верхнего положения равновесия удобно произвести, если пренебречь затуханием а и записать уравнение (3.6) при малых = х — л в виде [c.278]

Об устойчивости по части переменных решений линейных разностных уравнений // Матем. физика. Киев Наукова Думка. №35. С.30-32. [c.283]

Следовательно, условие /i — 1 = (3 — /i) Ji (и) задает на плоскости 1У границы областей, разделяющих в окрестности 1 1 устойчивые и неустойчивые решения. В теории уравнения Матье установлено, что [c.427]

Условие <5 = сг или /х — 11 = (3 — и) Л (х/) задает на плоскости пу границы областей, разделяющих в окрестности л 1 устойчивые и неустойчивые решения. В теории уравнения Матье установлено, что каждой точке [c.326]

Области устойчивости. Уравнение Матье (17.3) является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Поэтому можно использовать теорему Флоке и записать обш,ее решение уравнения (17.3) в виде [c.528]

Вопросы устойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений в канонической форме с периодическими коэффициентами, Мат. сборы., 1955, 37, 79, с. 21-68. [c.271]

Вопросы устойчивости решений системы двух линейных уравнений канонического вида с периодическими коэффициентами, Матем. сб. 37, JVs 1 (1955). [c.453]

Характеристические показатели х уравнения Матье (4.41), определяющие устойчивость (или неустойчивость) его решения, зависят исключительно от величин и 7 и не зависят от начальных условий. Поэтому по каждой паре значений Я и V можно установить, [c.165]

В работе [140] проведено сравнение эффективности метода Т-мат-риц и метода, связанного с решением интегрального уравнения типа (2.18) применительно к задаче о дифракции на жестком сфероиде. Полученные результаты свидетельствуют о том, что при малом удлинении тела метод Т-матриц дает лучшую сходимость, чем метод интегральных уравнений. При увеличении удлинения сходимость и точность метода Т-матриц значительно ухудшаются. Это вызвано тем, что матрицы становятся плохо обусловленными и точность вычислений при их обращении уменьшается. В то же время метод интегральных уравнений почти нечувствителен к форме тела. Для улучшения сходимости и устойчивости решения методом Т-матриц для сильно вытянутых тел можно использовать в разложениях полей вместо сферических сфероидальные функции. [c.96]

Устойчивость решений уравнения Матье (23) можно определить несколькими способами, например с использованием диаграмм Стретта. Однако для этой задачи более наглядным является метод Ван дер Поля. Ввиду малости Ао решение для 6F в окрестности устойчивого положения будет иметь вид [c.74]

Демпфированные колебания 14, 22 Детектирование вынужденных колебаний 249 Диаграмма устойчивости решения уравнения Матье (диаграмма Айнса— Стретта) 165—169 Динамичности коэффициент 196. См. [c.295]

Таким образом, зоны (или области), ограниченные двумя соседними кривыми, свойственными двум периодическим или двум полу периодическим решениям уравнения Матье, являются зонами неустойчивых решений, или зонами неустойчивости. Зоны, ограниченные двумя соседними кривыми, которые соответствуют одному периодическому и одному полупериодическому решению, являются зонами устойчивых решений, или зонами устойчивости. На рис. 2.1 зоны неустойчивости заштрихованы. [c.65]

Опыты с шарнирным четырехзвенником. Количество экспериментальных исследований, прямо или косвенно связанных с рассматриваемыми вопросами, невелико. В работе [108] приведены результаты опытов с маятником, движуш,имся в поле центробежных сил. Эти опыты позволили экспериментально получить движение, соответствующее периодическим решениям уравнения Матье и проверить суш ествование областей неустойчивости. В работе [116] приведены результаты экспериментов, связанных с исследованием возникновения параметрического резонанса эти эксперименты также производились с маятниками. Наконец, в [34] экспериментально показано, что в условиях вибрации точки подвеса неустойчивое положение равновесия маятника оказывается устойчивым. [c.182]

Диаграмма Айнса— Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций ио решению уравнения Матье. В каждом конкретном случае достаточно составить это уравнение, т. е. найти значения параметров системы а и после этого диаграмма сразу дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы. [c.275]

Первый член правой части выражения (9) с угловой частотой шв описывает субгармонические колебания порядка V2, обусловленные изменением осевой упругой характеристики подшипника вследствие изменения конфигурации шариков при их движении. Второй член с угловой скоростью и описывает вынужденные колебания, обусловленные наклоном внутреннего кольца подшипника. Для субгармонических колебаний построены области неустойчивости решений уравнения Матье. Установлено, что с увеличением числа шариков область неустойчивости существенно сужаетсЯч Вынужденные колебания, возникающие вследствие наклона канавки внутреннего кольца по отношению к валу, и субгармонические колебания порядка Va, обусловленные движением шариков, вызывают биения на границе областей устойчивости и неустойчивости, когда обе угловые частоты близки одна к другой (а о)в). Результаты теоретических решений проверены и подтверждены экспериментально. [c.11]

В большинстве работ по устойчивости вынужденных колебаний и по параметрическим колебаниям диссипативные силы не учитываются. В областях, которые квалифицируются как области устойчивости, решения линеаризованных уравнений невозмуш,енного движения ограничены. С точки зрения теории устойчивости Ляпунова это соответствует сомнительному случаю. Таким образом, для более убедительных выводов об устойчивости необходим учет диссипативных сил. Надо отметить также высокую плотность областей неустойчивости, найденных без учета диссипативных сил. Вследствие этого во многих задачах области неустойчивости заполняют почти всю плоскость параметров. Условия ограниченности решений уравнения Матье с добавочным членом, содержаш,им первую производную от искомой функции, изучались еш е А. А. Андроновым и М. А. Леонтовичем (1927). Применительно к параметрическим колебаниям упругих систем этот вопрос рассматривался К. А. Наумовым (1946), [c.354]

С математической точки зрения, изучение явления параметрического резонанса сводится к исследованию дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В частности, для цилиндрической оболочки при малых колебаниях последней оно состоит в исследовании решений уравнения Матье — Хилла при заданном соотношении между возмущающей частотой О и частотой свободных колебаний со. Если решение уравнения Матье — Хилла при заданном отношении со/О окажется неограниченно возрастающим во времени, то это значит, что мы имеем дело с параметрическим резонансом. В том случае, когда решение уравнения остается ограниченным с возрастанием времени, параметрического резонанса не наблюдается и оболочка будет устойчивой. [c.385]

В плоскости параметров а, q области устойчивости чередуются с областями неустойчивости, причем наиболее широкая, а потому и наиболее важная область неустойчивости содержит точку а = 1, q = 0. Диаграмма Айнса-Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье. Достаточно составить это уравнение, т.е. найти значения параметров системы а и д, после чего диаграмма дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы. [c.161]

Как известно, задачи динамической устойчивости систем сводятся к решению уравнений Хилла или Матье. Эти уравнения занимают особое место в математическом анализе. Однако точных методов решения уравнений типа Хилла или Матье в настоящий момент не существует. Нет и точных методов исследования переходных процессов в параметрических системах. Поэтому при решении различных задач пользуются всевозможными приближенными приемами, которые с той или иной степенью точности позволяют определить зоны неустойчивости системы, а для нелинейных задач оценить величины амплитуд колебаний. [c.198]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Рассмотрим далее задачу об устойчивости тривиального решения уравнения типа Матье—Хилла (5.1) при параметрическом воздействии в виде экспоненциально-коррелированного процесса [c.142]

К. П. Персидский. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.— Усп. матем. наук, 1946, т. 1, вып. 5—6, стр. 250—255 Ко второй методе Ляпунова.— Изв. АН КазССР, серия матем. и мех., 1947, вып. 1 (42), стр. 48—55. [c.130]

Существенный интерес представляет построение решений уравнений (46) в случае периодической функции U t), т.е. уравнений типа Хилла или Матье [6, 12]. Весьма важным для приложений оказывается построение границ устойчивости этих колебаний для каждой из мод и, в первую очередь, для низших мод. Эти вопросы приводят к необходимости решения периодических краевых задач. [c.59]

Было показано (Б. 3. Брачковский, 1942 Г. Ю. Джанелидзе, 1953, и др.), что подстановка типа (12.1) приводит к разделяюш,имся уравнениям типа Матье — Хилла в том и только в том случае, если формы собственных колебаний упругой системы совпадают с формами потери устойчивости при статических нагрузках (собственными элементами задачи о бифуркациях). Уравнения для обш его случая впервые исследовались В. Н. Челомеем (1938). В. В. Болотин (1953) предложил метод для построения областей неустойчивости в обш,ем случае этот метод основан на разложении решения в матричные ряды. В. А. Якубович (1958), отправляясь от результатов М. Г. Крейна (1955), развил метод, основанный на введении малого параметра. Подозрительным с точки зрения устойчивости являются частоты, лежаш ие вблизи [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...