Теория Принцип Гамильтона

Изложенная выше теория эффективных жесткостей основана на построении плотностей энергии деформации и кинетической энергии и последующем применении принципа Гамильтона. Если компоненты композита не являются идеально упругими, то при [c.378]

Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дает возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Подобная возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить уравнения движения , будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шредингера. Если подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. 11.5). [c.60]

Вариационные принципы классической механики можно связать с вопросами, которые на первый взгляд могут показаться далекими от них. Например, имеется тесная связь принципа Гамильтона с общей теорией дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Некоторые из таких вопросов мы рассмотрим в следующих главах, однако среди них есть немало таких, которые рассматривать в нашей книге нецелесообразно. К их [c.261]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

Принцип Гамильтона ). Основное уравнение дает возможность без труда получить изящную теорему, известную под названием принципа Гамильтона. Рассмотрим движение механической системы в промежутке времени от до t . Рассмотрим затем для каждого момента времени виртуальное перемещение Ьх , бхг,. . ., бa v из положения х ,. . ., х- , занимаемого в действительном движении. Виртуальное перемещение произвольно, за исключением того, что его составляющие 6a i, бжг,. . ., суть функции от t, принадлежащие классу С2 и обращающиеся в нуль в моменты [c.47]

Это решение могло бы нас удовлетворить, если бы ему не противостояло всеобщее убеждение, что принцип Гамильтона является лишь другой формой принципа Д Аламбера и что последний применим всегда. Отклонение от обычных взглядов, к которому приводит теория Герца, не может быть объяснено также и тем фактом, что Герц положил в основу новый закон, ибо его основной закон в тех случаях, которые он рассматривает, эквивалентен [c.539]

Если Гельмгольц, по крайней мере в принципе, мог придерживаться предпосылки о том, что все физические процессы сводятся к движениям простых материальных точек, то выполнимость этого предположения относительно, например, электродинамических процессов стала с тех пор по меньшей мере сомнительной. Но несомненно, что принцип наименьшего действия полностью доказал свою применимость и плодотворность как раз в области не механической физики, а именно, в электродинамике чистого вакуума. Дж. Лармор (1900 г.), Г. Шварцшильд (1903 г.) и другие, не нуждаясь в каких бы то ни было механических гипотезах, вывели из принципа Гамильтона основные уравнения электродинамики и электронной теории. [c.587]

ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ ] [c.599]

В связи с развитием термодинамики и молекулярно-кинетической теории тепловых явлений в середине XIX в. перед сторонниками механистического мировоззрения возникла задача свести этот новый круг проблем к механике. В первую очередь речь шла о втором начале термодинамики, которое, с характерной для него и глубоко чуждой классической механике идеей необратимости, вносило новый элемент в физическую картину мира. Первые попытки вывести второе начало термодинамики из механических принципов были сделаны Больцманом ), Клаузиусом ) и Чили ) в 60—70-х годах XIX в. Чили ошибочно полагал, что он вывел второе начало прямо из принципа Гамильтона, в то время как Больцман и Клаузиус видели, что для решения этой задачи надо внести в принцип Гамильтона существенное изменение, которое расширит сам принцип, придав ему, однако, по существу, различный смысл внутри механики и вне ее. [c.850]

В 1866 г. Больцман поставил вопрос о механическом значении второго начала теории теплоты . Для того чтобы ответить на него, он рассматривал средние значения силовой функции и живой силы системы, в которой движения являются периодическими, и вариации этих средних значений, когда изменяются внешние воздействия на систему. В такой постановке задача, естественно, приводится к принципу Гамильтона. Обобщая принцип Гамильтона, найдем [c.851]

Все рассмотренные формулировки квантовой теории полей, каждая из которых имеет классический аналог, не дают внутренне непротиворечивого решения проблем теории (расходимости ). Все они основаны на явной предпосылке применимости принципа Гамильтона к данной области физических явлений, а этот принцип и связанные с ним гамильтонов и лагранжев формализм до настоящего времени являются наиболее универсальным выражением принципа причинности в физике. [c.862]

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это — важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно- [c.865]

Изложенная здесь теория имеет фундаментальное значение в классической динамике выразим ее также в несимметричных обозначениях. Принцип Гамильтона (68.5) [c.223]

В своих Лекциях Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применима. Изложив принцип Гамильтона и выведя канонические уравнения для любых механических систем, обладающих силовой функцией, в которую может входить время, Якоби применяет к этим уравнениям теорему С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики. [c.212]

Аналитическое решение динамических задач теории температурных напряжений может быть получено при помощи принципа Гамильтона [71]. [c.214]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Принцип Гамильтона, который обсуждался в 5.6, представляет собой наиболее подробно разработанный и часто применяемый из всех вариационных принципов динамической теории упругости. Выполняя преобразования н обобщения, аналогичные [c.371]

В работе [368] на основе применения вариационного принципа Гамильтона развита линейная теория для определения динамической реакции на переменные с течением времени нагрузки многослойных анизотропных пластин с неоднородно ослабленными интерфейсами между слоями. Приведен иллюстрирующий числовой пример расчета по изложенной методике прогибов и напряжений в свободно-опертой трехслойной прямоугольной пластине с ослабленными интерфейсами. [c.20]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Имея разложения (38) — (39), вычисляем энергию деформации и кинетическую энергию для каждой отдельной ячейки. Последующее осреднение по ячейке дает среднюю энергию, полностью определяемую своим значением в центре волокна. После этого осуществляется завершающий этап перехода от системы дискретных ячеек к однородной континуальной модели, который состоит во введении полей кинематических и динамических переменных, непрерывных по всем координатам. Значения этих переменных на средних линиях волокон совпадают со значениями соответствующих параметров, вычисленными для системы дискретных ячеек. Следовательно, кинетическую энергию и энергию деформации, подсчитываемые так, как это описано выше, можно интерпретировать как плотности энергий для вновь введенной непрерывной и однородной среды. Плотность энергии деформации содержит не только члены, зависящие от эффективных модулей, но и члены, зависящие от некоторых констант, включающих характеристики как физических, так и геометрических свойств компонентов композита (т. е. от эффективных жесткостей ). Этим и объясняется название теории — теория эффективных жесткостей . Определяющие уравнения этой теории были получены при помощи принципа Гамильтона в совокупности с условиями непрерывности и с использованием множителей Лагранжа. Аналогичная теория для композитов, армированных упорядоченной системой прямоугольных волокон, была разработана Бартоломью и Торвиком [11]. [c.377]

Можно показать, что принцип Гамильтона вытекает из уравнений Лагранжа (см., например, Whittaker, Analyti al Dynami s, 4-е изд., стр. 245). Мы сейчас докажем обратное, а именно, что уравнения Лагранжа следуют из принципа Гамильтона. Эта теорема является более важной. Таким образом, мы покажем, что механику консервативных систем можно построить, исходя из принципа Гамильтона как из основного постулата, заменяющего законы Ньютона. Формулировка законов механики в виде принципа Гамильтона имеет определенные преимущества например, при этом мы получаем принцип, не зависящий от координат, применяемых при составлении лагранжиана. Более важно другое что этот принцип указывает путь, которому нужно следовать при описании с математической строгостью классической механики явно немеханических систем (например, в теории поля). [c.43]

Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по Хи и по t. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали Xh t равноправными параметрами й. Это равноправие переменных а и немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение dxidx2dxzdt является здесь, в сущности, элементом объема в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца если 2 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид [c.384]

Внутренняя связь между теорией Гамильтона и волновыми процессами давно известна. Эта связь была ясна уже самому Гамильтону, она даже лежала в основе его теоретической механики, которую он строил, исходя из аптики неоднородных сред ). Вариационный принцип Гамильтона может рассматриваться как принцип Ферма для распространения волн в конфигурационном пространстне ( -пространстве) при этом у. Г. выражает здесь принцип Гюйгенса для данных волн. В болынннстве современных изложений эти глубокие идеи Гамильтона теряют, к сожалению, свой яркий наглядный вид и сводятся к значительно более бесцветным аналитическим соотношениям ). [c.679]

Цель этого раздела состоит в, том, чтобы показать правомерность найденных результатов в волновой теории. Все прежние рассуждения базировались на принципе наименьшего действия и развивались в терминах эмиссионной гипотезы. Гамильтон хочет показать, что все аналитические результаты могут быть сохранены. Заметим, что в своем нобелевском докладе Шредин-гер ) дает следующую характеристику принципа Ферма Таким образом, принцип Ферма представляется просто тривиальной квинтэссенцией (курсив Шредингера. — Л. Я.) волновой теории . В волновой теории этот принцип находит свое обоснование только с точки зрения волновой теории принцип Ферма становится вполне понятным и перестает быть чудом ). [c.814]

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора—Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Галгильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.827]

Далее, в 1873 г. Клаузиус ), введя канонические переменные и используя вместо принципа Гамильтона принцип наименьщего действия, который менее удобен для целей обобщения механики на тепловые явления, получил выражение, аналогичное второму началу. Однако и в этом случае говорить о прямом выводе второго начала из принципов механики нельзя. Полученные выражения оказались эвристически бесполезными и физически отнюдь не поддаются сколько-нибудь простому и наглядному истолкованию. По существу, идея физики, выводимой из одного (и только одного) единообразно понимаемого принципа, не была реализована, а подменена идеей объединения различных областей физики (в данном случае механики и теории теплоты) с помощью одного соотношения, но рассматриваемого с разных, внутренне неувязанных точек зрения. Это означало, что феноменологическая увязка теории теплоты и механики не обогатила физическую картину мира. [c.851]

Такими процессами можно апроксимировать тепловые движения, исследуя их с помощью обобщенного принципа Гамильтона. Найденные аналоги не принесли сколько-нибудь нового и перспективного понимания тепловых явлений, в то время как статистическая механика вскрыла глубокий смысл необратимости в учении о вероятности состояния системы и о флуктуациях, представление о которых чуждо классической механике. Однако рассмотренное направление дало ряд результатов, которые обогатили физическую науку обобщение принципа Гамильтона, теорию цикли- [c.852]

Сопоставление принципа Гамильтона с принципом наименьшего действия Эйлера—Лагранжа показывает, что первый допускает более широкое обобщение. Принцип Гамильтона является наиболее общей и абстрактной формой изложения физической сущности лгеханики. Почти для всех разделов физики можно найти вариационные принципы, которые приведут к соответствующим уравнениям движения при таком построении теории этих отделов физики будут характеризоваться известной структурной аналогией, имеющей серьезную познавательную ценность. [c.865]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Как мы уже видели, начальные условия (15.7) в вариационных принципах, связанных с принципом Гамильтона, не играют существенной роли. Таким образом, ни один принцип из этого семейства не позволяет получить все уравнения задачи динамической теории упругости только из вариационного выражения. Гуртин ввел вариационные принципы, которые в отличие от принципов семейства Гамильтона полностью характеризуют решение задачи динамической теории упругости. Его формулировка начинается с определения свертки двух функций д х, t) и а х, t) в виде [c.377]

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [ 1.24, 1.30, 1.33-1.35]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошен-ко развиты в работах [ 1.4, 1.18,1.19, 1.31 и др.]. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [ 1,1, L7, 1.29]. Л.Я. Айнола [ 1,1] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. К.З. Галимо-вым выведены уравнения движения при конечных перемеще- [c.7]

М. Кернер доказал теорему, согласно которой принцип Гамильтона — Остроградского в классической форме справедлив только для голоном-ных систем. Этот вывод в дальнейшем подтвердился в исследованиях Г. Гамеля [c.93]

Вывод уравнений движения системы при помои и принципа Гамильтона, Воспользовавшись найденными аппроксимирующими зависимостями для перемещений (1а), (4) и (5), можно на основании принципа Гамильтона составить систему дифференциальных уравнений относительно четырех переменных о, i, Ь и gs. Для этого необходимо определить потенциальную и кинетическую энергии оболочки. Выражения для энергий, используемые в данном исследовании, согласуются с допущениями, заложенными при выводе уравнений Доннелла. Однако единственный учтенный при этом выводе член, представляющий продольные силы инерции, связан с переменной io (t), а окружные силы инерции не учитываются совсем. В работе [9] показано, что при использовании линейной теорий это допущение справедливо в пределах того диапазона чисел волн i, k п I, который представляет интерес с точки зрения настоящего исследования. Применение принципа Гамильтона [c.13]

При изложении вариационных принципов классической механики главное внимание было направлено на показ широты и общности принципа Гамильтона и его приложений к различным фундаментальным задачам динамики. В частности, без доказательств я рассказывал о плодотворных и эвристичных приложениях вариационных принципов в аэромеханике, газовой динамике и теории упругости. [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...