Координаты сфероидальные

Расчет на прочность баков сложной формы связан с необходимостью применять численные методы при определении напряжений в конструкции. Применительно к двум типам баков сфероидальным (рис. 11.13, а) и торообразным (рис. 11.13, б) рассмотрим последовательность определения меридиональных и окружных усилий. Геометрия оболочки может быть задана в виде таблиц координат [c.311]

В сфероидальных координатах (координатах сжатого эллипсоида) по (III. 10.10) имеем [c.893]

Уравнение (2.47) допускает разделение переменных в вытянутых и сплюснутых сфероидальных координатах. Для вытянутых координат (рис. 2.4) q — %, < 2=t]. <7з=ф и связь с декартовыми прямоугольными координатами задается формулами [c.41]

Для сплюснутых сфероидальных координат (рис. 2.5) q = , 2=т], <7з = ф и связь с прямоугольными декартовыми задается формулами [c.43]

С точки зрения практических приложений важно знать, как влияют на распространение волн трехмерные полости и включения произвольной формы. Исследование этого обстоятельства крайне затруднительно, поскольку не удается разделить переменные в волновом уравнении. Исключение составляет случай сфероидального тела. Однако и в сфероидальных координатах векторное волновое уравнение допускает разделение переменных только в осесимметричном случае [68]. [c.114]

Скалярное волновое уравнение в сфероидальных координатах имеет вид (2.47). Соотнощение (5.19) переписывается следующим образом [c.115]

Сфероидальные координаты ц, со получаются из цилиндрических координат ш, X, ш посредством преобразований [c.463]

Обобщенная задача двух неподвижных центров. Функция Гамильтона в сжатых сфероидальных координатах имеет следующий вид [c.223]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Использование сплющенных сфероидальных координат. Для того чтобы проиллюстрировать использование сплющенных сфероидальных координат, рассмотрим решение Сака ) задачи об определении распределения напряжений в окрестности кольцевой трещины в однородном изотропном теле. [c.182]

Для задач, связанных с плоским круговым диском или с бесконечно тонкой трещиной, подходящими координатами являются сплющенные сфероидальные координаты ф, , ф, причем [c.182]

Таким способом Нейберу удалось впервые решить важную задачу о концентрации напряжений в пространстве с полостью в сфероидальных координатах (см. гл. 9). [c.113]

Для положенной в основу сфероидальной системы координат (системы координат эллипсоида вращения) справедливы следующие формулы [c.292]

Для задачи о пространственной полости в форме вытянутого эллипсоида вращения, согласно рис. 9.13, применимы сфероидальные или эллипсоидальные координаты > [c.295]

Решение строится с помощью формул Папковича и Нейбера в эллипсоидальных координатах (9.55) при применении основных сфероидальных гармонических функций. Результаты при этом представляются в виде громоздких формул и получены лишь в численном виде. [c.296]

В настоящем параграфе мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения промежуточной орбиты спутника. Для этого мы воспользуемся методом Гамильтона — Якоби и сфероидальными координатами I, т), и>, которые связаны с прямоугольными координатами X, у, Z формулами [c.49]

В сфероидальных координатах т), ю интеграл пло-ш,адей, как это следует из (2.2.13), имеет вид [c.53]

Рассмотрим уравнения, связывающие прямоугольные координаты X, у, 2 со сфероидальными координатами [c.54]

Дифференциальные уравнения задачи Винти и Кислика могут быть проинтегрированы в сфероидальных координатах [c.583]

Дифференциальные уравнения движения могут быть проинтегрированы методом Гамильтона — Якоби, если ввести сфероидальные координаты g, т) и ш, связанные с х, у, г формулами [c.586]

Выражение для dV в вытя путых сфероидальных координатах см. в работе [1]. [c.127]

Рис. 40. Сфероидальная система координат.

Далее мы рассматриваем последовательность Маклорена и возьмём угловую скорость осей координат в качестве постепенно возрастающего параметра. Также предположим, что при рассматриваемых деформациях форма остаётся сфероидальной, а ось симметрии всегда совпадает с осью вращения . В таком случае система имеет только одну степень свободы, и в качестве единственной координаты, необходимой для её определения, может быть взят эксцентриситет меридионального сечения е. Конечно, этот пример является искусственным с физической точки зрения, т. к. угловая скорость не является существенным фактором для свободной системы. [c.75]

Важно отметить, что мы рассматриваем систему с тремя неравными осями, поэтому для её задания нужны две координаты. Если начать со сфероидов Маклорена, то мы ограничены случаем а = Ь, требующим только одну координату, а эллипсоиды Якоби вообще себя не обнаруживают. Именно по этой причине для форм Маклорена в таблице I нет максимального или критического значения углового момента, соответствующего точке В. С другой стороны, для ряда Якоби величина Н в точке В имеет критическое значение. Очевидно, сфероиды можно рассматривать как специальный случай эллипсоидальных форм, так что существует два ряда эллипсоидальных форм, пересекающихся в точке В, — это ряды Маклорена и Якоби. Но к сфероидальным формам относится лишь один из них. [c.79]

Из других резонаторов, рассчитываемых методом разделения переменных, следует упомянуть вытянутые и сплюснутые сфероидальные резонаторы [7]. Разделение переменных проводится только для азимутально-симметричных типов колебаний в соответственно вытянутой и сплюснутой сфероидальных системах координат. Решение выражается через волновые сфероидальные функции. К сожалению, эти функции сравнительно слабо изучены, [c.100]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

В работе [68] приведены системы координат, в которых для уравнения (3.2) можно получить уравнения (3.4) с разделенными переменными. Это прямоугольная, круговая цилиндрическая, сферическая, коническая, параболическая, эллиптическая цилиндрическая, параболическая цилиндрическая, вытянутая и сплющенная сфероидальные, эллипсоидальная и параболои-дальная координатные системы. [c.48]

В задачах для многосвязных областей, ограниченных эллиптическими, цилиндрическими и сфероидальными поверхностями, имеется три источника появления бесконечных систем пе-реразложение периодических функций, соответствующих различным волновым числам, по общей системе периодических функций разложение параметров Ляме соответствующей системы координат по системе периодических функций использование теорем сложения для переразложения решений из одной координатной системы в другую. [c.54]

В этой главе приведено строгое решение задачи о диффрак-ции на открытом конце плоского волновода, в дальнейших главах то же будет сделано для круглого волновода. Эти задачи поучительно (с методической точки зрения) сравнить с задачами о диффракции на бесконечной прямой щели и на круглом отверстии в плоском экране. Для бесконечно тонкого и идеально проводящего экрана последние задачи, как известно, решаются методом разделения переменных в криволинейных координатах— эллиптических и сфероидальных решения имеют вид сложных рядов, члены которых выражаются через специальные функции. Эти ряды оказываются пригодными для вычислений [c.58]

Пусть упругое тело имеет форму сфероида (эллипсон-да вращения) или представляет собой пространство с соответствующей сфероидальной полостью. Совместим ось 2 с осью симметрии сфероида, а начало координат — с его центром. [c.154]

Пусть постоянная С настолько велика, что сфероидальные поверхности вокруг т и тпч, а также цилиндроидальная поверхность разделены. Координаты X ж у можно выбрать такими большими, чтобы правая часть (6.3.8) была положительна при любой величи- [c.227]

Важно подчеркнуть чтобы эти результаты оставались справедливыми, число координат, необходимых для описания данной системы, должно оставаться неизменным. Непрерывные системы, такие, например, как жидкие массы, для своего полного описания требуют бесконечного количества координат, но если ограничить эту массу какой-либо формой, то число необходимых координат станет конечным. Так, если рассматривать только эллипсоидальные формы, будет достаточно двух координат если а, 6, с обозначают полуоси, то они должны удовлетворять условию ab = onst. Если рассматривать только сфероидальные формы, ю а = Ь, т. е. будет вполне достаточно одной координаты. Если изобразить для ряда Маклорена график, подобный вышеописанному, то точка бифуркации не возникает, т. к. в данных пределах отсутствуют другие ряды фигур равновесия . С другой стороны, если изобразить график для эллипсоидального ряда, то точка бифуркации окажется в точке его пересечения с рядом Маклорена. [c.27]

На рис. 1.6 цредставлены ре зультаты решения задачи деформировании упругой среды со сфероидальной полостью сосредоточенными на оси силами величиной / .Расстояния от точек цриложения сил до начала координат равны //,размер большей полуоси сфероида равен а, меньшей - а /2. Штриховые линш соответствуют зависимости отнсапения от угла , [c.14]

Были рассчитаны также собственные частоты колебаний Яоц, Яо21, Яо12 для вытянутого и сплюснутого сфероидальных резонаторов. Результаты расчетов (Л7 = 0,01, ej=I, Ai = 2, Р = 3, е — эксцентриситет) приведены на рис. 2.7. Сплошные кривые на рис. 2.7 заимствованы из [7], где решение задачи проведено методом раз-, деления переменных в сфероидальных координатах. Кружками, треугольниками и квадратиками нанесены результаты, полученные проекционным методом. Совпадение результатов, как видно из графиков, хорошее. Некоторые отличия проявляются при е->1 [c.108]

Представляют интерес решения, не зависящие от одной координаты, например от ф. Если и =0, то решение представляет собой одну из сфероидальны(х мод, а еслн ыф является единственной отличной от нуля компонентой смещения, то движение будет крутильным и представляет собой одну из тороидальных мод. Функция Q"ii( os0) принимает бесконечное значение при 0 = 0 и поэтому не может быть использована для описания свободных колебаний сферы. По аналогичным причинам отбрасываются решения, содержащие функцию т кгг), обращающуюся в бесконечность [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...