Бифуркационный анализ

Явное интегрирование и бифуркационный анализ [c.96]

Кроме того, в [70, 128], как правило игнорируются результаты вихревой теории, имеющие не вполне элементарный характер. Действительно, в самое последнее время с помощью проникновения в вихревую динамику теории алгебр Ли, топологии, бифуркационного анализа были получены существенно новые результаты, описанию которых и посвящен данный обзор. Отметим, что новые методы в большинстве описанных проблем вихревой динамики способны дать существенно более глубокие результаты. [c.25]

Бифуркационный анализ. Траектории системы (3.8), соответствующие относительным движениям трех вихрей, параметризуются значениями интегралов к, О (3.28). Те значения интегралов, при которых происходит перестройка типа траекторий, называются бифуркационными, они группируются в бифуркационные кривые, которые, как было сказано выше, соответствуют относительным равновесиям системы. Согласно (3.31) и (3.37), бифуркационные кривые имеют одинаковую степенную зависимость к 0) вида [c.60]

Значения момента В = 1 , совпадают со значениями (3.48), в которых теряет гладкость приведенное фазовое пространство. Они играют важную роль в бифуркационном анализе (см. ниже), им отвечают особенностям фазового портрета, соответствующих решениям, при которых пара из трех вихрей слита 0, 4Д , (i,j к), при этом /г О [c.72]

Бифуркационный анализ. Построим бифуркационные кривые, соответствующие томсоновским и коллинеарным стационарным решениям на плоскости интегралов к, О (3.28). Для томсоновских решений кривая определяется тем же выражением, что и для плоскости (3.31), а для коллинеарных — система (3.58) может быть решена лишь численно. Результаты численного построения бифуркационных диаграмм для случаев различных соотношений интенсивностей представлены на рис. 14. (Здесь мы, как и в задаче трех вихрей на плоскости, ограничиваемся случаем А > О, для которого диаграммы имеют более простой вид). [c.74]

Бифуркационный анализ, состоящий в нахождении явного вида функции / (Г 1, Г2, Гз), может быть выполнен так же, как в разделе 3. [c.92]

Па рисунках 21, 22 приведены две крайние из только что описанных ситуаций 1 и 5. В работах [94] и [73] приводятся фазовые портреты и геометрическая интерпретация в остальных ситуациях. Строгого доказательства того, что этими ситуациями исчерпываются все возможные типы фазовых портретов и окончательный бифуркационный анализ этой задачи, по-видимому, пока не выполнены. [c.95]

Замечание 3. Обобщим здесь замечание Арефа [67] относительно того, что геометрический и бифуркационный анализ задачи трех вихрей, а также общие теоремы, доказанные в этом разделе, могут быть естественно перенесены на системы. [c.116]

Вопрос о возникновении третичных режимов в этой задаче остается пока до конца не выясненным, однако в случае узкого прямоугольного контейнера обнаружены устойчивые автоколебательные режимы. Для выяснения природы этих режимов и анализа перестроек кривых стационарных режимов требуется проведение подробного бифуркационного анализа соответствующих многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.62]

Для стержней и пластин (рис. 15.1, 15.2) после бифуркации при нагрузке р наблюдается неединственность решения задачи и резкое возрастание прогибов, которое, как правило, приводит либо к разрушению, либо к недопустимо большим деформациям. Такое поведение стержней и пластин предопределило успех бифуркационной теории Эйлера. У оболочек (рис. 15.3) после бифуркации при нагрузке р наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки при одновременном росте перемещений. Оболочки весьма чувствительны к начальным несовершенствам формы и поэтому при анализе их поведения основное значение имеет максимальная нагрузка Рт, которую она выдерживает перед наступлением катастрофического выпучивания. Для определения же максимальной нагрузки необходимо решать нелинейную задачу о выпучивании оболочки с учетом начальных прогибов fo (рис. 15.3) либо других начальных несовершенств. [c.321]

Значение критического времени определяем исходя из двух ранее сформулированных критериев потери устойчивости. Как показал численный анализ, хотя для рассмотренных оболочек и возможна бифуркация форм равновесия при мгновенном упругом деформировании, однако при ползучести под действием нагрузок ниже наименьших бифуркационных она не проявляется. В приведенных примерах если и происходит на рассматриваемом временном интервале потеря устойчивости, то путем интенсивного осесимметричного выпучивания. [c.62]

Вариант численного анализа поведения системы в окрестности особой точки предложен в [411], где на о< ове касательных матриц жесткости Ь точках до и после особой точки строится задача на собственные значения для разделения бифуркационных ветвей. [c.182]

Появление составляющей пл в (10.7) приводит к тому, что для ф/2 Ф Ф nil одна из частот со окажется в области неустойчивости. Следовательно, система устойчива только в случае, когда все собственные значения т действительны и отрицательны. Состояние Во как правило, устойчиво, поэтому для собственные значения удовлетворяют этому условию. Во время начальной деформации собственные значения принимают значения, лежащие в плоскости (рис. 13). Потеря устойчивости имеет место в случае, когда одно из собственных значений будет удовлетворять условию Re m 0. При Re m = О будет бифуркационная потеря устойчивости, если же Re m =7 О, то будет динамическая потеря устойчивости. Эти изменения представлены на рис, 13. Используя иной анализ, условие устойчивости также было получено в работе [6]. [c.67]

Эти свойства синергетических систем были использованы [17-19] для анализа бифуркационной природы самоуправляемого синтеза атомов. Синергетический анализ структур сложных систем, какой и является Периодическая система элементов, требует определения параметра порядка и управляющего параметра. [c.55]

Однако, если просто изучать все многообразие дислокационных структур, то очень трудно выявить общие закономерности накопления повреждений в процессе усталости. Важно рассмотреть эволюцию дислокационных структур при характерных (пороговых) условиях пластической деформации и проводить анализ тех пороговых дислокационных структур, которые связаны с бифуркационным состоянием отдельных объемов материала и в которых происходит неравновесный фазовый переход, связанный с образованием новой, более устойчивой фазы - микротрещины [58, 59]. В этом смысле весьма перспективно привлечь к анализу представления синергетики (области научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах различной природы [60]). Подходы синергетики позволяют описывать сложное поведение открытых систем (а образец или конструкция, которые испытываются на усталость, являются открытыми системами), не вступая в противоречие со вторым законом термодинамики [61-69]. Синергетика оперирует с диссипативными структурами, образующимися в неравновесных условиях в результате обмена энергией (или энергии и веществом) с окружающей средой при подводе внешней энергии к материалу. [c.85]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

Описанные свойства течения в диффузоре хорошо известны [18], однако некоторые детали до сих пор оставались невыясненными. Так, в курсе [87] содержатся неточности, касающиеся последовательности возникновения симметричных и несимметричных течений с обратными токами. Бэтчелор, указав на возрастание числа решений с увеличением Ва, отметил трудность количественного определения этой закономерности. Приведем результаты анализа и расчетов, проливающие свет на эти и некоторые другие аспекты задачи. Прежде всего отметим, что значение Ва = Ва является бифуркационным. [c.68]

Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия сущ ествуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризуюш их состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность. [c.336]

Бифуркационная диаграмма и геометрический анализ движения [c.104]

Требуется найти другие решения, периодические по г, с длиной волны L. Для их поиска применен статический бифуркационный анализ. Поскольку расчеты ведись численными методами, то необходимо бьию детализировать исходное течение. Был выбран частный случай семейства (4.65) [c.229]

Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при А = О, так и при А 7 0) также не выполнен, и вопрос о (траекторном, топологическом) изоморфизме систем при ж = О и при х фО остается открытым. Можно лишь показать, что они не переводятся друг в друга при помощи неоднородного вещественного линейного преобразования. Вопрос о бигамильтоновости и наличии спектрального представления Лакса здесь также остается открытым. [c.299]

Из приведенных выше определений устойчивости вытекает по существу одинаковый метод исследования элементов конструкций— метод проб на устойчивость путем возмущения исходного состояния при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает существенным недостатком. Он не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого достигнут данный уровень внешних сил, и ограничивает анализ устойчивости системы малой окрестностью точки бифуркации. Такой анализ почти никакой информации о после-бифуркационном процессе деформирования конструкции и ее элементов дать не может, а потому он не определяет их индивидуль-ного поведения. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркационного поведения невозможно. Отмеченное еще в большей мере относится к неупругим системам, поскольку их деформация существенно зависит от истории наг жения. [c.319]

Приведенные выше бифуркационные диаграммы являются простейпш-ми, т.к. в данном анализе не учитывалось влияние на механизм самоорганизации интенсивности внешних связей, налагаемых на систему средой. Учет этих факторов приводит к "каскаду" неустойчивостей системы, отвечающих переходам устойчивость - неустойчивость устойчивость. Это означает, что в пространстве параметров существует область, достаточно близкая к термодинамическому равновесию, в которой нелинейности перестают играть свою роль, независимо от того, какую систему мы изучаем. [c.41]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Анализ условий существования и устойчивости основного режима, условий переключения реле на поверхности А и условий отсутствия лишних переключений реле в течение полупериода (для этого в пространстве параметров выделялись бифуркационные поверхности N 1, jV i, /J и С ) приводит к следующим ограничениям, накладываемым на параметры системы [c.239]

В главе 3 изучены эволюционные свойства разрывных течений вязкой жидкости. Построен класс двумерных нестационарных течений вязкой жидкости с двумя сильными разрывами. Исследование выполнено для вязкой ньютоновской жидкости и для потока со знакопеременной ту11булент-ной вязкостью. Представлена модель источника массы, импульса и энергии конечных размеров. Приближенным методом Бубнова-Галеркина ре-шеште задач сводится к анализу качественных свойств нелинейной динамической системы с двумя существенными степенями свободы. Даны критерии появления бифуркационных изменений гидродинамических систем. Выполнен анализ реагирования потока жидкости на управляющие воздействия, обусловленные различными факторами (граничный тепловой поток, объемный источник энергии, гидродинамический напор и др.). [c.4]

Представленный нелинейш,ш гидродинамический процесс является многопараметрическим, и его численному моделированию должен предшествовать подробный качественный анализ, который и составляет предмет данного исследования. Это тем более оправдано, что практика численных расчетов разрывных течений доставляет, как известно, осциллирующие решения, которые нуждаются в однозначной физической интерпретации. А именно требуется обнаружить существенные черты исходной задачи, являющиеся причинами нелинейных колебаний в гидродинамической системе. Для исследования краевой задачи (3.6)-(3.14) применяем подход, связанный с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Воспользуемся методом Бубнова-Галеркина [112], который приводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для существенных степеней свободы. Это дает возможность изучрггь бифуркационные ситуации и установить пороги возникновения автоколебаний. [c.88]

Разработана модель кругового источника массы, импульса и энергии в потоке вязкой жидкости. Установлено принципиальное влияние нелинейных свойств объемного источника энергии q T) на термогидродинамическую устойчивость течения и возникновение бифуркационных ситуаций. Выполнен анализ реагирования потока жидкости на управляющие воздействия, обусловленные а) трансверсальной скоростью Oj, характеризующей скольжение жидкости на сильном разрыве б) тепловым потоком qj, играющим доминирующую роль в проявлении эволюционных свойств температурно-неоднородного поля. Установлены условия появления бифуркационных нелинейностей при разнообразных условиях функционирования кругового источника. Обнаружены автоколебательный и триггерный режимы течения. Большое значение в появлении "порогов" явлений имеет не только знак, но и интенсивносгь источника (стока). [c.131]

Из представленного анализа можно сделать вывод, что закономерности образования в процессе ПД низкоэнергетических субструктур следует рассматривать как с позиций их организации при достижении критической плотности дислокаций, так и с точки зрения самоорганизации диссипативных структур в точках бифуркационной неустойчивости системы. В первом случае движущей сщюй процесса является стремление системы в виде пластически деформируемого твердого тела к локальному минимуму свободной энергии. При этом для большого числа сплавов, независимо от внутреннего строения их кристаллической решетки и внешних условий нагружения [137, 139], последовательность образующихся субструктур дефектов практически детерминирована (см. рис. 68). Во втором случае процесс образования той или иной доминирующей диссипативной структуры контролируется стремлением системы к минимуму производства энтропии. При этом особо важную роль в областях бифуркационной неустойчивости системы приобретают внутренние термодинамические флуктуации и внешние шумы, обусловливающие стохастические эффекты [16]. [c.101]

Для анализа устойчивости 1фисталлической решетки и характеристик прочности межатомной связи металлических кристаллов рассмотрим подходы к оценке максимальной (идеальной) прочности с использованием термодинамических и упругих констант кристаллов. С позиции принципов синергетики критические параметры, контролирующие устойчивость системы вблизи точек бифуркаций, инвариантны к виду подводимой энергии. В связи с этим за энергетический критерий устойчивости кристаллической решетки можно принять энергию, необходимую для нагрева кристалла до температуры плавления и его плавления [266]. Она определяется работой, которую надо произвести над кристаллической решеткой при заданных температуре и давлении, чтобы перевести ее в состояние, подобное состоянию металла при температуре плавления. Эта аналогия вытекает из инвариантности энергии, контролирующей бифуркационную неустойчивость систем, к условиям подвода энергии. [c.147]

В настоящей главе дается анализ неравновесных технологий, создаваемых путем обеспечения градиентов температур, напряжений и химического состава в системе, приближающих ее к точке бифуркационной неустойчивости элементов структуры. В этих условиях аномально возрастают коэффициенты диффузии и самодиффузии, формирующие потоки вещества, обеспечивающие самоорганизацию диссипативных структур. Комплексное легирование в сочетании с термомеханическими условиями воздействия на металл, позволяет получать необходимую степень нерав-новесности сплава в твердом состоянии. [c.216]

Проведенный анализ структурных изменений при пластической деформации порошков, подвергаемых обработке в аттриторах, показывает необходимость рассмотрения динамики процесса МЛ с привлечением подходов синергетики для выявления критических условий перехода системы в неустойчивое состояние, определяющих точки бифуркационной неустойчивости системы. [c.316]

Р — характерная нагрузка, W — характерное перемещение а — максимальная нагрузка, б — бифуркационная нагрузка х — точка бифуркашш решений, полученная в линейном анализе, О в нелинейном — точка максимума [c.224]

С позиций иерархической термодинамики Г.П. Гладышева снимаются критические замечания [75] в адрес теории И. Пригожина необратимых процессов. Установленный Г.П. Гладь[шевым закон иерархической термодинамики позволяет выделять квазизакрытые моноиерархиче-ские системы (подсистемы) в открытых полииерархических биологических системах. Другой подход к анализу эволюции систем развит И. При-гожиным. Он рассматривает эволюцию сложных систем как иерархическую последовательность устойчивость-неустойчивость-устойчивость , представленную в виде бифуркационной диаграммы. Точки бифуркаций на этой диаграмме отвечают переходам от равновесного к неравновесному состоянию. Они контролируются потерей устойчивости симметрии системы, при достижении которой система становится открытой. Это означает необходимость учета в этих точках открытости системы, т.к. термодинамика равновесных процессов в данном случае не применима. Понимая эту ситуацию И. Пригожин ввел представления о производстве энтропии, придав таким образом энтропии информационную, а не только управляющую роль. [c.40]

Появление этой работы вызвано необходимостью прозе дения анализа бифуркационного поведения упругопластических перфорированных пластинок при действии нагрузок -различного вида. Авторы ограничились исследованием только квадратнкх перфорированных пластинок, нагруженных рав номерными краевыми сдвигающими усилиями, другие же конфигурации пластинок и виды нагрузок будут рассмотрены в дальнейшем. [c.217]

В заключение отметам работу [38], посвященную анализу структуры бифуркационной диаграммы для динамических систем, содержащих седловое состояние равновесия, неустойчивое многообразие которого состоит из двух симметричных одномерных сепаратрис. Примером может служить система галеркинских уравнений, описывающая режимы тепловой конвекции в поле вибрации при слабом нарушении инверсионной симметрии. Рассмотрена ситуация, когда возникающие в системе го-моклинные петли являются притягивающими. В области регулярного поведения обнаружены, помимо периодических, квазипериодические режимы, которым соответствуют инвариантные множества канторотора Граница области хаоса оказывается фрактальной. [c.292]

Таким образом, анализ, казалось бы, простейшей задачи об источнике вскрывает удивительный факт — суш,ествование счетного числа стационарных решений при всех значениях числа Рейнольдса и ветвление этих решений от осесимметричного режима. Это — новое, можно сказать, парадоксальное свойство уравнений Навье — Стокса. Первая бифуркация происходит в режиме стока при Ке ] = — Зя, бифуркации с т>3 происходят в режиме источника. Наиболее поразительно, что и зпачепие Ке = О т = 2) является бифуркационным. [c.74]

В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации особо замечательных решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. [c.17]

Вместе с тем нахождение разделяющих переменных в интегрируемой системе очень полезно для изучения ее динамики. Оно позволяет изучить решения, устроенные наиболее просто (случаи вырождения или классы Аппельрота особозамечательных движений волчка Ковалевской), провести бифуркационный (топологический) и качественный анализ [92, 170], явно построить соответствующий набор переменных типа действие-угол. Последнее особенно важно для анализа возмущенной ситуации, а также для целей квантования (например, в квазиклассическом приближении). [c.84]

Отметим также, что в работах [134, 165] приведены бифуркационные кривые, не все из которых совпадают с нашими. Но если в работе [165] это вызвано лишь краткостью изложения, при котором не ставится задача получить полный анализ движения, то в книге М. Оден [134] часть кривых, видимо, не совсем правильна. Здесь сложно сделать окончательные выводы в силу того, что книга [134], несмотря на название, посвящена не прояснению реального движения волчков, а объяснению хорошо известных фактов с дополнительным их оттягощением — формализмом комплексной алгебраической геометрии. [c.111]

Как показано А. В. Болсиновым [23], линейный изоморфизм существует и для многомерных аналогов рассматриваемых задач. Хотя явное преобразование (2.20) было указано [14], на уровне сходства интегралов движения обеих систем его неявно использовал еще Ф. Шоттки (1891 г) [265]. Топологический анализ и бифуркационные диаграммы имеются в работе [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...