Фокус неустойчивый, устойчивый

В 19.4 мы рассмотрели все возможные типы особых точек линейной системы. Одним из них является вихревая точка. Вихревая точка устойчива. Траектории в окрестности такой точки представляют семейство подобных эллипсов с центром в точке 0 рассматривая эллипс с большой полуосью, равной е, мы можем взять в.качестве х (е) малую полуось этого эллипса. Устойчивые узлы и фокусы одновременно устойчивы и асимптотически. Сед-ловые точки, а также неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы. (Чтобы получить уравнения в форме, в какой мы их писали в 19.4, следует применить линейное преобразование [c.371]

Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже.

Одно положение равновесия (неустойчивый фокус). Один устойчивый предельный цикл. Мягкое возбуждение автоколебаний [c.27]

Очевидно, судя по уравнению (162), при вещественных < О и >12 < О узел будет устойчивой особой точкой, а при > О и > О — неустойчивой. При детальном рассмотрении можно показать, что при комплексных и фокус будет устойчивой особой точкой, если X + < О, и неустойчивой, если Л + > О [67]. [c.108]

Зафиксируем оп = х1<2. Существует ц, <0 такое, что для любого 1Л== Л,- Л2 е(ц,,0) точка (п,0) -устойчивый фокус существует 12>0 такое, что для любого л = 11 112 (0,1 2) очка (л,0) неустойчивый фокус, окруженный устойчивым предельным циклом, размер которого растет с ростом д от до Цз [c.80]

Значит, для состояния равновесия с абсциссами х > х и х<С.Хо имеем 0 С О, т. е. состояния равновесия, не являющиеся седлами, устойчивы, а для состояния равновесия с абсциссами, удовлетворяющими неравенствам Жг < ж С Xi, имеем а > О, т. е. соответствующие узлы или фокусы неустойчивы. Таким образом, получим [c.164]

В заштрихованной части плоскости параметров i < О, в не-заштрихованной (но в которой может быть область, обозначенная мелкими штрихами) Д > 0. Напомним, что при переходе через часть границы R = 0, в которой Li < О, из заштрихованной области в незаштрихованную из сложного фокуса рождается устойчивый предельный цикл, а при переходе через R = 0, где Li > О, из незаштрихованной в заштрихованную область — неустойчивый цикл. [c.231]

Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состояния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие ф (а )> —1, и неустойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло. [c.293]

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с прямыми 1 = 0 и 2 = 0 происходят бифуркации состояний равновесия при уменьшении X сначала из фокуса х (рис. 160,10) и затем из фокуса Х2 рождаются неустойчивые предельные циклы (фокусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя предельными циклами (рис. 160,9). Так как при Х = 0 предельных циклов нет (г/ = о — интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,7), то рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании X до нуля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина положительна (Р + ( у = — ф xq) — 1 = a—1,гдеЯ — координата [c.301]

Очевидно, если точка, соответствующая состоянию равновесия, расположена под кривой а, то для этого состояния равновесия о < О (и значит, узлы и фокусы неустойчивы), если над кривой о, то о > О (и значит, узлы и фокусы устойчивы). [c.328]

При переходе через поверхность oi= О в направлении возрастающих Ol фокус из устойчивого становится неустойчивым и из него появляется единственный устойчивый предельный цикл (первая ляпуновская величина для точек иоверхности Oi = О имеет значение аз = — [яЯ(1 — у ) ]/8 < 0). [c.346]

Если при изменении коэффициентов bi ж сшитый фокус из устойчивого делается неустойчивым, то здесь возможна та же смена качественных структур, что и рассмотренная в гл. 11, 13 при смене устойчивости фокуса аналитической системы. [c.373]

При о > О фокус становится устойчивым. Если о достаточно мало, то на интервале (——672) будет т] (/г.)<0, но сохранится т (0)>0. На интервале (—6 /2,0) будет существовать к = к — корень функции г 5(Л), соответствующий неустойчивому (т (/г.1) > 0) предельному циклу, возникшему из границы области, заполненной замкнутыми кривыми (рис. 205,2). [c.397]

Система (10) имеет два состояния равновесия фокус и седло. При малых фокус будет устойчивый, если а + р > О, и неустойчивый, если а + < 0. [c.450]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

Рассмотрим биллиардное отображение, соответствующее биллиарду в эллипсе. Покажите, что две точки, соответствующие длинному диаметру, являются седлами и орбиты, проходящие через фокусы, задают устойчивые и неустойчивые многообразия. [c.354]

Числители а Ьк 2 в подкоренных выражениях для координат особых точек, лежащих вне начала координат, как нетрудно видеть, являются корнями характеристического уравнения -[-оХ-[-Д =0. Поэтому особых точек вне начала координат не существует, если точка (О, 0) является фокусом или устойчивым узлом вне начала координат имеются две особые точки, если (О, 0) — седло (уравнение оХ + А = О имеет только один положительный корень) если же точка (О, 0) — неустойчивый узел, то вне начала координат [c.379]

Как мы видели в 2 настоящей главы, область О разбивается особыми (орбитно-неустойчивыми) траекториями на элементарные ячейки, заполненные неособыми (орбитно-устойчивыми) траекториями одинакового поведения. При этом все ячейки можно разбить на два класса на ячейки, примыкающие к циклу без контакта С, ограничивающему рассматриваемую область О, и на внутренние ячейки. Принимая во внимание перечисленные в грубых системах возможные типы траекторий, нетрудно видеть, что каждая внутренняя ячейка имеет в составе своей границы один элемент притяжения или сток , являющийся либо устойчивым узлом или фокусом, либо устойчивым предельным циклом, и один элемент отталкивания или источник , являющийся либо неустойчивым узлом или фокусом, либо неустойчивым предельным циклом. [c.455]

Бифуркационная диаграмма представлена на рис. 314. В этом случае при возрастании X фокус из устойчивого делается неустойчивым, и при этом появляется устойчивый предельный цикл (и только один). [c.473]

Бифуркационная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 315. При возрастании X фокус из устойчивого делается неустойчивым, при [c.474]

При возрастании X неустойчивый фокус делается устойчивым. Устойчивый предельный цикл стягивается в фокус (рис. 317). [c.475]

Если, начиная с некоторого значения параметра а 1, мы будем его непрерывно уменьшать (например, уменьшая коэффициент обратной связи М), то радиус предельного цикла будет также непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю при а 1. При а=1 предельный цикл исчезнет, сольется с неустойчивым фокусом, передав фокусу свою устойчивость мы видим, что а=1 является бифуркационным значением параметра а ). [c.679]

Очевидно, характер состояния равновесия I,U) зависит от знака и величины ф (0> т. е. от дифференциального сопротивления дуги при равновесном значении силы тока i = I. Пусть состояние равновесия, отмеченное цифрой 1 на рис. 511, лежит на поднимающемся участке характеристики дуги. Тогда оно устойчиво (так как ([ (/i) 0 и оба корня уравнения (10.12) или их действительные части отрицательны) это либо устойчивый фокус, либо устойчивый узел в зависимости от соотношений между L, С, R ч ф (/i). В точке 2 ф ( з) отрицательно и, как видно из диаграммы, по абсолютной величине больше, чем R. Следовательно, ф ih) 0. и особая точка 2 есть седло. Соответствующее ей состояние равновесия всегда неустойчиво. Наконец, в точке 3 хотя ф (/з)< 0, но, как видно из диаграммы, по абсолютной величине ф (/з) меньше, чем R, и, значит, -f-0. т. е. особая точка, отмеченная цифрой [c.738]

Ж (О) < О, то система самовозбуждающаяся, обладающая возможностью порождения автоколебаний. Уточнение может быть сделано лишь при учете нелинейных членов. То же относится к случаю 4-М ( 2) = 0, когда консервативность системы только кажущаяся. Хотя в этом случае на фазовой плоскости и получается центр, но этот центр неустойчив по отношению к малым изменениям параметра он может порождать фокус, как устойчивый, так и неустойчивый. Вопрос о действительном поведении системы решается уже нелинейной трактовкой задачи. [c.157]

В дальнейшем для удобства тильду мы будем опускать. Ранее из линейного анализа (4.1) было показано, что тип равновесия определяется величиной у= К (1). Если у < 1, то равновесие -неустойчивый узел (фокус), если у > 1, то узел (фокус) становится устойчивым. При переходе через и = 1 происходит смена устойчивости по типу бифуркации Андронова-Хопфа, когда собственные значения пересекают мнимую ось. В случае обшего положения при зтом из равновесия рождается предельный цикл. Однако конкретные примеры трофической функции V (лг) могут приводить к иным результатам. [c.228]

Существует 2 > Цц ( 2 < Ио) такое, что для любого ц 6 (цо, 2) (ц 6 ( и2, Цо)) начало координат - неустойчивый фокус, окруженный устойчивым предельным циклом, размер которого растет с возрастанием (убыванием) ц от Цд [c.176]

Зафиксируем <2. Существует ц, < О такое, что для любого а = а, - 2 (Й1 0) точка (я, 0) - устойчивый фокус существует 2 > О такое, что для любого а = а, - 2 S (О, 2 ) точка (я, 0) - неустойчивый фокус, окруженный устойчивым предельным циклом, размер которого растет с ростом ц от О до 2 > [c.187]

Устойчивый узел (фокус) Неустойчивый узел (фокус) [c.138]

Случай 1 хотя бы один из коэффициентов а. отличен от нуля. Тогда все траектории в малой окрестности точки X = = О - спирали, а состояние равновесия имеет характер фокуса. Пусть а. - первый отличный от нуля коэффициент. Тогда точку X = = О называют сложным фокусом кратности / Этот фокус неустойчивый, если а. > О, и устойчивый, если а. < 0. [В первом случае Р(Го) = <ХуГ(/ +...> О и точка В на рис. П.1 лежит правее точки А, во втором случае (Гд) < О и расположение точек Аа В такое, как рисунке]. [c.328]

Р,(0.0) Устойчивый узел (фокус) Неустойчивый узел (фокус) Седло Седло [c.352]

Один из корней — действительный, два других — комплексные, причем все корни имеют отрицательные (положительные) действительные части. Состояние равновесия в этом случае называется устойчивым (неустойчивым) фокусом (рис. 1.6, а и рис. 1.6, б). [c.14]

ТОГО факта, что фокус из устойчивого делается неустойчивым) недостаточно для однозначного заключения о происходяще смене качественных структур (так как при этом может быть либо случай а), либо случай б) ) для этого необходимы ен е дополнительно сведения об устойчивости или неустойчивости сложного фокуса при Я = Яо, т. е. о знаке ляпуновской величины [c.187]

Р, (1, 0) - седло. Pj (1, 7t) - узел (или фокус), притом устойчивый, если О < О, и неустойчивый, если а > 0. По критерию Бендиксона D — а — onst, следовательно, при а О ЗФТ не существуют. Однако они существуют цри 0 = 0, поскольку в этом случае Р центр [корни характеристического уравнения, составленного для Р , мнимые, и существует первый интетрал системы (2.86) он легко находится интехрированием уравнения dyjdx = [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...