Изоморфизм линейный

Рассмотрим естественное отображение ТМ Т М, порожденное римановой метрикой д,д) —> д,р), где р — дТ/дд. Очевидно, что р — линейная форма на ТдМ. Квадратичная форма Т положительно определена, поэтому линейное отображение д р — изоморфизм линейных пространств ТдМ н Т Ы. [c.23]

Изоморфизм линейный 191, 194 Импульс канонический 40 Инвариантная кривая 57 [c.375]

Теорема 1.3. Отображение ф X /2, ставящее в соответствие оператору X его матрицу Л, т. е. ф (X) = tAi является изоморфизмом линейных пространств Ш (V) и [c.144]

Доказательство теоремы 1 базируется на применении обобщенной теоремы Ли из п. 3. Естественное отображение алгебры Ли функций Fi,..., на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей uf,,..., Vf является изоморфизмом ввиду (3.23) и того факта, что линейная комбинация кГк есть тождественная константа только при Al =. .. = Л = О (так как Fi,..., F функционально независимы). [c.83]

Для ряда гамильтоновых систем с алгебраическими правыми частями изоморфизмы задаются дробно-линейными преобразованиями с особенностями. Первый результат подобного рода принадлежит Вито Вольтерра оказывается, проективным преобразованием уравнения для свободного гиростата Жуковского приводятся к уравнениям Эйлера для одного твердого тела, вращающегося по инерции. Тем самым удается явно проинтегрировать уравнения задачи Жуковского (см. [235]). [c.96]

Но этот же вид имеют уравнения Эйлера в проективных координатах (6.7). Роль моментов инерции играют числа мь Мг и мз они. зависят не только от / и Л, но и от постоянных интегрирования hi и /i2. Искомый изоморфизм задач Эйлера и Жуковского является композицией двух проективных преобразований и одного линейного. В вещественной области этот изоморфизм имеет особенности, что отвечает разной топологии фазовых кривых двух задач. [c.97]

Пусть е ,. . ., е Г СГ К" — образующие стационарной группы Г (см. лемму 3). Отобразим линейное пространство К = = (ф, у) на пространство К" = так, чтобы векторы /г перешли в е,-. Пусть А К"К" — такой изоморфизм. [c.244]

При Г1 -L Г2, например, можно выбрать д = h/з, ha = д/з = О или ha = д/3, да = hj3 = о, вместо Fi возникает линейный интеграл М3 Щ = = Мз (М,7), циклическая переменная (ртФ- Соответствующая редукция и связанный с этим изоморфизм с интегрируемым случаем Чаплыгина [c.209]

Определение 5.5.1. Пусть Е — линейное пространство. 2-тензор а Е X Е Ш называется невырожденным, если а v>-+ а(v, ) — изоморфизм Е на двойственное пространство Е. Этот тензор называется антисимметричным, если a v, w) = —a w, v). Невырожденная антисимметричная 2-форма называется симплектической формой. Линейное пространство с фиксированной симплектической формой называется симплектическим векторным пространством. Если (Е, а) и (F, ) — симплектические векторные пространства, то линейное отображение Т Е F называется симплектическим, если Т /3 = а [c.226]

Пространство, двойственное к конечномерному пространству, изоморфно ему, В случае гильбертова пространства имеется естественный изоморфизм каждый непрерывный линейный функционал представляется в виде (у, ) для некоторого вектора . Иногда такое явление наблюдается н для других линейных пространств, но вообще оно не очень распространено. Рассмотрим, например, пространства измеримых функций, р-норма которых [c.700]

Поскольку Ц представляет собой линейное преобразование, которое переводит симметричные тензоры в симметричные тензоры, то, используя обычный изоморфизм, мы можем рассматривать его как тензор в шестимерном векторном пространстве. Таким образом, он. имеет не более чем 36 различных компонент. Этот очевидный факт должен выражаться с помощью [c.295]

Существование связности V означает, что в расслоении когомологий определен параллельный перенос слоев над кривыми в базе, причем отображение слоя над начальной точкой пути в слой над конечной точкой является линейным изоморфизмом слоев. [c.93]

В параболическом случае удобно заменить В па верхнюю полуплоскость, выбрав такой изоморфизм В = Н, что неподвижная точка соответствует бесконечной точке. Используя следствие 1.9, мы видим, что g должно соответствовать линейному преобразованию т ат + Ь с вещественными и а > 0. Из того, что не существует неподвижных точек в М С Ж, следует, что а = 1, таким образом, это преобразование является параллельным переносом. [c.21]

Задача 5. Доказать, что отображения А - - и Аь- устанавливают изоморфизмы линейного пространств . К векторов А с линейными пространствами 1-форм в и 2-форм в Если в К выбрана ортонорми-рованная, ориентированная система координат (х , х , х ), то [c.151]

Задача. Доказать, что5 соответствие м- ю есть изоморфизм линейных 2п-мерных пространств векторов и 1-форм. [c.177]

Отождествление алгебры Ли 9 с дуальным к ней пространством 9 имеет более глубокое основание. Дело в том, что на группе вращений существует (и единственна с точностью до множителя) двусторонне инвариантная риманова метрика. Эта метрика задает раз и навсегда выделенный изоморфизм линейных пробтранств 9 и 9 (а также TGg и T Gg). Она позволяет, следовательно, считать векторы угловой скорости и момента лежащими в одном евклидовом пространстве. В результате отождествления операция , превращается в коммутатор алгебры, взятый со знаком минус. [c.290]

Из невырожденности билинейной формы 5 (5, Т1) следует, что существует единственный вектор Хх Н такой, что для всех 11 (К") значение (т1, 51 ) линейной формы т на векторе 51 совпадает с 5(1, т)). Аналогично существует единственный вектор 52Т) такой, что5( , т)) = ( , 52Т]) для любого 5 (Н") - Линейные операторы 5у(/=1, 2) определяют изоморфизмы линейных пространств (Н") и К" и поэтому имеют однозначные обратные операторы 57 . По билинейной форме 5 на (К") определяются билинейные формы на Н" у (д , ) = (5/ л , )—значение линейной формы Sf x на векторе у К". Для 0-симметризатора 5(1, т ) = 5(т , 5), 81 = 52 = 8. В системе линейных координат (д ,. .X") на К" и взаимной системе линейных координат ( 1,. .., ) на (Н") матрица формы 8 обратна матрице 5 = (5 -0 8 = 5" . Для Я-симметризатора 5 Ц, т))== = 5(т], 5), 81= 82. [c.224]

Гомоморфизмом или представлен и-е м алгебры Ли А ъ алгебру Ли А наз. такое линейное отображение ф Ai A , (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), к-рое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах ф([Х, У]) —[ф(Х), ф(У)1. Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебрек-рое под действием ф переходит в нулевой элемент алгебры А . Если отображение ф взаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Л. а. допускает точное представление в алгебру матриц (теорема Ад о). Ввиду тесной связи, существующей между Л. а. и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Л. а. Именно этим объясняотсн прикладное значение теории Л. а. и их представлений (см. Представление группы). [c.583]

В общей Э, т. можно выделить ряд направлений, занимающихся изучением тех или иных свойств ДС. Так, спектральная теория ДС применяет методы функционального анализа для изучения семейства линейных операторов [/ , порождённого ДС, Эти операторы действуют по ф-ле (U f)(x)=f T x) в гильбертовом пространстве L — L (X, s/, ц), состоящем из комплекснозначных ф-ций fix), х Х, с интегрируемым по мере и квадратом модуля. Другое направление—энтропийная теория ДС — основано па тесной связи Э, т. с теорией вероятностей и на применении теоретико-вероятностных и теорсти-ко-информац. идей. В прикладной Э. т. существуют разделы, в к-рых по преимуществу изучаются ДС, возникающие в теории вероятностей, дифферекц. геометрии, теории чи ел, статистич. физике и др. областях математики и фи зики (впрочем, мн. системы имеют смешанное происхождение, а вследствие изоморфизма само представление [c.626]

Используя приведенные выше указания, можно построить группу МС для любой молекулы в данном электронном состоянии, если известны ее равновесная конфигурация и возможность туннельных переходов в этом состоянии. Как будет показано в гл. 11, группа МС изоморфна с точечной группой для любой жесткой нелинейной молекулы. Поэтому мы будем обозначать группы МС символом соответствующей точечной группы с последующим добавлением (М) например, группа МС H2F2 в основном электронном состоянии обозначается символом 2v(M). Далее, поскольку вследствие изоморфизма таблицы характеров этих групп МС такие же, как и для точечных групп, будем обозначать неприводимые представления этих групп МС теми же символами, которые используются для точечных групп. Очень важно помнить, что группа МС и молекулярная точечная группа не идентичны каждый элемент группы МС для нелинейной жесткой молекулы включает произведение операции молекулярной точечной группы и операции молекулярной группы вращения, как будет показано в гл. 11. В приложении А в конце книги приведены таблицы характеров для наиболее распространенных групп МС, в том числе для линейных и нежестких молекул, которые рассматриваются в гл. 12. Группа МС нежесткой молекулы обозначается символом G , где п — порядок группы. Далее в это.м разделе будут рассмотрены корреляция неприводимых представлений группы. VI и группы ППИЯ и применение корреляционного правила при наличии туннельных эффектов в молекулах. [c.238]

При обычных предположениях коэрцитивности на Лар в и aapva отображение А является изоморфизмом V на его дуальное пространство V В — линейный компактный оператор из [c.211]

Недавно найдены другие неожиданные изоморфизмы ряда проинтегрированных задач динамики. Так, например, в [201] указано дробно-линейное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в работе [179] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева—Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Эти результаты основываются на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем (см. [178]). [c.97]

Наше отображение линейно. Следствие 5 утверждает, что наше отображение переводит скобку Пуассона функций в скобку Пуассона векторных полей. Ядро состоит из функций Я, для которых I dH = 0. Поскольку I — изоморфизм, dH О, Н = == onst, ч.т.д. [c.190]

Обобщение случаев интегрируемости Клебша на пучок скобок Пуассона (в частности, система Шоттки-Манакова) приведено в 2 гл. 3, где также указана ретракция и линейный изоморфизм этих случаев. Интегрируемое семейство Клебша допускает два различных представления Лакса со спектральным параметром, которые приведены в книге [31]. [c.172]

Как показано А. В. Болсиновым [23], линейный изоморфизм существует и для многомерных аналогов рассматриваемых задач. Хотя явное преобразование (2.20) было указано [14], на уровне сходства интегралов движения обеих систем его неявно использовал еще Ф. Шоттки (1891 г) [265]. Топологический анализ и бифуркационные диаграммы имеются в работе [c.192]

А. А. Ошемкова [140] (см. также книгу [25]). В силу линейного изоморфизма со случаем Клебша результаты этого анализа эквивалентны полученным в работе [143]. [c.192]

Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при А = О, так и при А 7 0) также не выполнен, и вопрос о (траекторном, топологическом) изоморфизме систем при ж = О и при х фО остается открытым. Можно лишь показать, что они не переводятся друг в друга при помощи неоднородного вещественного линейного преобразования. Вопрос о бигамильтоновости и наличии спектрального представления Лакса здесь также остается открытым. [c.299]

Определение П2.1. Топологическгм векторным пространством называется линейное пространство, снабженное хаусдорфовой топологией, которая инвариантна относительно сдвигов и умножений на скаляры (т. е. сдвиги и умножения на отличные от нуля скаляры являются гомеоморфизмами). Изоморфизмом топологических векторных пространств называют любой линейный гомеоморфизм. [c.698]

На конечномерном нормированном линейном пространстве все нормы эквивалентны. Таким образом, все конечномерные нормированные линейные пространства изоморфны евклидову пространству, и этот изоморфизм является билипшицевым. [c.699]

Еслн 6 V, то отображение V / ->/( ), яаляется ограниченным линейным функционалом на V (с у = ), а отображение Ф V V , V >- о , представляет собой изометрический гомоморфизм (по теореме Хана — Банаха). Если этот гомоморфизм является изоморфизмом, то пространство V называется рефлексивным. (Это более сильное требование, чем наличие изометрического изоморфизма между V и V . ) [c.700]

Согласно общим теоремам Ли — Энгеля существует взаимо однозначное соответствие между алгебрами Ли и груннами Ли алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до взаимно-однозначного отображения между окрестностями единиц групп, переводящего единичный элемент в единичный и сохраняющего закон композиции вблизи единичных элементов (т. е. с точностью до локального изоморфизма). Поэтому классификация групп Ли в известном смысле эквивалентна классификации соответствующих им алгебр. Следует, однако, подчеркнуть, что если из наличия некоторой группы Ли вытекает существование отвечающей ей алгебры Ли (согласно теореме Картана каждая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой группы Ли), то процедура интегрирования или экспоненциирования , т. с. перехода от реализации алгебры Ли к реализации группы Ли, встречается с определенными сложностями и, вообще говоря, не всегда возможна. Не всякая алгебра Ли может быть проинтегрирована до группы Ли. Кроме того, утверждения о том, что всякому линейному представлению алгебры Ли О группы Ли Q соответствует линейное представление и всякой подалгебре [c.14]

Замечание. Как в аксиоме баланса сил, так и в формулировке принципа виртуальной работы требования гладкости, налагаемые на поле Г Q" S , весьма умеренные достаточно, чтобы все интегралы имели смысл. Напротив, необходимы существенные дополнительные предположения о гладкости, чтобы написать уравнения равновесия и придать смысл величине div" Г". Эти уравнения используются только как средство перехода от аксиомы баланса сил к принципу виртуальной работы, и потому естественно возникает вопрос, нельзя ли при этом переходе вовсе обойтись без уравнений равновесия и соответствующим образом понизить требования гладкости. Исследования в этом направлении проведены в работе Antman Osborn [1979], где показано, что принцип виртуальной работы может быть выведен непосредственно из аксиомы баланса сил. Подход Антмана и Осборна основан на выявлении своего рода эквивалентности между справедливостью аксиомы баланса сил для всех подобластей Л" и выполнением принципа виртуальной работы для всех отображений O-" . Такая эквивалентность устанавливается с помощью соответствия между специальными классами подобластей (кубами и их образами при изоморфизмах, липшицевых в обе стороны) и специальными классами вариаций (по существу, кусочно-линейными функциями). Метод доказательства в общем тот же, что и при выводе формул Грина в теории интегрирования. В [c.104]

Продолжение нильпотеитного оператора до представления алгебры Ли з1(2). Оператор I, действующий в й+ )-мерном линейном пространстве V по формуле (3), можно достроить до представления в V алгебры Ли з1(2) группы сохраняющих площадь преобразований плоскости. Для этого достаточно перенести стандартное представление группы 5Ь(2) (и алгебры з1(2)) на пространство V с помощью изоморфизма С полагая в формулах предыдущего раздела т=й-. [c.76]

Доказательство. Пусть М — любое Цф-измеримое подмножество множества , а Хм го характеристическая функция, т. е. Хм(Ф)=1 или Хм(Ф)=0 в зависимости оттого, принадлежит а з множеству М или нет. Поскольку Хм функцйя из пространства 2°° , 1 ), подействовав на нее изоморфизмом мы отобразим ее в Зф(З ). Поскольку функция Хм отлична от тождественного нуля и положительна, (хд ) также обладает этими свойствами. Следовательно, (ф (Хм)) Ф О, так как вектор Ф — разделяющий для Яф (3 )". На основании теоремы 11 мы можем заключить, что величина фд,, определяемая соотношением (фд ) = (ф (Хм)- )> есть положительный линейный функционал на удовлетворяющий условию КМШ, т. е. [c.280]

Производная любого отображения периодов определяет линейное отображение касательного пространства базы в слой когомологического расслоения. Невырожденное отображение периодов определяет изоморфизм пространства касательного расслоения базы с когомологическим расслоением. [c.96]

Формулы (7.4) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между векторами г из и из Ф°. Поскольку соотношения (7.4) линейны, то при этом соответствии сохраняются линейные операции. Отсюда следует, что пространства и Ф° изоморфны. Итак, пространство Ф° решений однородной системы 5 уравнений равновесия (7.1) с р неизвестными и с рангом Со=5< изоморфно пространству Фр .5. Изоморфизм пространств Фр г и Ф позволяет заключить, что размерность пространства Ф° равна р—5. Любая система—5 линейно-незавпси-мых решений (7.1) является базисом в пространстве Ф° и называется фундаментальной системой решений. На основании изоморфизма пространств и Ф любой базис пространства Фр г переходит в соответствующий базис [c.149]

Итак, полагая Н = L , V = (тогда V = (й ) = Н ), по теореме Реллиха получим, что вложение й с компактно. Поэтому М()ж-но применить общую схему 6 гл. II. Получаем, что формальному дифференциальному оп атору - Д и краевым условиям (1.2) соответ-ствует непрерывный линейный оператор А Н , осуществляющий изоморфизм между Щ и Я Ясно, что соответствующий оператор самосопряжен, положительно определен и обладает собственными векторами, образующими базис в L , а также в й , и й [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...