Бифуркационные состояния

Бифуркационное состояние существует, если в > О, и тогда результаты существенно отличаются от линейной теории. В случае выпуклости, рис. 3.11а, 5, <0, тепловое поле устойчивое при в > в, если Е2 >0. Значит, для источника массы получим устойчивость только при достаточно большой положительной производной (dq /dT).i- f >0, т. е. при подходящем выборе > О, Сток массы обладает при > О тепловой устойчивостью, если его интенсивность достаточно велика, Ь° > 25/(9Ре) и > 2. [c.110]

Однако, если просто изучать все многообразие дислокационных структур, то очень трудно выявить общие закономерности накопления повреждений в процессе усталости. Важно рассмотреть эволюцию дислокационных структур при характерных (пороговых) условиях пластической деформации и проводить анализ тех пороговых дислокационных структур, которые связаны с бифуркационным состоянием отдельных объемов материала и в которых происходит неравновесный фазовый переход, связанный с образованием новой, более устойчивой фазы - микротрещины [58, 59]. В этом смысле весьма перспективно привлечь к анализу представления синергетики (области научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах различной природы [60]). Подходы синергетики позволяют описывать сложное поведение открытых систем (а образец или конструкция, которые испытываются на усталость, являются открытыми системами), не вступая в противоречие со вторым законом термодинамики [61-69]. Синергетика оперирует с диссипативными структурами, образующимися в неравновесных условиях в результате обмена энергией (или энергии и веществом) с окружающей средой при подводе внешней энергии к материалу. [c.85]

При Я = 1 будет Х2 = О, т. е. значение Я = 1 является бифуркационным. Состояние равновесия Оз(фз, рз), существующее при Я < 1, является неустойчивым фокусом или узлом. [c.254]

Устойчивость состояний равновесия легко определить по бифуркационной диаграмме, которая получается из рис. 2.3 путем несложного дополнения. Заметив, что кривая / (х, к) = О разделяет плоскость хк на две области f х, Х)> О и f х, X) < О, заштрихуем область, в которой f х, к) > 0. Тогда, согласно смыслу производной f x (х, к), если точка, соответствующая состоянию равновесия х — [c.22]

Xk, лежит на кривой / (х, >.) == О справа от заштрихованной области, то fx Xh, t) < О, а если слева, то f x (х , к) > 0. В результате получаем бифуркационную диаграмму (рис. 2.4), на которой точками отмечены участки кривой / (х, X) = О, соответствующие устойчивым состояниям равновесия, а крестиками — неустойчивым состояниям равновесия. [c.23]

О С Я, < 1/4 система обладает двумя со- Рис. 2.14. стояниями равновесия устойчивым и не-, устойчивым, а при Я, < О (знак X изменяется при изменении направления одного из токов) — одним устойчивым состоянием равновесия. В точке Q-U, /4) производная ( , Я) == О, поэтому X == V4 есть бифуркационное значение параметра. Для построения фазового портрета рассматриваемой системы напишем интеграл энергии. В безразмерных величинах интеграл энергии имеет вид [c.35]

При значениях параметра Л в области А, > V4 система не имеет состояний равновесия. Фазовый портрет для этого случая изображен на рис. 2.16. При любых начальных условиях провод АВ в конце концов приближается с возрастающей скоростью к бесконечному проводу. При бифуркационном значении X = фазовый портрет системы имеет вид, изображенный на рис. 2.17. На фазовой полуплоскости [c.37]

В качестве примера на рис. 3.6 изображен случай, когда система имеет три состояния равновесия. Для определения числа состояний равновесия в зависимости от значений параметров системы воспользуемся бифуркационной диаграммой — кривой, связывающей значения ка- [c.54]

Уравнение (3.9) представляет зависимость Уо = f (г/ ), а величины х , и 3 считаются фиксированными. Возможные варианты вида бифуркационных диаграмм при различных значениях Хд и закрепленных значениях А, и р показаны на рис. 3.7. Число состояний равновесия в системе [c.55]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Минимальное значение параметра внешней нагрузки р, при котором она впервые не возвращается к своему исходному состоянию равновесия, называется бифуркационным. При этом значении параметра нагрузки происходит нарушение единственности решения задачи, что выражается в ветвлении (бифуркации) зависимости нагрузка р — характерное перемещение . [c.318]

Из (16.37) на основании (16.39) для однородного по толщине оболочки бифуркационного напряженного состояния получаем [c.342]

Она связана с возникновением вертикального градиента температур порогового (бифуркационного) уровня. До этого порогового уровня сохраняется стационарное состояние, при котором перенос тепла, осуществляемый снизу вверх, контролируется только теплопроводностью, т.е. в отсутствии конвекции. [c.64]

Бифуркационный критерий устойчивости, рассмотренный в 4.4, как мы выяснили там, не всегда дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости равновесия. Неполнота этого критерия связана с тем, что он устанавливает возможность иди невозможность смежного состояния равновесия, тогда как при потере устойчивости, вообще говоря, может наступить не новое состояние равновесия, а состояние движения системы. Поэтому естественная постановка задачи устойчивости состоит именно в изучении возможных движений механической системы. Возвращаясь к проблеме устойчивости сжатого стержня, напишем уравнение колебаний такого стержня следующим образом [c.205]

Теперь задачу устойчивости кругового кольца, находящегося под действием гидростатической внешней нагрузки, решим энергетическим методом (см. гл. 2). Для этого необходимо вычислить изменение полной потенциальной энергии А5 при переходе системы из начального состояния равновесия в смежное отклоненное состояние. Причем значение АЭ должно быть вычислено с точностью до квадратов бифуркационных перемещений первого порядка малости. [c.229]

Приведем геометрические нелинейные соотношения, которые необходимы для исследования закритического поведения оболочки, и решения задач устойчивости цилиндрической оболочки энергетическим методом. Во-первых, для исследования устойчивости оболочки, находящейся в безмоментном начальном состоянии, удлинения и углы сдвига в срединной поверхности следует выражать с точностью до квадратичных слагаемых относительно бифуркационных перемещений и их производных. [c.245]

При осесимметричном начальном напряженном состоянии функцию бифуркационных перемещений можно найти в виде [c.293]

В работах [11, 81] кроме этого критерия потери устойчивости используется бифуркационный критерий,, на основе которого исследуется возможность мгновенного перехода от основного осесимметричного к близкому циклически симметричному равновесному состоянию. Такой переход возможен за счет развития в оболочках в процессе ползучести интенсивных окружных сжимающих усилий в срединной поверхности. [c.9]

Для оболочек с относительно большой стрелой подъема над плоскостью возможна бифуркация форм равновесия с переходом оболочки в бесконечно близкое равновесное состояние (потеря устойчивости в малом ). Неосесимметричная (бифуркационная) потеря устойчивости для относительно подъемистых упругих оболочек при уровнях внешнего силового воздействия [c.84]

Бифуркационная диаграмма, связывающая значение параметра В, с координатой состояния равновесия е, имеет вид [c.91]

Для обоих вариантов бифуркационное значение / = / , рис. 3.7, 3.8, соответствует экстремуму кривой F (/ ). Состояния равновесия по обе стороны точки бифуркации седло и устойчивый узел. При слиянии этих двух простых особых точек получаем сложное состояние равновесия особую точку седло-узел. [c.103]

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33]

Комбинация усилий Nij, при которой впервые возможно выпученное состояние равновесия оболочки либо пластинки, отвечает ее бифуркационному состоянию. Сами усилия Иц носят название бифуркационных. Обычно усилия выражены через один параметр нагрузки N, так, что Nii = —pijN. Тогда задача сводится к отысканию одного бифуркационного значения параметра N. [c.325]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Из приведенных выше определений устойчивости вытекает по существу одинаковый метод исследования элементов конструкций— метод проб на устойчивость путем возмущения исходного состояния при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает существенным недостатком. Он не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого достигнут данный уровень внешних сил, и ограничивает анализ устойчивости системы малой окрестностью точки бифуркации. Такой анализ почти никакой информации о после-бифуркационном процессе деформирования конструкции и ее элементов дать не может, а потому он не определяет их индивидуль-ного поведения. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркационного поведения невозможно. Отмеченное еще в большей мере относится к неупругим системам, поскольку их деформация существенно зависит от истории наг жения. [c.319]

Мы рстаиили в этом обзоре в стороне обширную и быстро развивающуюся теорию бифуркаций систем с симметриями. Обилие разнообразных групп симметрий и их приложений, а также распространенность задач с симметриями в приложениях делают эту область очень привлекательной здесь уже прн малом числе параметров типичны сложные бифуркационные диаграммы. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться по статьям и книге Голубицкого и Шеффера [150—153] см. также [136], [145], 1146], [148], [149], [195]-[197]. [c.209]

При наличии на кривой Р — / критической точки бифуркационного типа закритическое состояние зависит от вида этой кривой. На рис. 18.119 показаны характерные типц кривых [c.465]

Решим эту задачу, пренебрегая изменением формы кольца в докритическом состоянии (см. 7), причем в первом приближении зададим бифуркационные перемещения в виде 1)1 = Лз1плф, = —пА os ф. Если решение вести с использованием выражения (6.15), то предварительно необходимо определить Nq = = Nq (ф). Если для решения задачи воспользоваться выражением (6.16), то необходимость определения Nq = (ф) отпадает. Считая, что при потере устойчивости кольцо будет деформироваться по п = 2 волнам (рис. 6.7, б) из (6.16) находим [c.234]

Дальнейшие уточнения задачи устойчивости сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки связаны с учетом момент-ности ее начального напряженного состояния. Напомним, что в классической постановке начальное напряженное состояние оболочки считалось однородными и безмоментными. Граничные условия, рассматриваемые в решении, относились только к бифуркационным перемещениям и никак не учитывались в докрити-ческом состоянии оболочки. При классической постановке как бы предполагалось, что в докритическом состоянии закрепления торцов оболочки не стесняют ее радиальных перемещений. Но в большинстве практических случаев нагружения цилиндрической оболочки радиальные перемещения на ее торцах бывают стеснены шпангоутами, днищами и т. д. Поэтому даже при равно- [c.262]

При использовании бифуркационного критерия потери устойчивости (в условиях мгновенного деформирования или ползучести) на каждом шаге по ведущему параметру решения (прогибу, нагрузке или времени) после определения параметров, описывающих основное состояние оболочки, проверяем возможность перехода оболочки от основной осесимметричной к бесконечно близкой циклически симметричной форме, которой соответствует наличие ненулевых вещественных решений однородного вариационного уравнения (П.58) или системы Ритца (П.38) с коэффициентами (П.63), что имеет место при обращении в нуль определителя системы. Возможность бифуркации и форму потери устойчивости (/) численно фиксируем по перемене знака определителя системы (П.38) на некотором шаге по ведущему параметру для некоторого номера гармоники I, который последовательно выбирается из заранее обусловленного диапазона целых чисел, начиная с нуля. [c.51]

Задание Aq, Л, удовлетворяющих бифуркационным условиям, означает, согласно (3.24), выбор F, Re. Тогда бифуркационное значение 5,( (,) подсчитывается по формуле (3,25). Бифуркационные изменения в системе могут происходить как при положительных, так и при отрицательных значениях q q > О, Л, > О либо С() 4- 2 < О, Л, < 0 каждому из этих двух случаев соответствует одно положительное и одно отрицательное значение Лд. Oi-сюда следуют выводы 1) -q > О, т. е. бифуркационные значения плотностей жидкости в областях G,, G.. превышают соответствующие плотности основного течення 2) взаимная ориентация поперечных (вдоль OY) скоростей основного потока, т. е, знаки и, и и , не влияет на возникновение бифуркационной ситуации 3) согласно оценкам величин Лц, существует нижняя граница значений числа Re > О, при которых может наступить бифуркащ1я 4) бифуркационное значение массовой силы может быть как положительным, так и отрицательным 5) если наряду с и q параметры основного течения в области G, заданы, то после подсчета 5,( о) получим из формулы S, = 1-с,-ь 2аг(П ,-П )р бифуркационное значение комплекса а(П , -П ), входящего в условие (3,17), (3.18) функционирования у-области, В особой точке при е = s >Q возможны бифуркации двух типов 1) сложное состояние равновесия седло-узел , получающееся при [c.92]

Зависи,мость (3.43) представляет собой бифуркационную кривую F F (/7), связывающую амплитуду F с координатой состояния равновесия Д Существование точки перегиба / = / обеспечивается конкретным значением Vg >0 по формуле (3.44). Учитывая, что F (0) = 0, делаем вьгаод о немонотонном поведении бифуркационной кривой для вариантов (3.41), (3.42). Необходимое значение Vq > О существует для варианта (3.41), если [c.103]

Выбор Д влияет на модуль и знак к - коэффициента при старшем члене в числителе дроби (3.70) именно он определяет монотошюсть (бифуркация отсутствует) либо немонотонность (бифуркация существует) правой ветви бифуркационной кривой. При Z), = О линия (3.70) имеет одну монотонную ветвь. Если бифуркация существует, то она представляется сложной особой точкой седло - устойчивый узел. Состояния равновесия, соответствующие точкам на бифуркационной кривой (рис, 3.22) при А> А° - устойчивые узлы. Расчеты [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...