Плоскость проективная

Теорема Польке-Шварца как частный случай теоремы Шура. Чтобы получить теорему Польке-Шварца, надо в качестве конического сечения Р, фигурирующего в теореме Шура, взять абсолютную окружность (примечание 3, стр. 117) плоскость ш, таким образом, будет несобственной. Точки и Л/о, являющиеся точками пересечения плоскости. 7 0 ( абсолютной окружностью, суть мнимые круговые точки плоскости 11 , а точки М и N — мнимые круговые точки плоскости Проективное соответствие между двумя плоскими полями, в котором мнимым круговым точкам одного поля соответствуют мнимые круговые точки другого поля, есть подобие. Таким образом, четырёхугольник ОАВС в этом случае будет подобен четырёхугольнику Центр проекций 5 в этом случае будет несобственным, т. е. мы будем иметь параллельное проектирование. Пучки плоскостей, проходящих через прямые Ж1Л/2, или М. Ыо, в этом случае будут пучками параллельных плоскостей. [c.76]

Любая образующая нашей поверхности может быть получена, как пересечение двух плоскостей Р м Q, проходящих соответственно через НК и Н Кх, причём так, чтобы их горизонтальные следы были параллельны (это обеспечивает параллельность образующей и плоскости Я). Таким образом, для пучков плоскостей с осями НК и Н Кх можно считать соответствующими плоскости с параллельными горизонтальными следами. Это соответствие между плоскостями пучков проективное. Действительно, в плоскости Я следы этих плоскостей образуют пучки с параллельными соответствующими следами, т. е. пучки, находящиеся в проективном соответствии. Значит, и пучки плоскостей находятся в проективном соответствии. Возьмём произвольную прямую ММ, не принадлежащую поверхности, и будем искать точки её пересечения с поверхностью. Каждый из пучков плоскостей даст в пересечении с этой прямой ряд точек. Так как пучки плоскостей проективны, то и ряды точек будут проективны. Поверхности будут принадлежать только те точки прямой, в которых пересекутся соответствующие плоскости пучков, т. е. те точки, в которых совпадут соответственные точки двух точечных рядов на нашей прямой. Таких точек имеется две (иногда мнимых или совпадающих). Это и доказывает, что поверхность — 2-го порядка. [c.264]

Их можно рассматривать как прямые, получаемые при сечении плоскостью конуса 2-го порядка как множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению 2-й степени как проекции окружности как кривые, получающиеся при пересечении двух проективных пучков прямых (проективное образование) как траектории точки, прямой или окружности, совершающей определенное движение (кинематическое образование) как огибающие и др. Выбор способа образования и, следовательно, построения зависит от условий задачи. [c.64]

В проективной геометрии подробно разработаны основные инварианты любого параллельного проецирования, вопросы об основных свойствах перспективно-аффинного соответствия фигур, о приведении в родственное соответствие плоскостей и основных свойствах точечных полей таких плоскостей, о различии между перспективно-аффинным (родственным) соответствием, с одной стороны, и общим аффинным соответствием, с другой, об эллипсе как фигуре, аффинно соответствующей окружности, и другие положения и теоремы, без знания которых немыслимо решение многих вопросов, встречающихся при исследовании и проектировании строительных и машиностроительных объектов. [c.3]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

Зная положение плоскости в системе плоскостей проекций и имея горизонтальную проекцию окружности, построение фронтальной ее проекции можно осуществить различными способами, рассматриваемыми в начертательной и проективной геометрии. В данном случае наиболее удобным способом будет, видимо, способ вращения вокруг горизонтали плоскости. Этот способ был использован для определения положения фронтальной проекции d. В пользу этого способа говорит то обстоятельство, что величина угла а, константы плоскости, уже известна. [c.10]

Дополненные несобственными элементами евклидовы плоскость и пространство называют соответственно проективной плоскостью и проективным пространством. [c.17]

Пространство, включающее несобственные геометрические элементы (точку, прямую, плоскость), называется проективным. [c.26]

Этому геометрическому образу отвечает в топологии так называемая проективная плоскость. [c.205]

Угол между прямыми плоскости п определим углом между соответствующими большими кругами сферы R. Угол можно определить проективным путем. [c.343]

Вследствие линейной (и, следовательно, проективной) природы соответствия, если точка Р описывает прямую г, то совокупность соответствующих полярных плоскостей я представляет собой пучок плоскостей если прямая г есть ось этого пучка, то, наоборот, каждой точке прямой г соответствует полярная плоскость, проходящая через прямую г (а именно та, которая из этой точки проектирует прямую г). Две прямые, такие, как г, г (т. е. обладающие тем свойством, что полярная плоскость любой точки одной из этих прямых проектирует другую прямую), называются взаимно полярными между собой или, как мы будем говорить для простоты, полярными. [c.183]

Одним из классических примеров принципа перенесения является известный принцип двойственности в проективной геометрии на плоскости, на основании которого все рассуждения, относящиеся к конфигурациям с прямыми и точками, сохраняют силу, если в них точки заменить прямыми, а прямые — точками. [c.68]

Для увеличения точности номограммы её можно подвергать различным преобразованиям, меняющим её форму и взаимное расположение линий и точек. Сетчатые номограммы допускают любые однозначные точечные преобразования, т. е. любую деформацию сетки. Номограммы из выравненных точек допускают проективное преобразование, соответствующее проектированию номограммы пучком лучей на произвольную плоскость. [c.271]

Проективное преобразование плоскости х, у на плоскость х, у определяется формулами [c.277]

Последнее выражение можно интерпретировать следующим образом. Замена переменных в аргументе функции Фал соответствует так называемому проективному преобразованию [7], т. е. координаты точки Л( , т ) плоскости М заменяются координатами той точки плоскости М, в которую попал бы луч, проходящий через точку А с координатами при отсутствии аберраций. Численные значения волновой аберрации третьего порядка в указанных точках плоскостей М и М равны. Отсюда следует, 4W численное значение волновой аберрации третьего порядка [c.41]

Нетрудно видеть, что в выражениях (2.5) для угловых аберраций пятого и седьмого порядков также есть члены, соответствующие проективному преобразованию, однако в них есть и дополнительные члены, учитывающие реальный ход световых лучей при наличии аберраций. Ясно, что координаты точки плоскости М, в которую попадает луч, проходящий через точку Л( , т)) плоскости М, за счет аберраций будут несколько отличаться от тех, которые дает проективное преобразование. Начиная с пятого порядка, это отличие необходимо учитывать. В соотношениях (2.5) для Fgj, F учтено влияние аберраций третьего порядка в плоскости М, а для F , F — аберраций третьего и пятого порядков. Экстраполируя эту закономерность, приходим к выводу, что для вычисления по результатам лучевого расчета волновой аберрации в новой плоскости с точностью до k-TO порядка малости необходимо рассчитывать ход лучей с точностью АО k — 2-го порядка, причем численное значение волновой аберрации с указанной точностью сохраняется вдоль каждого из прослеженных световых лучей. Вдоль реального светового луча (ход которого рассчитывают с учетом аберраций всех порядков) сохраняется точное численное значение волновой аберрации, что соответствует смыслу данного в п. 1.3 определения волновой аберрации. [c.42]

Соотношение (2.15), как и (2.6), описывает преобразование волновых аберраций третьего порядка при распространении сферической волны, но в отличие от (2.6) дает связь между аберрациями в оптически сопряженных плоскостях. В п. 2.1 при выводе формулы (2.6) предполагалось, что волна распространяется в. свободном пространстве, тогда как выражение (2.15) справедливо только при наличии оптического элемента между рассматриваемыми плоскостями, который и обеспечивает их оптическое сопряжение. Если в соотношении (2.6) при переходе в другую плоскость зрачковые координаты заменяются линейными комбинациями новых зрачковых координат и координат центра кривизны сферической волны, в результате чего происходит перераспределение аберраций по типам, то в (2.15) все сводится к изменению масштаба координат зрачка и предмета, а перераспределений аберраций по типам не происходит. Конечно, именно к такому результату для сопряженных плоскостей должно было привести проективное преобразование, которому подчиняется замена переменных в аберрациях третьего порядка. [c.56]

При выводе последнего соотношения уже нельзя было предполагать, что i1-й элемент безаберрационный, поэтому в нем фигурируют аберрации i-j-l-ro элемента. Первое слагаемое представляет собой преобразование аберраций пятого порядка i-ro элемента, соответствующее проективной замене переменных в аргументе указанной функции. Следующие два слагаемых в сумме дают аберрации пятого порядка t-f 1-го элемента в плоскости его выходного зрачка и не имеют отношения к преобразованию аберраций i-ro элемента. Сумма следующих двух слагаемых, как легко убедиться, равна нулю в силу равенства [c.63]

Добавочные члены пятого порядка, возникающие при пересчете аберраций из плоскости t-ro выходного зрачка в плоскость i1-го выходного зрачка, также будут выражаться через сумму по всем элементам от первого до i-ro включительно. Пересчитывая эти члены в плоскость выходного зрачка системы (что уже делается в соответствии с проективным преобразованием аргументов) и суммируя опять по всем элементам, кроме первого (в плоскости его выходного зрачка не возникает еще никаких добавочных членов, так как на этот элемент падает идеальная сферическая волна), найдем формулу для угловых аберраций пятого порядка оптической системы, состоящей из элементов с плоскими поверхностями (например, дифракционные линзы на плоскопараллельных подложках) [c.64]

И потому вводные главы посвящает исследованию проективных СВОЙСТВ систем сил ). Переходя к приложениям, Кульман начинает с параллельных сил в одной плоскости и показывает, каким образом, пользуясь веревочным многоугольником, можно определить опорные реакции балки. Он устанавливает правила построения эпюры изгибающих моментов, разъясняя, как найти такое положение подвижной нагрузки, при котором изгибающий [c.236]

Центральное проектирование в случае непараллельности плоскостей образа и прообраза дает уже не аффинное преобразование, а более общее проективное преобразование. [c.272]

Для того чтобы установить взаимно однозначное точечное соответствие между двумя плоскостями при центральном проектировании, пространство и плоскость эвклидовой геометрии дополняют бесконечно удаленными элемента-ы и, что связано с новыми понятиями — проективным пространством и проективной плоскостью. [c.272]

Проективные плоскость и пространство [c.272]

Итак, евклидова плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой, называется проективной. [c.274]

На проективной плоскости верны следующие утверждения [c.274]

Дополнение евклидова пространства до проективного приводит к тому, что соответствие между плоскостями и П (см. рис. 387) при центральном проектировании становится взаимно однозначным если луч 8К параллелен плоскости П, то точке К1 ставится в соответствие бесконечно удаленная точка плоскости П, присоединенная к прямым АВ и СО плоскости П, параллельным лучу 5/С,. Прообразом точки L плоскости П будет бесконечно удаленная точка прямых и М М , проведенных по плоско- [c.274]

Эта теорема бьша опубликована в 1628 году выдающимся франдузским математиком и инженером Жираром Дезаргом. И в настоящее время она является основной теоремоИ проективной геометрии и дает возможность выполнять перспективные построения в одной плоскости. [c.36]

В процессе вращения обе плоскости могут быть совмещены. Соответствие между точками гаких совмещенных п]юскостей уже нельзя рассматривать как результат центрального проецирования. В этом случае будет иметь место преобразование точек одной плоскости в другие точки той же плоскости, при котором сохраняется прямолинейное расположение точек, и остаются неподвижными все точки некоторой прямой. Такое взаимно однозначное преобразование проективной плоскости в себя называется гомологией. [c.10]

Рассмотрим зависимость между этими плоскостями. Из основных положений проективной геометрии известно, что две фигуры, порознь аффинно-соответственные третьей фигуре, находятся в аффинном соответствии между собой. Это положение в применении к рассматриваемой задаче выглядит следующим образом горизонтальная проекция аЬс и треугольник AB родственны, так как первая является параллельной проекцией второго с другой стороны, треугольники AiBi i и АБС подобны, отсюда следует, что треугольники AiBi i и [c.13]

Таким образом, единственно возможный (в коразмерности 1) контур на поверхности состоит из цикла с мультипликатором -[-1 и седла. Векторное поле с таким контуром может возник-нить на поверхности рода больше нуля (но Не на сфере или проективной плоскости) (рис. 33). Поле в этом случае — квазиобщее, но не первой степени негрубости (см. 2). [c.93]

Теорема. Множество квазиобщих векторных полей на двумерной сфере или проективной плоскости плотно в множестве всех негрубых векторных полей с внутренней топологией. [c.101]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Единственный топологич. инвариант h замкнутых не-ориентируемых поверхностей определяется исходя из следующей их явной конструкции нужно вырезать в поверхности сферы h отверстий и заклеить каждое из них листом Мёбиуса (важно, что его границей является окружность, рис. 2). При /г=1 получается проективная плоскость, при /1 = 2—бутылка Клейна (рис. 3), Эйлерова характеристика такой паверхности, определяемая по аналогии с (I), равна 2—h. Такие поверхности в трёхмерном пространстве обязательно имеют самопересечения. [c.144]

Многообразие М" — ориентированное, если локальные коорди11аты согласованы так, что на пересечении двух карт det((3A /fiX0)>O. Если такой согласованный выбор карт на М" невозможен (напр., на проективной плоскости), то многообразие наз, неориентируемым. Определён интеграл [c.145]

Доказательство теоремы Дезарга для плоскости см. в книге Н. Ф. Четверухин, Проективная геометрия. Учпедгиз, 1955, стр. 93. [c.276]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...