Ожидание математическое (см. математическое ожидание)

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу. Требуется определить область, внутри которой может находиться точка К (см. рис. 6.6) в фиксированный момент времени, если к стержню внезапно приложили случайные силу и момент с математическими ожиданиями, равными нулю, т. е. гПр =т-р =0. [c.163]

Измерение любой экспериментальной величины осуществляется при воздействии помех, поэтому исследователь имеет дело со случайными величинами. Кроме расчета статистических характеристик случайных величин (математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения и т. д., см. 2.2) основной задачей статистического анализа результатов исследования (наряду с дисперсионным и регрессионным анализами, см. 5.5) является проверка статистических гипотез. [c.104]

Значение Т определяется предельно-допустимой величиной выходного параметра X = Хп,ах и некоторым случайным процессом потери работоспособности X t) — например, износом изделия, его коррозией и т. п. (см. гл. 2). Срок службы (наработка) до отказа t = Т является случайной величиной и характеризуется некоторым законом распределения, например плотностью вероятности f (t) (рис. 3) и числовыми характеристиками — математическим ожиданием М (t), дисперсией D = и др. [c.22]

Функциональная зависимость, хотя и абстрагирует действительность и лишь с известной степенью приближения отражает физическую сущность процесса, но позволяет предсказывать возможный ход процесса при различных ситуациях. Так, например, подстановка в уравнение (1) средних значений аргументов дает представление о математическом ожидании случайной функции, описывающей процесс, а по дисперсии случайных аргументов можно оценить и дисперсию случайного процесса (см. гл. 3 и гл. 4). Поэтому Физика отказов , которая изучает закономерности изменения свойств материалов в условиях их эксплуатации, является основой для изучения и оценки надежности машин. [c.59]

Законы распределения сроков службы до отказа. Закон распределения времени работы изделия до отказа, выраженный в дифференциальной форме в виде плотности вероятности f (/) или в интегральной форме в виде функции распределения F (О, является полной характеристикой надежности изделия или его элемента. Он позволяет определить (см. рис. 3) вероятность безотказной работы Р (0 = 1—Р (О, математическое ожидание (средний срок службы или средняя наработка до отказа) [c.125]

Во всех этих случаях допустимое значение выходного параметра будет характеризоваться математическим ожиданием и дисперсией, а схема возникновения отказа будет определяться вероятностью пересечения двух областей (см. гл. 4, п. 4) — области возможного существования параметра (область состояний) и области работоспособности. [c.174]

Следует иметь в виду, что приведенные уравнения, хотя и написаны в детерминированном виде, могут рассматриваться как функции случайных аргументов, о позволяет оценить параметры случайного процесса изнашивания. Так, определение математического ожидания и дисперсии процесса изнашивания, описываемого уравнением (5), было приведено выше (см. гл. 2, п. 5). - [c.244]

Итак, при рассмотрении профилограмм неровностей поверхности как реализаций стационарных, эргодических и нормальных функций в теории случайных функций получены следующие математические ожидания и дисперсии параметров (или функционалов) неровностей поверхности (см. табл. 5). [c.77]

Модель Спринт [151] предназначена для оценки эффективности различных сочетаний средств регулирования многолетних неравномерностей расхода топлива с точки зрения достигаемых показателей надежности - вероятности безотказной работы системы топливоснабжения и среднего недоотпуска продукции (см. разд. 2). Поскольку в данном случае в качестве отказа рассматривается дефицит топлива в системе, эти показатели представляют собой вероятность дефицита топлива и математическое ожидание (для анализируемого периода времени) дефицита топлива. Меняя в рамках заданных ограничений состав средств резервирования, можно оценить, к каким последствиям для надежности функционирования исследуемой системы это приведет. Если затраты на создание и содержание средств резервирования выражены в стоимостной форме и имеется возможность экономической оценки последствий от ненадежной работы исследуемой системы, то оптимальный состав средств резервирования определяется путем минимизации суммы из двух величин затрат на резервирование и математического ожидания ущербов от дефицита топлива. [c.418]

Величины Т, /р, /х являются оценками математического ожидания случайных величин. Методы их численного определения изложены в методике эксплуатационных исследований (см. п. 7.3). Цикловую производительность Q как число изделий, выдаваемых в смену при бесперебойной работе оборудования дискретного действия, рассчитывают по формуле [c.242]

Подставляя в формулу (20) последовательно k пар распределений fi(t) и gi t), получим по формуле (31) для каждого г, т. е. для каждого значения управляющих переменных Тщц и Т пг или, что то же для 7дп и q [см. формулу (99)], зависимость интенсивности числа ремонтов Гг 1) от неизвестного математического ожидания срока службы Та и неизвестной функции поставок v t). [c.78]

Возвращаясь от числового примера к общему случаю, найдем выражения для начальных моментов ошибки 2, распределенной в соответствии с (г). Начнем с математического ожидания z (см. [6]). Символами и обозначены соответственно начальные и центральные моменты/с-го порядка для распределения P (z). [c.95]

Применим к исходной системе (9.1) теорему о числовых характеристиках линейной функции нескольких взаимно независимых случайных аргументов (см. п. 2.12). Тогда математические ожидания выходных погрешностей обработки определятся так [c.270]

Сформулированная задача построения динамической модели одномерного технологического процесса статистическими методами легко обобщается на многомерные процессы (см. рис. 10.2). По результатам реализаций, полученным при нормальном функционировании объекта, для вектора входных X (s) и выходных Y t) переменных определяют оптимальную оценку At истинного оператора At в смысле минимума математического ожидания функции потерь. В этом случае уравнение объекта для любой выходной переменной Yj t) имеет вид [c.322]

Для пояснения изложенного карие. 11.8 показано несколько реализаций (ф) (i = 1, 2,. . ., 6) случайной функции (11.1), представляющих собой овальности k — 2) со случайными амплитудами Х2 фазой я )2 и собственно размером в полярной (рис. 11.8, а) и прямоугольной (рис. 11.8, б) системах координат. Из рис. 11.8, б видно, что изменение случайной функции (ф) протекает однородно по углу поворота ф, т. е. математическое ожидание mg, (ф) и среднее квадратическое отклонение (ф) не зависят от угловой координаты [см. ниже формулы (11.48), (11.53)]. В данном случае суммарное распределение ( 2).. изображенное справа на рис. 11.8, б, является законом Гаусса [см. равенство (11.65)]. [c.394]

Нетрудно видеть, что формула (11.48) совпадает с найденным ранее математическим ожиданием (11.7) (см. п. 11.3). [c.394]

В случае, если распределение доминирующего и систематически изменяющегося во времени фактора, т. е. распределение а (t), подчиняется закону равной вероятности, что соответствует линейной зависимости фактора от времени, а мгновенное распределение ф (у) в промежуточные моменты времени одинаковое и соответствует распределению Гаусса, то суммарное распределение Ц) (х) получится плосковершинным (см. п. 3.1 ). Такое распределение показано на рис. 13.1, где х и у — погрешности размеров t — продолжительность обработки индексы О и fe относят величины к начальному и конечному моментам времени обработки 2/ — поле распределения функции а t) х — математическое ожидание суммарного распределения размеров Фб ( ) суммарное распределение размеров. [c.454]

В качестве примера определим степень нелинейности технологического процесса при изменении центра настройки по степенному закону и постоянном рассеянии. В этом случае функции математического ожидания т, ( ) и среднего квадратического отклонения а,( ) описываются (45). Для условий данного примера вычислим величины и р, характеризующие степень нелинейности хода процесса. Величина определена ранее [см. (46)]. Для нахождения показателя р воспользуемся (52) [c.86]

В первом члене (446) отражается аппроксимация периодических составляющих полигармонического изменения температуры (см. рис. 3), и в том числе от суточного, сезонного, годичного ее хода [23]. Отличаются также и законы распределения величин Akv, их дисперсии и оценки математических ожиданий. Здесь и = 1,. .., (п + 3). [c.45]

Вычисления математического ожидания по формуле (4.8) проводят с использованием методов численного интегрирования по алгоритму (см. рис. 4.13). [c.173]

Проведем линеаризацию функции F (х), считая (см. рис. 3.1, б), что плотность вероятности нам известна. Для нечетной функции Fi х) можно допустить, что установившиеся колебания симметричны относительно начала координат, поэтому математическое ожидание х равно нулю, В этом случае плотность вероятности, если ограничиться двумя вероятностными характе- [c.93]

Рассмотрим подробнее алгоритм решения нелинейных уравнений методом статистических испытаний на примере простейшей системы (см. рис. 3.7, а), имеющей один вход х и один выход у. Получив п решений для п реализаций случайной функции х t), пользуясь формулами математической статистики, находим математическое ожидание и дисперсию решения [c.99]

Математическое ожидание сигнала ка выходе полиномиальной системы можно представить в ином виде, выразив его через Фурьеюбразы ядер и спектральные плотности моментов случайного процесса (см. п. 9 прил. I). [c.111]

По данным задачи строим гистограмму результатов испытаний (см, рис. а)), вычислив вероятности разрушения, соответствующие данному напряжению (столбец 3 таблицы). Перемножив соответственные цифры первого и третьего столбцов находим средние взвеп1енные напряжения. Сумма их дает математическое ожидание величины временного сопротивления а = 65 кГ/мм (столбец 4 таблицы). Подсчитав отклонение от среднего и взвешенный квадрат отклонения (столбцы 5, 6 и 7 таблицы), находим peAFiee квадратическое отклонение До как корень квадратный из суммы взвешенных квадратичных отклонений [c.272]

Для прогнозирования среднего ресурса необходимо оценить рассеивание выходных параметров в начальный период работы машины и определить математическое ожидание параметра Xq (см. рис. 164). Для этого следует провести испытание машины во всем диапазоне применяемых режимов и условий. Данное испытание не является, как правило, продолжительным, так как относится к начальному периоду работы машины и не ставит своей целью оценку изменения выходных параметров в результате мед ленно протекающих процессов (износа). При испытании по экстремальному уровню возможно выявление не одной крайней реали- [c.519]

Появление тройки связано с тем, что для нормальных распределений (см. ниже) 2 — 0 и эксцесс, как говорят, нормален. В отличие от величины i, эксцесс характеризует лишь свойства симметричной части функции плотности р х) и не реагирует на ее антисимметричную составляюш ую. Для двух функций плотности pi(x) и р2 х) эксцесс будет больше для функции pi x), если она стремится к нулю медленнее, т. е. если pi (х) > р2 (х) при 1ж оо. В частности, если функция плотности распределения р х) спадает до нуля при больших а медленнее по сравнению с нормальным распределением, обладаюш им теми же математическим ожиданием и диснерсией, то эксцесс (2.5) у нее положителен. Наоборот, если она надает до нуля быстрее нормального, ее эксцесс отрицателен. Поскольку площадь под всей кривой р х) всегда равна единице, то для более пологих распределений с большим аксцеосом функция р(х) более узкая вблизи среднего значения (часто и более высокая), а для распределений с отрицательным эксцессом, напротив, функция плотности р х) сосредоточена вблизи среднего значения и имеет поэтому более широкую вершину - По этой причине эксцесс называют иногда вер-шинностъю. [c.43]

Для проверки эргодичности сигнала выбирают любую (ряс. 1) выборочную функцию ансамбля и ранее установленными начальными моментами времени разбивают ее на N участков, после чего производят вычисление средних значений, дисперсий и корреляционных функций для каждого участка. Если величины выборок при осреднении по множеству и по времени различны, то критерий F равенства математических ожиданий вычисляется по более громоздким формулам и для проверки равенства дисперсий необходимо применять также более сложный критерий Бартлетта Mg. Поэтому предпочтительным является такой выбор параметров регистрации и анализа сигналов, при котором указанные выборки будут равновеликими (например, см. табл. 2). [c.56]

С учетом случайного характера, влияние тепловых деформаций станков на точность обработки может быть представлено в виде схемы (см. рис. 2). Величина допуска 6 на обработку цилиндрической поверхности, равная разности верхнего х max ) и нижнего (л тт) отклонений, расходуется на различные погрешности обработки. Погрешность формы, зависящая от начальных неточностей изготовления станка, погрешность его. настройки на данный размер и погрешности от быст-ропротекающих процессов при обработке первых деталей партии занимают часть допуска, величина которой является случайной в силу случайности составляющих погрешностей, и характеризуется математическим ожиданием и зоной рассеивания Ai. [c.308]

Часто приходится иметь дело с "законами распределения различных функций случайных величин, образованных по схеме суммы большого числа слагаемых. Из законов распределений этого вида можно отметить распределение Коши, которое применяется для описания случайной величины, являющейся тангенсом или котангенсом другой величины, подчиненной закону, равной вероятности (см. п. 4.1) логарифмически — нормальное распределение, т. е. распределение случайной величины X, логарифм которой Ig X подчинен закону Гаусса (см. п. 4.3) распределение частного двух независимых случайных величин, следующих закону Гаусса с нулевым математическим ожиданием (см. п. 4.4) распределение проиждения двух независимых случайных величин (см. п. 4.4) и т. д. [c.118]

Мы не будем здесь рассматривать определение математических ожиданий, дисперсий, координат середин полей рассеивания и практически предельных полей рассеивания погрешностей об работки, описываемых системой уравнений (9.78) в относитель ных величинах с безразмерными передаточными коэффициентами Ясно также, что в данном случае это привело бы к необходи мости повторить все, что уже было сказано ранее (см. пп 9.6, 9.7 и 9.8). [c.288]

На рис. 11.2 показаны шесть реализаций (ф) i = 1, 2,. . ., 6) случайной функции (11.1), представляюш,их собой овальности [k = 2) с постоянной амплитудой = onst, но со случайными фазами и собственно размером в полярной (рис. 11,2, а) и прямоугольной (рис. 11.2, б) системах координат. Как видно из рис. 11.2, б, математическое ожидание (ф) (жирная сплошная линия) и среднее квадратическое отклонение (ф) (штрих-пунктирная линия) остаются, как будет показано ниже [формулы (11.7), (11.10)1, постоянными при всех значениях аргумента ф. На рис. 11,2, б справа приведен суммарный закон распределения (композиция законов Гаусса и арксинуса) погрешности размеров с учетом отклонений формы [см. равенства [c.381]

Качественная оценка влияния исходных факторов на точность обработки производится также на основании рядов распределения исходных факторов и тсоставляющей погрешности обработки, например упругой деформации преобразующей системы. Ввиду вероятностной природы погрешностей обработки влияние на них исходных факторов оценивается по линии математических ожиданий (по линии возникновения систематического смещения цент-тров группирования размеров) и по линии дисперсий (по линии появления рассеивания размеров). Влияние M Xi] оценивается с помощью коэффициента ру/х. регрессии [см. уравнения (5.38), [c.491]

Программа обработки предусматривает ввод графической информации, контроль и устранение ошибок, связанных со сбоями перфоратора, расчет статистических характеристик и печать результатов. По приведенным в гл. 1 алгоритмам определялись следующие характеристики пульсаций математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция, плотность распределения, спектральная плотность и эффективный период (см. (1.1.) — (1.5), (2.19)). При вычислениях интегрирование заменялось суммированием. Сглаживание первичной оценки спектральной плотности осуществлялось по методу Ханна. [c.39]

Допустим, что диаметр частиц наполнителя лежит в пределах D—dD<, D. Введем понятие относительного диаметра частиц й=1)г//)макс, где Дмакс, — соответственно максимальный диаметр и диаметр i-й частицы. Очевидно, что величина k будет в общем случае заполнять непрерывный промежуток от О до I, т. е., иными словами, диаметр i-й частицы по своим размерам будет заполнять непрерывный промежуток значений от О до макс- Кроме того, величина Di или величина ki является вероятностной, поэтому ее можно характеризовать плотностью распределений вероятностей значений этой величины p k). Зная функцию p k) (см. гл. 3), можно отыскать математическое ожидание, т. е. среднее значение величины k [c.226]

МАТЕМАТЙЧЕСКИИ МАЯТНИК — см. Маятяик. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ (среднее значение) случайной величины — числовая характеристика случайной величины, Если X = Х(ш) — случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (П, К, Р) (см. Вероятностей теория), то её М. о. МХ (или ЕХ) определяется как интеграл Лебега [c.62]

Очередь образуется в том случае, когда пропускная способность обслуживающих аппаратов недостаточна по 0ТН0Н1СПИЮ к входящему потоку требований. Величина входящего потока имеет вариацию относительно математического ожидания (см. рис. 2.19). [c.89]

Предварительные замечания. Вероятностные (стохастические) модели вводят для того, чтобы отразить частотные закономерности, проявляющиеся при неповторимости результатов экспериментов. Случайный (вероятностньн , стохастический) процесс представляют в виде бесконечного и непрерывного множества (ансамбля) реализаций. Вероятностная модель требует задания распределения вероятностей на множестве реализаций (см том I, гл. XVII). В математической теории случайных процессов особое внимание обращается на возможность построения полных моделей (в частности, стацио[1арных гауссовских процессов), для которых любые вероят ностные характеристики могут быть выражены через несколько основных [9]. Однако для практических приложений в первую очередь представляют интерес немногие характеристики, в частности, математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Чаще всего используют три основных типа моделей случайных процессов. [c.87]

Классификация многопоточных систем. Все разнообразие рассматриваемых многопоточных систем по параметрам л и 7 их разделительных и суммирующих звеньев можно представить шестью типами (см. табл. 8), отличающимися математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентами корреляции главного момента Л4 и составляющих главного вектора RJ , Ry. Системы всех типов имеют нормальные законы распределения вероятностей амплитудных значений главных моментов Л4 (одномерные законы) и векторов R (двумерные законы). Двумерные законы распределения вероятностен главного вектора R могут быть четырех видов (рис. 17), отличающихся эл.типсами рассеяния. Системам типов I, V, VI соответствует круговое распределение вероятностей вектора R (рис. 17, б). У систем типов II, IV величины осей симметрии эллипсов рассеяния вектора R постоянные, а направление большой оси при 7 = л — 1 и л/2 — 1 совпадает с направлением вращающегося радиус-вектора математического ожидания /и , , или при 7 = 1 ц л/2 -г 1 перпендикулярно ему (рис. 17, а, в). Эллипсы рассеяния у систем типа III (рис. 17, г) имеют вращающийся центр и переменные величины осей симметрии, зависящие от значения ш/, но их оси при любом ш/ остаются соответственно параллельными осям ХО . Формулы для определения максимально возможных значений и математи- [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...