Задача Уравнения Ламе

Для второй задачи уравнение Ламе для определения перемещения [c.246]

Bo многих задачах массовые силы можно считать равными нулю и тогда уравнения Ламе (4.12) принимают вид [c.74]

Уравнения Ламе (4.12) вместе с граничными условиями (4.21), т, е. в случае основной задачи первого типа, или вместе с граничными условиями (4.7) основной задачи второго типа вполне определяют все три компоненты щ вектора перемещения. Далее, по формуле (4.1) вычисляются компоненты etj тензора деформации, а по ( юрмуле (4.4) находятся компоненты тензора напряжений. [c.75]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Сказанное выше достаточно просто переносится на случай динамических задач и, в частности, на задачи теории периодических колебаний. Если исходить из уравнений Ламе, то можно исключить одну переменную. В случае же построения решения в напряжениях необходимо лишь несколько видоизменить приведенный выше вывод. [c.284]

Перейдем теперь к рассмотрению плоской задачи теории упругости для области с угловой точкой. Исследуем задачу для клина. Перепишем уравнения Ламе в полярной системе координат [c.312]

В случае же непосредственного решения задачи на собственные значения необходимо исходить из уравнений Ламе в сферических координатах, преобразовав их согласно представлениям (8.51) [c.321]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Достаточно найти любое частное решение этого уравнения, после чего задача сводится к нахождению решения уравнений Ламе, удовлетворяющего соответствующим образом измененным [c.383]

Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342]

Аналогично уравнениям (10.16) и (10.17) уравнение Ламе (10.1) в случае плоской задачи приводит к двум вообще [c.402]

При использовании деформационной теории, согласно которой связь между напряжениями и деформациями является конечной нелинейной, полная система уравнений может быть приведена к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях, аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются различные варианты метода последовательных приближений. Возможна, например, следующая схема этого метода (метод дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации по формуле (10.15) [c.745]

Разумеется, поскольку у вектора и, от которого зависит функционал /х (и) и по которому производится варьирование последнего, три составляющих, то и уравнений Эйлера в вариационной задаче для (и) тоже три (дифференциальные уравнения равновесия или три уравнения Ламе, если представлять их не в векторной форме, а в составляющих). [c.520]

Теперь можно составить план непосредственного решения задачи теории упругости в перемещениях. Для отыскания трех составляющих перемещения , v и w необходимо проинтегрировать три уравнения Ламе (4.8) н удовлетворить условиям на поверхности (4.9). По найденным перемещениям из геометрических соотношений Коши (4 3) определяют составляющие деформации, а затем из формул закона Гука [c.44]

В общей теории упругости используются два пути решения задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. [c.52]

Вектор X (2.19) мы будем называть объемной силой, ибо он имеет размерность силы, поделенной на объем. Итак, требуется решить уравнение Ламе (1.48) для массовых сил (2.20) в неограниченной среде. Лля единственности решения потребуем, чтобы на бесконечности перемещения обращались в нуль. Назовем решение такой задачи [c.84]

У е S. Так как одновременно эти векторы на границы заданы быть не могут, то формула (2.29) непосредственного практического применения не имеет. Но, как мы увидим далее, она может быть использована для получения многих важных результатов. Рассмотрим изотропную среду. Прежде чем получить явное выражение перемещений Кельвина, построим некоторые важные частные решения статической задачи упругости, т.е. решения, которые удовлетворяют уравнениям Ламе (1.72), но не обязательно удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения обычно разыскиваются с помощью вектора перемещения через не которые векторы, удовлетворяющие уравнениям более простым, чем уравнения Ламе, например уравнению Лапласа или Пуассона, однородному или неоднородному бигармоническому уравнению. Такое выражение принято называть представлением решения задачи теории упругости. Применим к уравнениям (1.72) один раз оператор div, а другой раз оператор Лапласа Д = Тогда получим соответственно [c.86]

Задача сводится к исследованию уравнений Ламе в области fi (объёмными силами пренебрегаем) [c.206]

Определим как решение краевой задачи для уравнений Ламе (4.1) в области Н у, 6, s) со следующими граничными условиями [c.208]

Наряду с основной граничной задачей, сформулированной в 4.1.1, рассмотрим вспомогательную граничную задачу для уравнений Ламе (4.1) в области fi Г. Обозначим её решение вектором U с компонентами щ, i = 1,2, (3). Функции щ удовлетворяют тем же условиям на внешней границе области fi, что и функции, и следующим условиям на поверхности Г [c.209]

Задача Щ. Рассматривается плоская контактная задача о вдавливании штампа в плоскую грань упругого тела х R y), О у h, имеющего форму симметричной упругой трапеции (см. рис. 5.10 на стр. 198). Предполагается, что под штампом отсутствует трение, другая плоская грань упругого тела лежит без трения на плоском основании, боковая поверхность свободна от напряжений. Соответствующую краевую задачу для уравнения Ламе можно симметрично продолжить в область у < 0. В этом случае получаем эквивалентную задачу (см. рис. 5.11, а на стр. 208 и 5.11,6 на стр. 208) о внедрении двух штампов в грани у = h упругого тела, занимающего область х < R y), у h, считаем R y) четной функцией. [c.26]

Соотношения обобщенной ортогональности в задачах об установившихся колебаниях сферического слоя. В сферической системе координат г, д, ip рассмотрим однородные решения уравнений Ламе в осесимметрических задачах об установившихся колебаниях шарового слоя R г R2, поверхности г — Ri и г — R2 которого а) неподвижны, б) свободны от напряжений либо в) поверхность г = = R неподвижна, а поверхность г — R2 свободна от напряжений (или наоборот). Собственные функции этих задач будем искать в виде [c.47]

Соотношения обобщенной ортогональности в задачах об установившихся колебаниях кольцевого слоя. В цилиндрической системе координат г, Lp, z рассмотрим однородные решения уравнений Ламе в плоских задачах об установившихся колебаниях кольца R г i 2 на поверхностях которого г — R и г = Д2 заданы любые однородные условия, аналогичные условиям для задач п. 1.5.2 предыду-ш,его раздела. Если собственные функции таких задач записать в виде [c.49]

В цилиндрической системе координат г, (f, Z рассмотрим упругий цилиндр О z h, г R. Поставленная контактная задача теории упругости для этого цилиндра сводится к краевой задаче для уравнений Ламе в цилиндрических координатах [266] при следующих граничных условиях S r) — функция, описывающая форму и перемещение штампа) [c.68]

Рассмотрим поставленную выше задачу в рамках линейной теории упругости. Тогда получим краевую задачу для уравнений Ламе в случае осевой симметрии [266] со следующими граничными условиями [c.87]

Математически поставленная задача сводится к исследованию уравнений Ламе [266] (плоская деформация) со следующими граничными условиями [c.97]

Поставленная задача Qs сводится к краевой задаче для уравнений Ламе [13] (плоская деформация) с граничными условиями [c.104]

В полярной системе координат (г, (/ ) рассмотрим упругое тело в форме кольцевого сектора i i г R2, —71 72 (т > 0> — 1.2) (см. рис. 3.7, а). Пусть в грань г = i 2 на участке (р д < 7 ) вдавливается силой Р штамп таким образом, что он перемеш,ается поступательно. Предполагаем также, что на поверхностях г — R, f = —71, V = 72 отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. Поставленная задача теории упругости сводится к исследованию уравнений Ламе (плоское напряженное состояние) при следующих граничных условиях [c.119]

Найдем решение задачи 3). Граничные условия соответствующей краевой задачи для уравнений Ламе имеют вид [c.133]

В цилиндрической системе координат (г, (/9, z) рассмотрим цилиндрический слой R г i 2, у которого поверхность г = Щ неподвижна (задача Qs) либо взаимодействует без трения с жесткой поверхностью (задача Qg), а в поверхность г — R силой Р вдавливается штамп в форме цилиндра радиуса Rq — R — А с точкой первоначального касания (р — О, г — R (рис. 3.9). Предполагается, что трение между штампом и цилиндрическим слоем отсутствует, сила Р направлена вдоль луча ip — О, а величина А мала. В этом случае приходим к решению плоской краевой задачи для уравнений Ламе (плоская деформация) со следующими граничными условиями [c.140]

Математически поставленная задача сводится к интегрированию уравнения Ламе в координатах а, (3 для перемещения w вдоль оси г [c.153]

Уравнение Ламе и закон Гука для поставленных задач имеет вид [c.192]

Постановка задачи и реализация метода однородных решений. Пусть в прямоугольной системе координат (ж, у) (рис. 5.10) упругое тело занимает область х R y), О h. Предполагаем, что на грани у = О заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений, а штамп с плоской подошвой внедряется симметрично относительно оси в грань у = h ш величину 6. Соответствующую краевую задачу для уравнения Ламе можно симметрично продолжить в область у < 0. В этом случае получаем эквивалентную задачу (см. рис. 5.11 на стр. 208) о внедрении двух штампов в грани у — h упругого тела, занимающего область ж R y), у h, считаем R y) четной функцией. Таким образом, приходим к исследованию краевой задачи для уравнения Ламе при следующих граничных условиях [c.198]

Поставленная задача сводится к решению краевой задачи для осесимметричных уравнений Ламе в цилиндрических координатах 164, 266] [c.212]

Однородные и неоднородные решения для слоя. Решение поставленной краевой задачи для уравнений Ламе будем разыскивать в виде [c.214]

Таким образом, задача сводится к описанию дес юрмации зернистой среды под дeil твиeм внешних сил. Для этого были использованы известные уравнения, описывающие деформации грунтов (уравнение Ламе для упругой среды, подчиняющейся линейному закону Гука) и линейный закон фильтрации Дарси. Полученная замкнутая система уравнений позволяет после некоторых упрощений с помощью ЭВМ определить профили скорости на входе и на выходе из слоя. [c.278]

Перейдем к детальному исследованию постановок статических задач теории упругости. В этом случае требуется выполнение уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций в напряжениях или уравнений Ламе. Если в уравнениях равновесия присутствуют массовые силы (что приводит к появ- [c.245]

Дальнейши11 ход решения должен был бы заключаться в следующем. Выражения для и,- подставляются в уравнения Ламе при Fi — О, каждое из этих трех уравнений приводится к одно1му и тому же дифференциальному уравнению для функции Ur r). Это будет уравнение второго порядка, следовательно, два независимых частных решения определяют его общий интеграл. Естественно ожидать, что эти частные решения, как и в осесимметричной задаче, будут степенными функциями от г. Чтобы [c.274]

Формула (11.1.5) определяет так называемое решение Папкови-ча — Нейбера. Термин решение в данном случае не совсем удачен, это есть некоторое функциональное представление для вектора перемещения в линейно-унругом теле, которое можно использовать для построения уже конкретных решений определенных задач. Мы не будем здесь касаться вопроса о том, может ли любое решение уравнений Ламе быть представлено в виде [c.360]

Второй этап решения задачи. Произведем проверку удозле-творения функциями (11.64) и (11.65) условиям равновесия — уравнениям Ламе (9.30). Условия совместности деформаций Сен-Венана при решении задачи в перемещениях удовлетворяются тождественно. [c.43]

Решение задач теории упругости неоднородного тела, как и в классическом случае, можно искать либо в напряжениях, либо в перемещениях. Очевидно, что подстановкой (4.4) в уравнения совместности (4.3) можно получить обобщенные уравнения Бельтрами—Мичела [196, 202, 203], а подстановкой (4.2) в (4.1)—обобщенные уравнения Ламе. [c.34]

Известно, что в математической теории упругости большое внимание уделяется вопросам существования и единственности решения [67, 100], весьма сложным с математической точки зрения. Вместе с тем в случае неоднородного тела необходимость их решения не менее, а, по-видимому, более важна, чем в классической теории упругости, ввиду возможности возникновения особенностей, связанных с характером исходных уравнений. Достаточно в качестве примера указать на задачу Бусси-неска для неоднородного полупространства, когда обобщенная система уравнений Ламе на границе области вырождается из эллиптической в параболическую [142]. [c.38]

Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочности объектов. Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т. е. вьшолнить алгебраизацию исходного уравнения упругости (уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход, основанный на вариационных принципах механики. [c.116]

Решение задач теории упругости в перемещениях. В уравнения состояния (VIII. 11) подставим выражения деформаций через перемещения (II.51). Полученные выражения напряжений подставим в уравнения движения (V.16). Получим уравнения теории упругости в перемещениях, или уравнения Ламе [c.187]

Построение дисперсионных соотношений для распространяющихся волн в цилиндре, естественно, нельзя выполнить на основе данных об отражении волн от плоской границы полупространства. Для вывода этих соотношений способом, аналогичным предложенному в 1 и 2 данной главы, необходимо детальное решение довольно сложной задачи об отражении плоских волн от цилиндрической границы. Поэтому при рассмотрении волновых движений в цилиндре проще исходить из набора частных решений уравнений Ламе в цилиндрических координатах. Такие наборы впервые были построены в работах Похгаммера [252] и Кри [168]. [c.144]

Рассмотрим задачу теории упругости о бесконечно длинной трубе, на внутреннем радиусе которой г = а задано равномерное давление Ра, а снаружи (г = 6) эта труба армирована тонкой упругой оболочкой и подвержена внешнему давлению рь. Пусть задано температурное поле 1 (г) и модуль сдвига G зависит от радиуса. Тогда единственное уравнение Ламе для этого случая имеет вид (2.55) гл. 3, а граничные условия — вид (2.61) гл. 3. Переход к численному решению задачи начинается прежде всего с ее обезразмеривания , т.е. введения безразмерных параметров и характеристик. Будем считать, например, что все модули и давления отнесены к некоторой постоянной fio — модулю сдвига при г = а. Вводятся безразмерный радиус и безразмерные перемещения, отнесенные к внутреннему радиусу трубы г = а. Введем сеточную область а , , х = г/а, [c.174]

Для задачи Q , разыскивая решение уравнений Ламе в виде со-ответствуюш,их рядов Фурье, придем к исследованию тройного ряда-уравнения [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...