Методы решения дифференциального уравнения теплопроводности

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.22]

Неявные методы решения дифференциального уравнения теплопроводности имеют определенные преимущества по сравнению с явными методами лишь в тех случаях, когда условия на границах остаются 7 99 [c.99]

Приведем некоторые методы решения дифференциальных уравнений теплопроводности и термоупругости кусочно-однородных тел. [c.86]

О методах решения дифференциального уравнения теплопроводности [c.278]

Ограничимся здесь кратким изложением наиболее известного метода решения дифференциального уравнения теплопроводности, которое применительно к уравнению граничного условия (39,4) запишем в следующем виде [c.156]

Из изложенного выясняется в общ,их чертах метод решения дифференциального уравнения теплопроводности. Однако наиболее важным результатом является здесь демонстрация того, что оправдывается формула (3-бв), которая предвосхищает неявный вид искомой функции. [c.52]

Общность всех методов, разработанных для исследования теплофизических свойств различных классов материалов, состоит в том, что любой из них основан на решении дифференциального уравнения теплопроводности при определенных начальных и граничных условиях [c.123]

Приведены методы численного решения дифференциальных уравнений теплопроводности. [c.3]

Для решения нестационарных задач численным методом из дифференциального уравнения теплопроводности (2.54) [c.94]

Методы нестационарной теплопроводности. Данные методы базируются на частных решениях дифференциального уравнения теплопроводности [c.185]

Кроме указанного метода для решения дифференциального уравнения теплопроводности могут быть использованы другие явные и неявные конечно-разностные уравнения. Методы решения их приведены в специальной литературе. Решение системы конечно-разностных уравнений выполняется, как правило, с помощью ЭВМ. [c.117]

После решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепло- вые потоки. Заметим, что аналитическое решение данной задачи возможно лишь для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях такие задачи решаются численными или экспериментальными методами. [c.164]

Для решения дифференциальных уравнений теплопроводности могут использоваться и другие явные и неявные конечно-разностные уравнения. Методы их решения излагаются в специальной л пературе. [c.192]

Пример. Проведём решение дифференциального уравнения теплопроводности (1) методом преобразования для изотропной пластины, имеющей в начальный момент-с = О температуру ) = 0 и помещаемой, в среду с температурой при условии о.-у со [c.185]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности с граничными условиями (1) возможно лишь с помощью приближенных, численных методов. [c.318]

В нестационарных методах различают методы начальной стадии (Fo 0,55) и методы регулярного режима (Fo 0,55). Последние в соответствии с [90, 91] могут быть подразделены на группы методов регулярного режима первого, второго и других видов. Следует отметить, что в [101] введен общий признак регуляризации процесса нагревания тел, справедливый для всех видов регулярных режимов, в соответствии с которым систематизация методов может быть осуществлена по краевым условиям, заданным при решении дифференциального уравнения теплопроводности [121]. [c.309]

Граничное условие вида 2) имеет место тогда, когда известна интенсивность потока тепла внутрь извне (либо наоборот). Если тело теплоизолировано, т. е. не происходит ни притока, ни отдачи тепла через поверхность Л, то дВ/дп = 0. Третий вид граничного условия мы получаем при свободном теплообмене по поверхности Л, ограничивающей тело. Мы не будем заниматься методами решения дифференциального уравнения Пуассона (2). Читатель найдет их в любом обстоятельном курсе теории дифференциальных уравнений или в монографиях, посвященных теплопроводности ). [c.466]

Выполнив схематизацию процесса ПМО, перейдем к описанию температурных полей на различных участках технологической зоны. При этом воспользуемся методом источников для решения дифференциального уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Поскольку изложение этого метода и относящихся к нему определений выходит за рамки наших задач, интересующихся отсылаем к трудам по теплофизике технологических процессов [11, 25, 26]. [c.41]

Применение интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений теплопроводности имеет ряд преимуществ перед классическими методами интегрирования дифференциальных уравнений и перед некоторыми другими методами интегральных преобразований. [c.54]

Граничные условия 3-го рода представляют особый интерес при термических расчетах прессов. Методы определения коэффициента теплоотдачи а изложены в главе 2. Решение дифференциального уравнения теплопроводности (4) для граничных условий 3-го рода во многих случаях может быть получено методом собственных функций [3], операционным методом, методом сеток [24], а также вариационным методом [28]. В последующих параграфах этой главы излагаются основы метода собственных функций и метода сеток применительно к решению задач теплопроводности. Применение операционного метода к решению задач теплопроводности подробно изложено в монографиях А. В. Лыкова [15, 16]. [c.9]

Метод линейного изменения температуры поверхности тела, описанный в [9], заключается в следующем. Если во время опыта нагрева или охлаждения тела измеряется температура печи (или окружающей среды) и температуры в двух точках тела (например, неограниченного цилиндра), то из решения дифференциального уравнения теплопроводности при условии линейного изменения температуры поверхности тела получаем [9] [c.70]

В теплотехнических расчетах наружных ограждений зданий большое значение имеет уравнение (4) для расчета температурного поля в ограждении, что бывает необходимо, если в ограждении есть теплопроводные включения (элементы железобетонного или стального каркаса, ребра в трехслойных стеновых панелях и пр.). Задача решается интегрированием уравнения (4) в конечных разностях, что дает хорошие результаты с достаточной для практических целей точностью. Метод конечных разностей применяется также и для решения уравнения (1). Решение дифференциальных уравнений теплопроводности в конечных разностях изложено в главах IV и V. [c.14]

Достоинство метода конечных разностей заключается в его простоте и чрезвычайной универсальности. Этим методом можно решать всевозможные задачи, связанные с нестационарным тепловым потоком. В расчете можно принимать любые изменения температуры внутреннего и наружного воздуха во времени, а также изменения величин а и а, а также коэффициентов теплопроводности во времени, что совершенно невозможно при аналитическом решении дифференциальных уравнений теплопроводности. [c.109]

Практически все существующие методы теплофизических измерений основываются на решении дифференциального уравнения теплопроводности [c.35]

Метод графического изображения теплового потока применяется для определения количества тепла передаваемого через тела сложной конфигурации, для которых не получено точных решений дифференциального уравнения теплопроводности. Обычно такой расчет носит приближенный характер, и основным требованием такого уровня является быстрота расчета и равнозначность подхода при оценке каждой рассматриваемой схемы. В качестве исходной предпосылки здесь используется известное положение о том, что независимо от конфигурации системы количество передаваемого тепла определяется совершенно одинаковым образом [c.27]

Предлагаемый нами метод решения дифференциального уравнения теплопроводности с помощью преобразования температурного поля можно применить для решения весьма разнообразных задач по тепло- и массообмену в материалах с термофизическими коэффициентами, выраженными в функциональной зависимости от температуры, прочности и влажности материалов. Решение задач можно выполнить с любой, заранее заданной степенью точности. [c.186]

Интегрирование линейного дифференциального уравнения теплопроводности в частных ироиэводных второго порядка представляет одну из классических задач математической физики. Ограничимся кратким (изложением наиболее известного метода решения дифференциального уравнения теплопроводности, которое применительно к уравнению (1.7) пограничного условия перепишем в таком виде [c.24]

Это уравнение, справедливое для веществ, теплофизнческие характеристики которых не зависят от температуры, устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в теле под действием источника тепла. Поскольку температурное поле тела зависит от его тепловых свойств, то по найденному изменению температуры в одной или в нескольких точках исследуемого тела -можно вычислить коэффициенты тепло- или температуропроводности. Но эти решения дифференциальных уравнений теплопроводности второго порядка сложны, и при разработке методов исследования стремятся использовать закономерности для одномерных тепловых потоков, которые можно реализовать в теплофизическом экоперимеите при определенных начальных и граничных условиях. Под начальными условиями понимается известное распределение температуры в теле в начальный момент времени, а под граничными условиями — закон взаимодействия тела с окружающей средой. Совокупность начального и граничногс, условий называют краевыми условиями [76, 78]. [c.123]

Основные понятия теории численных методов решения дифференциальных уравнений будут достаточно подробно рассмотрены в главе 3 на примере дифференциального уравнения теплопроводности. Сейчас лишь кратко сформулируем ряд понятий, которые понадо- [c.27]

Большинство задач нестационарной теплопроводности связаны с определением температурного поля тела и полного количества теплоты, отданной или полученной телом по истечении определенного промежутка времени. В других задачах требуется найти длительность процесса, по завершении которого температура тела примет определенное, наперед заданное значение. Решения этих задач могут быть получены аналитическим путем, т. е. путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.44) с учетом к]заевых условий. Заметим, что таким путем решаются сравнительно простые задачи. Для решения же более сложных задач применяются приближенные методы. [c.177]

В основу одного из методов кладется математическое решение дифференциального уравнения теплопроводности применительно к двум шолуограниченньш телам. Если два тела выполнить в форме полуограниченных стержщей и равномерно нагреть каждый до своей температуры, а потом привести в соприкосновение своими концами, то изменение температуры со временем в каждом из стержней подчиняется определенным математическим зависимостям. Эти зависимости содержат в себе температуру и физические параметры, характеризующие материал стержней, и поэтому могут быть использованы для опытного определения этих параметров. Тогда, если измерить температуру поверхности соприкосновения и температуру стержней па некотором -расстоянии от ее, то можно вычислить коэффициент температуропроводности обоих стержней если знать еще теплоемкость одного из стержней, то можно определить теплоемкость другого стержня и, кроме того, найти коэффициент теплопроводности для обоих стержней. [c.112]

В настояш,ее время термопругость вполне оформилась как научная дисциплина. Четко сформулированы ее исходные предположения, выведены основные соотношения и дифференциальные уравнения. Разработан ряд методов решения дифференциальных уравнений термоупругости, получены основные энергетические и вариационные теоремы. Обш,ие теоремы и методы термоупругости в качестве частных случаев содержат, естественно, теоремы и методы теории упругости и теории теплопроводности. [c.7]

Интересный метод решения дифференциальных уравнений термоупругости предложил Зорский ). Этот метод сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений (4) и (5) в систему трех интегродифференциальных уравнений для перемещений щ. Продемонстрируем его для простоты по отношению к неограниченному пространству в предположении однородности начальных условий. Напишем уравнение теплопроводности [c.761]

Взаимосвязь регистрируемого (вторичного) сигнала и контролируемого процесса устанавливается двумя основными методами методом спектрального анализа (методом интеграла Фурье) и методом решения дифференциальных уравнений, описывающих нестационарную теплопроводность в измерительной среде. Выбор метода определяется степенью обозримости контролируемых особенностей исследуемого процесса. [c.11]

В Институте технической теплофизики АН УССР проведено исследование теплопроводности карбида кремния Si , полученного методом реакционного спекания в Институте проблем материаловедения АН УССР [1]. Этот практически беспористый тугоплавкий материал перспективен как конструкционный материал для высокотемпературных теплообменников и печей. Состав его следующий Si —99+-99% свободный Si — 4- 0,5% С — менее 0,5%. Теплопроводность измерялась абсолютным методом на стационарном режиме на цилиндрических образцах. Решение дифференциального уравнения теплопроводности для этого случая имеет вид [2] [c.415]

Поэтому рядом физиков разработан метод интегрирования дифференциальных уравнений теплопроводности для расчета температурных полей. Известны работы советских и зарубежных исследователей, которые применили частные решения дифференциальных уравнений теплопроводности для определения температурных полей в стружке, резце и обрабатываемой заготовке (канд. техн. наук М. Я. Левицкий, д-р техн. наук А. Я. Малкин, канд. техн. наук Б. Я. Борисов, д-р техн. наук проф. А. Н. Резников и дрО- [c.106]

Изложение методов решения дифференциального уравнения теп-лоироводности дается в соответствующих математических курсах, например в [Л. 43]. Здесь нам важно только то обстоятельство, что как бы ни формулировались частные условия задачи и какой бы метод ее решения ни был использован, можно заранее предсказать некоторые особенности структуры искомой функциональной связи. Оказывается, что первоначальные переменные величины и параметры поставленной задачи всегда группируются в совершенно определенные комплексы. Тем самым сокращается число аргументов, определяющих развитие температурного поля в пространстве и во времени. Кроме того, пользуясь указанными комплексами как новыми и специфическими для данного рода явлений переменными и параметрами, можно широко обобщать однажды доведенное до числового результата решение задачи. Такого рода качественные соображения выходят далеко за рамки вопросов теплопроводности. Они приобретают особенное значение тогда, когда аналитическое решение проблемы трудно доступно и когда, следовательно, практически остается лишь путь численного решения или эксперимента.. [c.43]

Методика решения дифференциального уравнения теплопроводности с источниками не отличается от изложенной выше. Метод конечных разностей позволяет успешно решать как одномерные, так и двух- и трехмерные задачи. Случай, когда на область изменения переменных X VI у наносится квадратная сетка, полностью исследован Ш. Е. Мике-ладзе [49]. Треугольные и полярные сетки рассмотрены П. П. Юшковым [86, 87] и некоторыми другими авторами [83]. Необходимо отметить, что полярные сетки особенно удобны для решения задач с осевой симметрией. Нахождение температурного поля в пространстве трех измерений при постоянных теплофизических характеристиках дано в работе [87], а при переменных — в работах [5,89]. Все эти вопросы достаточно подробно изложены в монографиях [66,87]. [c.64]

По теплотехническим условиям методическая печь может иметь не более трех зон для нагрева газами, обладающими только физическим теплом, т. е. негоряихи-ми (первая зона) для нагрева с использованием как физического, так й химического (выделяемого при горении) тепла, в которой на поверхности нагреваемого материала достигается максимальная температура (вторая зона) для выравнивания температуры в нагреваемых изделиях (третья зона). Каждой из указанных зон соответствуют собственные граничные условия и решения дифференциального уравнения теплопроводности, а следовательно, и методы инженерных расчетов. [c.188]

При разработке нестационарных методов измерения исходят из решений дифференциального уравнения теплопроводности при определенных начальных и граничных условиях, которые характеризуют режимы изменения J r7ипj)pnт uы иа 1Швер сности [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...