Ось симметрии упругих свойств

Говорят, что в некоторой точке существует ось симметрии упругих свойств порядка М, если существует набор направлений эквивалентных упругих свойств, которые могут быть совмещены поворотом около оси на угол 2я/Л . Некоторые случаи осевой и плоской симметрии эквивалентны. [c.203]

Ось симметрии упругих свойств 203 Относительное удлинение 126 [c.312]

Допустим, более того, что имеются три плоскости симметрии упругих свойств. К плоскости, проходящей через ось 2, добавляются плоскости, проходящие через оси х и у. Тогда обратятся в нуль еще и коэффициенты, содержащие первые степени уху, т. е. должны дополнительно обратиться в нуль коэффициенты [c.222]

Установление класса кубической симметрии упругих свойств этого материала, определяемых тремя независимыми константами, является одним из главных факторов, необходимых при исследовании свойств [120]. Константы в системе главных осей упругой симметрии 123 задают модулем Юнга 1 — Ег = з = о, модулем сдвига 0г2 13 = 653 = Оо и коэффициен- [c.190]

Пусть в анизотропной вязкоупругой среде, обладающей осью симметрии упругих свойств (ось z), имеется круговая цилиндрическая полость радиуса го, ось которой параллельна (совпадает) с осью 2. В момент = 0 к точкам поверхности плоскости прикладывается равномерное нормальное напряжение интенсивности F (t). При >0 в среде будет распространяться цилиндрическая волна, параметры которой зависят лишь от радиуса R и от времени t. [c.117]

Рис. 1.2. Поверхность анизотропии а— модуля упругости Е б — модуля сдвига О для кристалла с кубической симметрией упругих свойств

Начало цилиндрической системы координат г, О, 2 поместим в полюсе анизотропии, а ось 2 направим по оси симметрии упругих свойств (рис. 24). Поперечную нагрузку, распределенную симметрично относительно полярной оси, можно разложить в тригонометрический ряд [c.42]

Пусть цилиндрическая оболочка, изготовленная из слоистого пластика, подвергается действию равномерного осевого сжатия (рис. 89). Исследуем и в этом случае вопрос о выборе оптимальной структуры слоистого пластика, которая реализует наибольшую несущую способность оболочки при заданном весе. Здесь также следует рассмотреть два возможных вида симметрии упругих свойств слоистого пластика, которые соответствуют косой однозаходной и косой перекрестной намоткам. [c.227]

В верхнем ряду на фиг. 388 показаны диффракционные картины, полученные при прохождении света через колеблющийся с высокой частотой кварцевый куб спектры соответствуют прохождению света в трех взаимно перпендикулярных направлениях по оси Z (оптическая ось), по оси Т и по оси X (электрическая ось),. Интерференционные картины, подчас чрезвычайно сложные, отображают симметрию упругих свойств кристалла. Так, в направлении оптической оси имеется ось симметрии шестого порядка, [c.354]

Если тело обладает упругими свойствами, одинаковыми относительно каждой из трех плоскостей симметрии, то, чтобы при изменении оси oxi на ось од 2, оси 0X2 на ось 0x3 и оси oxi на ось 0X3, т. е. при перемене между собой Зц, 622, зз или е , егз, ец не изменилась величина упругого потенциала, кроме условий (4.29) и [c.67]

Были измерены и рассчитаны радиальные перемещения и на внутренней поверхности колец. Для кольца с осью, параллельной осп 1, упругие свойства в плоскости кольца зависели от угла ф. Вследствие этого радиальные перемещения при внешнем давлении р не обладали осевой симметрией. Они лишь повторялись в каждом квадрате, так как ось / являлась осью упругой симметрии четвертого порядка. При малых нагрузках, как показал эксперимент при р-< 1 МПа, наблюдалось линейное поведение материала. Это позволило провести аналитическую оценку радиального перемещения [c.197]

Благодаря различным видам симметрии структуры среды число независимых упругих модулей в практически встречаю щихся случаях обычно меньше 21. Плоскостью упругой симметрии называется плоскость, при отражении относительно которой закон связи напряжений с деформациями не меняется. Если упругие свойства не меняются при повороте вокруг некоторой оси, то эта ось является осью упругой симметрии. В композит-ционном материале симметрия может или иметь место в малом, т. е. для упругих свойств в окрестности некоторой точки, или быть свойством композита в целом и обусловливаться его структурой. Здесь мы рассмотрим случай, когда компоненты композита изотропны, т. е. для каждого отдельного компонента любая прямая является осью симметрии, анизотропия же проявляется лишь для среды в целом. [c.359]

Рассмотрим несколько подробнее случай трансверсальной изотропии, когда упругие свойства материала характеризуются пятью независимыми постоянными. Выбирая ось симметрии за [c.362]

В самом общем случае, когда нарушения осевой симметрии имеют место (точнее говоря, учитываются исследователем) как в конструкции самого ротора, так и в упругих свойствах его опор, изложенная выше элементарная теория о нахождении частного решения, соответствующего чисто вынужденным колебаниям от небаланса в виде суммы по собственным формам вообще неприменима, поскольку общая задача сводится к системе дифференциальных уравнений с переменными (периодическими) коэффициентами. [c.127]

Ортотропный материал. Если в анизотропном теле имеются две взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, то нетрудно показать, что перпендикулярная им плоскость будет тоже плоскостью упругой симметрии. Пусть две главные оси напряженного состояния перпендикулярны двум имеющимся в теле плоскостям упругой симметрии, т. е. совпадают с двумя главными направлениями упругости материала. Тогда с этими направлениями будут совпадать и две главные оси деформированного состояния. Следовательно, третья главная ось деформированного состояния тоже будет совпадать с третьей главной осью напряженного состояния, и перпендикулярная им плоскость будет плоскостью упругой симметрии тела. Тело, обладающее тремя взаимно перпендикулярными плоскостями упругой симметрии, называют ортотропным. Для орто-тропного тела число независимых коэффициентов, характеризующих упругие свойства, равно девяти [29]. - с - [c.10]

Упругость фанеры. Исследованию анизотропии упругих свойств фанеры посвящен ряд работ советских и зарубежных авторов. Данные для фанеры получены только в плоскости листа, а для некоторых марок ДСП существуют экспериментальные данные о полном комплексе упругих постоянных [16]. В табл. 2.13 приведены результаты экспериментального определения характеристик упругих свойств некоторых марок фанеры в направлениях осей симметрии и в диагональном направлении в плоскости листа. Данные по фанере марки ФСФ (ГОСТ 3916—69) приведены в [3]. [c.70]

Трансверсально-изотропная среда сравнения. В частном случае, если среда сравнения обладает трансверсально-изотропными упругими свойствами и диэлектрической проницаемостью (гз — ось симметрии) и зерно неоднородности Уо — волокно с круглым поперечным сечением, ориентированное вдоль оси Гз, то ненулевые компоненты тензора (2.121) [c.49]

Опыты показывают, что при растяжении анизотропного образца одному и тому же напряжению, возникающему в продольном и поперечном его направлениях, соответствуют различные деформации. Кроме того, при растяжении образца, например пластинки, под углом к осям симметрии наряду с изменениями линейных размеров происходит искажение углов. Боковые грани пластинки, бывшие до опыта взаимно перпендикулярными, после опыта оказываются наклоненными друг к Д1 угу, что свидетельствует о наличии сдвигов ее поперечных сечений. Поэтому для характеристики упругих свойств рассмотренной анизотропной пластинки недостаточно двух упругих постоянных Е и ц,). Очевидно, их должно быть четыре три модуля упругости (в продоль- [c.33]

Если же упругие свойства тела одинаковы по отношению к каждой из трёх плоскостей симметрии, то выражение (3.27) для W не изменится, если ось л заменить на ось у, или ось у заменить на ось z, или ось л — на ось z. Следовательно, выражение (3.27) для W не меняется, если мы переменим между собой [c.74]

Тела, у которых упругие свойства одинаковы по всем направлениям, обладают полной симметрией и называются изотропными. В этом случае любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Для изотропных сред число независимых упругих постоянных сводится к двум, И ИХ матрица симметрична независимо от существования функции энергии деформации. Выбирая в качестве двух независимых констант известные постоянные Ламе Я п 1-1, напишем матрицу (6.19) для изотропной упругой среды [c.204]

Пусть осью упругой симметрии будет ось Х3. Поворотом других осей на угол 0 = = 2п/4 = я/2 относительно лгз (рис. 6.7) получим направления эквивалентных упругих свойств при N = 4. Матрица такого преобразования [c.217]

Доказать, что упругие свойства (закон Гука и плотность энергни деформации) среды, имеющей ось упругой симметрии порядка /V = 2, и среды с одной плоскостью упругой симметрии совпадают. [c.223]

Изгиб парой бруса, обладающего плоскостью симметрии. Пусть плоскость Охг является плоскостью симметрии бруса (как в смысле геометрическом, так и в смысле упругих свойств), В этом случае мы можем считать, что О совпадает с приведенным центром тяжести левого основания оси Ох и Оу будут главными приведенными осями инерции этого основания относительно О. [c.558]

Рассмотрим далее случай, когда анизотропное тело характеризуется осью симметрии четвертого порядка. В таком теле упругие свойства повторяются при повороте системы координат относительно оси симметрии на 2л/4 = 90°. Если за ось симметрии четвертого порядка примем ось л з, то = х = х[, а коэффициенты даются следующей таблицей [c.97]

В физических неизотропных телах (кристаллы) наблюдается обычно большая или меньшая симметрия строения, благодаря которой число упругих постоянных значительно сокращается мы здесь рассмотрим только случай изотропного тела, упругие свойства которого одинаковы во всех направлениях. Для такого тела уравнения (3.28) не должны меняться при каких бы то ни было преобразованиях координат. Исходя из этого, легко сократим число упругих постоянных до 9, если примем во внимание правило о знаке сдвига ( 10) из этого правила следует, что сдвиг (например, е у) сохраняет свою [c.83]

Если ось захвата смещена относительно вертикальной оси симметрии, плоскость захватной части будет перекошена и контактные напряжения д распределены неравномерно по поверхности захвата. Возникающие из-за упругих свойств захвата усилия будут стремиться перекосить изделие. Поэтому необходимо для надежного захвата изделий применять несколько захватов, расположенных симметрично относительно вертикальной оси. [c.200]

Составлено выражение для определения коэффициента трения рассматриваемой среды. Исследован предельный случай, когда вязко-упругие свойства отсутствуют и скорость движения цилиндра достаточно мала. Задача проиллюстрирована численным примером, из которого видно, что с увеличением скорости движения катка несимметрия в распределении сил давления относительно вертикальной плоскости, проходящий через геометрическую ось катка, возрастает. По отношению к оси симметрии, которая совпадает с центром зоны контакта в упругом теле, зона контакта в данном случае смещена. [c.406]

Плоскость изотропии ось симметрии вращения). Трансверсально-изотропное тело. Рассмотрим тело, обладающее следующими свойствами через все точки проходят параллельные плоскости упругой симметрии, в которых все направления являются упруго-эквивалентными (плоскости изотропии). Иначе говоря, в каждой точке имеется одно главное направление и бесконечное множество главных направлений в плоскости, нормальной к первому. Можно такое тело еще рассматривать как тело, через каждую точку которого проходит ось упругой симметрии бес- конечно высокого порядка — ось вращения. Тело с такими свойствами называется трансверсально-изотропным ([24], стр. 172). [c.35]

Доказано, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, объединенных в семь сингоний, носящих названия 1) триклинная, 2) моноклинная, 3) ромбическая, 4) тетрагональная, 5) тригональная, 6) гексагональная и 7) кубическая. Всякий натуральный кристалл обладает одним из 32-х видов симметрии и может быть отнесен к одной из семи сингоний [33]. Что касается классов упругой симметрии, то их значительно меньше, так как одна и та же форма уравнений обобщенного закона Гука имеет место для нескольких видов геометрической симметрии. По упругим свойствам все кристаллы могут быть разбиты только на девять классов или групп. Выражения упругого потенциала (а следовательно, и уравнений обобщенного закона Гука) для этих девяти классов можно найти, например, в курсе А. Лява [24] (гл. 6, п. 109) и в ряде работ, упоминающихся ниже, а поэтому мы, не занимаясь специально упругостью кристаллов, можем их не приводить. Отметим только, что упругие постоянные кристаллических веществ — монокристаллов, минералов и горных пород, определялись экспериментальным путем многими исследователями. В первую очередь нужно назвать классические исследования Фойгта, изложенные в его курсе кристаллофизики [38]. Приводим найденные Фойгтом значения упругих постоянных кварца (горного хрусталя), образующего кристаллы тригональной сингонии (12 неравных нулю постоянных aij (ось z направлена по оси симметрии третьего порядка, ось х — по оси второго порядка) [c.56]

Замечание. В литературе обычно при рассмотрении вопроса о характеристиках упругости кристаллов утверждается, что число различных упругих констант для кристаллов триклинной системы Л = 21, для моноклинной N = 13, а для-кубической N = 3 (мы перечисляем только те системы, которые были рассмотрены выше). Лично мне это представляется нелогичным,, поскольку ПС отношению к кристаллам триклинным и моноклинным речь, идет о неинвариантных коэффициентах (не являющихся по существу физическими константами), а в случае кристаллов кубической системы — о константах инвариантных. Выше было показано, что хотя кристаллы триклинной системы не обладают элементами геометрической симметрии, тем не менее они всегда имеют определенную симметрию в своих упругих свойствах (которая может быть обнаружена хотя бы путем всестороннего сжатия такого, кристалла). Поэтому, хотя с точки зрения геометрической все системы координат для таких кристаллов равноценны, тем не менее с точки зрения упругих и вообще физических свойств даже в этом наиболее общем случае может быть подмечена некоторая симметрия. [c.226]

Для целей механики пронсхождепие закона упругости безразлично, его можно рассматривать как эмпирический закон, устанавливаемый на основе макроэксперимента, можно постулировать или принимать за определение некоторого воображаемого объекта, который в силу неизвестных и счастливых обстоятельств ведет себя почти так же, как многие материалы, встречающиеся в природе. Сведения о строении кристаллической решетки тем не менее оказываются полезными, они подсказывают соображения о симметрии упругих свойств и позволяют вследствие этого сократить число необходимых макроэксиериментов, а также спланировать их наиболее рациональным образом. [c.23]

Если тело обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии упругих свойств, то такое тело называют ортогоналъно-ортотропным или просто ортотропным. Для ортотропного тела число упругих постоянных снижается до 9. В случае ортотропного тела линейные деформации тела (б ,, е , вг) зависят только от нормальных напряжений (о. Су, Сг) и не зависят от касательных напряжений (V, т , Хху). При этом угловые деформации ( , гх, ху) пропорциональны соответствующим касательным напряжениям (туг, Тг Тц,) и не зависят от величины нормальных напряжений. [c.39]

В изотропном теле упругие свойства одинаковы для любых направлений, поэтому любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Если потребовать сохранения свойств кубически симметричного тела при произвольном повороте системы координат Xi, то между постоянными Си С , Сз получится еще одно соотношение [c.116]

Две оставшиеся компоненсы Е ч з , характеризующие влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку квази . Между компонентами Е и "П, относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значении при угле поворота, меньшем чем л/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами Е и т) равен я/6. Дейст вительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что [c.193]

Равновесие и движение упругого твердого тела. Вывод дифференциальных уравнений для тела, обладаюи его различными упругими свойства.чи по разным направлениям. Число упругих постоянных, вообще, 21 оно уменьшается при наличии плоскостей симметрии и для изотропного тела сводится к двум. Задача о равновесии имеет только одно решение. Когда на частицы тела не действуют силы, то оно может быть в равновесии, если компоненты сжатия постоянны. Всестороннее сжатие, коэффициент упругости. Равновесие изотропных цилиндров, на поверхности оснований которых известным образом распределены давления. Продолжение вычисления для случая кругового сечения. Равновесие полого шара, на поверхности которого действует постоянное нормальное давление) [c.322]

Все рассмотренные критерии Прочности приведены в табл. 2.7. Анализ данной таблицы показывает, что уравнения равноопасных напряженных состояний можно привести к виду удобному для использования их при неразрушающем контроле прочности. Кроме того, имеется определенный класс анизотропных материалов, для которых с учетом принятого допущения о равенстве характеристик прочности при сжатии и растяжении в направлении осей упругой симметрии справедливы приведенные критерии. К числу их, по-видимому, можно отнести стеклопластики на основе продольно-поперечной укладки ориентированного стеклонаполиителя. Некоторые критерии (2.8), (2.13), (2.14) после преобразования имеют одинаковые выражения. Единственный из перечисленных критериев (2.9) учитывает упругие свойства материала, однако после преобразований видно, что для равнопрочной структуры необходимость определения упругих характеристик отпадает, так как и /г — 1. Следует отметить, что исполь- [c.44]

Материал, обладающий симметрией строений (арматура ориентирована в одном или нескольких направлениях). В направлении ориентации армирующих элементов материал приобретает высокую прочность и жесткость. Из теории упругости анизотропных материалов следует, что если известны упругие свойства материала в его главных направлениях, то расчетным путем можно определить и значения упругих свойств в любом направлении. Количество так называемых основных упругих (постоянных) констант, которыми обусловливаются свойства материала в любом направлении, зависит от типа анизотропии. На практике чаще встречается ортотропная система, имеющая три перпендикулярных друг к другу главных направления (в древесине, фанере, слоистом пластике с текстильной или однонаправленной основой и т. п.). В слоистых пластиках с текстильной арматурой , в которых направления основы тканей совпадают, вводим систему координат так, что ось х параллельна направлению основы, ось у параллельна направлению утка, а ось z перпендикулярна слоям. Упругие свойства в любом направлении в этом случае определены, если мы знаем три модуля упругости при растяжении Еу и Ег, три модуля упругости при сдвиге G y, Gy и G и три коэффициента Пуассона i y, [ly и где, например, 1ху показывает сужение в направлении оси х при растяжении в направлении оси у. [c.119]

При анализе симметрии свойств многослойных материалов, составленных из ортотропных слоев, например из древесного шпона или стеклошпона, применяется теорема В. Л. Германа (1944 г.), обобщающая принцип Неймана для случая сплошных анизотропных сред Если среда обладает осью структурной симметрии порядка п, то она аксиально изотропна относительно этой оси для всех физических свойств, характеристики которых определяются тензорами ранга г, если г меньше, чем п (г <. < п) . Так, например, для упругих свойств (г — 4) уже при наличии оси структурной симметрии пятого порядка п = 5) плоскость, перпендикулярная этой оси, будет плоскостью изотропии. Здесь ось симметрии пятого порядка — это такая ось, вокруг которой достаточно повернуть фигуру на одну пятую часть окружности, т. е. на угол а = 2я/5 = 72°, чтобы получить полное совмещение всех точек фигуры с их первоначальным положением. [c.20]

Пусть структура анизотропного тела такова, что в любой его точке упругие свойства эквивалентны в любых двух направлениях, симметричных относительно некоторой плоскости. Такую плоскость называют плоскостью упругой симметрии. Совместим с плоскостью упругой симметрии систему координат ох/х2 хз так, чтобы ось 0X3 была перпендикулярна плоскости (рис. 2.7). Затем перейдем к системе координат 0х,х,хз, симметричной относительно плоскости упругой сжмгтрии. В этом случае направляющие косинусы будут /п = 22= — зз= 1> = а матрица преобразований р согласно (2.61) будет [c.83]

Используем сингулярное приближение метода периодических составляющих для расчета тензора эффективных упругих свойств С для трех квазипериодических структур композитов с изотропно разупорядочен-ными сферическими включениями (см. рис. 2.1, о), разупорядоченными в плоскости г 0г2 однонаправленными вдоль оси гз волокнами (рис. 2.2, а) и с разупорядоченными вдоль оси гз ориентированными пластинчатыми включениями (см. рис. 2.6, а). Для первого и второго композитов в случае, когда разупорядоченность становится бесконечно малой, структура вырождается в периодическую с кубической и тетрагональной симметрией соответственно, для третьего — пластинчатые включения объединяются в систему с трансверсально-изотропной симметрией периодических тонких слоев. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...