Задача Миндлина

Пространственные осесимметричные задачи могут решаться применением преобразования Ханкеля, например, полупространство, нагруженное усилиями, симметричными относительно оси симметрии и приложенными нормально к границе, или нагруженное сосредоточенной силой внутри области (задача Миндлина). Для задачи о сплошном нли полом конусе при различных нагрузках на границе можно использовать многомерное преобразование Фурье. [c.127]

Сосредоточенная сила внутри полупространства (задача Миндлина) [c.279]

Рис. 9.7. Полупространство с сосредоточенной силой, приложенной к внутренней точке (задача Миндлина) (а) положение точки приложения силы,

Читателя, естественно, заинтересует вопрос о функциях напряжений в моментной теории упругости таковые существуют, но вместо одной функции для плоской задачи здесь их будет две. Отсылая интересующихся к капитальным работам Г. Н. Савина [75], Р. Д. Миндлина [63], В. Т. Койтера [47], сообщим без вывода основные результаты. Напряжения и их моменты через разрешающие функции выражаются так [c.53]

Для внутренних точек полубесконечного тела вспомогательное решение можно взять из статьи Миндлина, упомянутой в сноске 3 на стр. 400. Для внутренних точек бесконечного тела имеем решение, данное в 135. Термоупругие перемеи ения для этой задачи будут найдены ниже (стр. 480—481) другим методом. [c.468]

Решение задачи о напряженном состоянии в упругом полупространстве, создаваемом сосредоточенной в его точке силой, дал Миндлин в работе [c.915]

Более громоздкие задачи для конечных областей рассматривались в работах [3, 83, 91, 203, 244]. В ряде работ Миндлина и его сотрудников, относящихся к круглому цилиндру [179, 225, 237] и прямоугольной пластине [227, 238], для решения конкретных задач развита и использована приближенная теория. По своему существу она является некоторой модификацией метода однородных решений для учета трех первых ветвей дисперсионного уравнения (см. далее рис. 61 и 62). [c.160]

Общие решения задач теории упругости их авторы и другие исследователи использовали в нескольких направлениях. Так, Б. Г. Галеркин применил их к толстым плитам ж оболочкам, Г. Нейбер—к задачам о концентрации напряжений, Р. Миндлин — к исследованию действия сосредоточенной силы внутри упругого полупространства в условиях трехмерной задачи. [c.252]

Т. А. Миндлина и Н. Л. Оболочкова [77] рассмотрели упругие установившиеся колебания возникающие в бесконечной пластине, ослабленной циклически симметричной системой криволинейных отверстий, под действием пульсирующей нагрузки, заданной на контурах отверстий и удовлетворяющей условию циклической симметрии. Форма отверстий задается функцией г = + еД . Решение задачи строится в виде ряда по малому параметру е. Получаемая при этом в каждом Приближении задача для пластинки с циклически симметричной системой круглых отверстий решается с помощью итерационного процесса. В работе приводятся описание и текст программы на языке АЛ ГО Л-60, а также результаты контрольного счета. [c.301]

Из новых исследований по контактной пространственной задаче следует указать на упомянутую в примечаниях к главе 2 работу Миндлина, на статью В. И. Моссаковского Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий (Прикл. матем. и мех. 18, № 2, 1954, стр. 187), на заметку того же автора Применение теоремы взаимности к определению суммарных сил и моментов в пространственных контактных задачах (там же 17, № 4, 1953, стр. 477) и на работу М. Я. Леонова Общая задача о давлении кругового штампа па упругое полупространство (там же, № 1, стр. 87). [c.325]

Миндлин решил поставленную им задачу весьма оригинальным способом путем суперпозиции в неограниченном пространстве нескольких соответственно выбранных решений с особенностями. Подробности этого подхода читатель найдет в трех его работах ) и в монографии Вестергарда (см. список литературы). [c.241]

Пусть ось г направлена внутрь упругого полупространства и в точке на расстоянии Л от поверхности приложена сосредоточенная сила в направлении оси г или перпендикулярно ей (в направлении оси х), см. рис. 9.7(а). Впервые решение этой задачи было дано Миндлином [75]. [c.279]

Своими исследованиями в области механики контактного взаимодействия, которые привели меня к написанию этой книги, я обязан Р. Д. Миндлину, пионерская работа которого о влиянии касательных усилий на упругий контакт стимулировала мой первоначальный интерес к этой области (и считаю своим долгом выразить ему признательность), а также Д. Табору, чьи блестящие эксперименты и проникновение в существо физических процессов взаимодействия поверхностей привели к постановке многих нужных контактных задач. [c.10]

Задача Миндлина является обобщением задач Буссинеска и Черрути. Она заключается в определении поля перемещений, вызванного произвольно направленной силой Р, приложенной в точке I упругого полупространства. Плоскость л з = О свободна от напряжений. Рассмотрим сначала частный случай, когда в точке (О, О, Н) действует сосредоточенная сила Р1 = 1 в положительном направлении оси х . Решение этой задачи можно разбить на два этапа. Сначала рассмотрим действие в неограниченном пространстве двух противоположно направленных сил силы Р1 = +1 в точке (О, О, Л) и силы Р =—1 в точке (О, О,—/г). Соответствующее этой нагрузке поле перемещений обозначим через и, а напряжений через [c.238]

Интересные результаты даны при формулировке пространственной задачи теории упругости. Дано математическое описание (изучено напряженно-деформированное состояние) задачи Кельвина о сосредоточенной силе в бесконечном теле, задачи Буссинеска о нормальной сосредоточенной нагрузке к полупространству, задачи Черрути о касательной сосредоточенной нагрузке на полупространство, задачи Миндлина о сосредоточенной силе внутри полупространства, задачи Ламе о полой сфере, нагруженной радиальными давлениями по внутренней и внешней поверхностям, и задачи Леона о напряжениях в сферической выемке в бесконечном теле при растяжении. [c.6]

Указанным способом можно получить решения других осесимметричных задач. Можно, например, осуществить решение задачи Миндлина для сосредоточенной силы, приложенной внутри полупространства (см. 9.4). Снеддоном впервые были построены решения для осесимметрично нагруженных толстых пластин, обсуждались также задачи термоупругости распространение на слоистые пластины было выполнено Буфлером [90]. [c.303]

Сринивас и др. [141 ] рассмотрели также свободные колебания однородных и многослойных изотропных пластин. Точное решение включает ограниченное число двойных неограниченных спектров собственных частот, в то время как теория Миндлина [102] позволяет получить три, а классическая теория тонких пластин — один двойной спектр. Было установлено, что если отыскиваются частоты только изгибных, крутильных и сдвиговых (по толщине) колебаний, соответствующие определенной совокупности форм (т, п), то применима теория Миндлина, однако, если требуется определить полный спектр форм и частот, необходимо применять решение трехмерной задачи. Например, теория Миндлина не [c.196]

Задачи статики, устойчивости и динамики однородных и слоистых пластин из материала со специальным типом ортотропии были рассмотрены в работе Сриниваса и др. [142]. При указанных выше значениях параметра формы теория Рейсснера удовлетворительно предсказывает величину критической нагрузки, а теория Миндлина — частоты собственных колебаний. Однако ни одна из них не позволяет достаточно точно определить соответствующее напрян енное состояние. [c.197]

Другие динамические теории слоистых пластин, основанные на соотношениях теории упругости и развитые применительно к задачам динамики пластин с изотропными слоями, а также к задачам о распространении волн в трехслойных и двухслойных пластинах, представлены в работах Коббла [51], Арменакаса и Кекка [9], Скотта [129]. В заключение отметим работы Джонса [81, 82], в которых на основе уравнений теории упругости получены точные решения задач о свободных колебаниях ортогонально-армированных и несоосно-армированных слоистых пластин. Эти решения интересны, а также могут быть использованы для оценки точности приближенных теорий типа теории Миндлина. [c.197]

Обзор, посвященный задачам об изгибных волнах, вызванных поперечным ударом по изотропным пластинам, представлен в работе Микловица [109]. Одномерная задача об ударе по анизотропной пластине была рассмотрена на основании теории Миндпина [уравнения (12) ] и классической теории пластин [уравнение (15) ] в работе Муна [117 ]. Поперечная сила считалась распределенной по линии, составляющей некоторый угол с осью симметрии материала. Согласно теории Миндлина при этом возникают не только волны изгиба, но и волны растяжения, а учет деформации поперечного сдвига и инерции вращения необходим, когда ширина полосы, по которой распределена сила, соизмерима с толщиной пластины. [c.323]

Общий случай, когда меняются как разность ( j — П2), так и направление главных осей, схематически иллюстрируется на фиг. 1.15. Эту задачу исследовали Дракер и Миндлин [2], решившие ее для постоянной скорости вращения главных осей вдоль пути света. Для этого простого случая запаздывание опре- [c.30]

Аракава [3] первым показал, что для некоторых материалов разность хода остается прямо пропорциональной приложенной нагрузке даже после значительной ползучести. Один из авторов этой книги независимо провел ряд опытов с ползучестью, надеясь найти другой такой материал, который был бы применим для исследования объемных задач. (Немного позднее была опубликована статья Миндлина [4], в которой он теоретически рассматривал возможность использования вязкоупругих материалов для решения упругих задач поляризационно-оптическим методом.) Автором было исследовано несколько моделей, в том числе балка при чистом изгибе. Наконец, из-за простоты был выбран диск, сжатый вдоль диаметра. Были полечены картины полос для различных моментов времени после приложения нагрузки к диску (от 30 сек до 22 час). Картины полос фотографировались в разные моменты [c.125]

В согласовании известного решения трехмерной задачи с представлением Эшелби [60] так, чтобы оно оставалось интегрируемым и из него можно было извлечь коэффициент интенсивности напряжений. В качестве известного решения Ниситани использовал решение Миндлина, предполагая, что заданная нагрузка в этом решении является искомой плотностью объемных сил, меняющихся в плоской эллиптической полости. Далее эта плотность, которая должна быть согласованной с заданным распределением давления на поверхностях эллиптической трещины, была определена численно для случая, когда коэффициент Пуассона пренебрежимо мал. [c.44]

Задача о скручивании сдавленных шаров без касательного перемещения была решена Лабкиным ). Совместное изменение нормальной и касательной сил было исследовано Миндлиным и Дересевичем °). [c.97]

Упомянутые выше теории пластин и модели конечных элементов демонстрируют эффективность вариационных методов в механике конструкций и смежных областях при приложении методов конечных элементов и при построении алгоритмов для эффективных численных расчетов сложных практических задач. Теория пластин Тимошенко—Миндлина создана специально для того, чтобы алго-ритмизовать расчет тонких пластин и пластин средней толщины. Исследования зоны краевого эффекта достигли состояния, когда решение уже может войти в противоречие со способностью модели описать реальную физическую ситуацию. Работы по теории толстых пластин являются логическим обобщением теории Тимошенко—Миндлина, ио требуется подождать до тех пор, пока развитие как технологии изготовления, так и проектирования этих пластин подтвердит ее практическую ценность. В целом приведенные выше высказывания дают общую картину положения дел в этой быстро развивающейся области. [c.423]

Упругое поле в полупространстве описываетсй суперпозищ1ей решения Буссинеска (для нормальной краевой силы Р) с решением осесимметричной задачи теории упругости о напряженном состоянии однородного полупространства Z > О под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в точке / = О, Z = / и направленной вдоль оси z (r,z - щшиндрические координаты). Приведем решение этой задачи, найденное Миндлином [91 ] [c.194]

XVIII века до настоящего времени. Многие работы, например работы Савара в 20-х и 30-х гг. XIX века, Кирхгофа в 50-х гг., лорда Рэлея в конце XIX века и Миндлина в нашем веке были предприняты для того, чтобы исследовать разнообразные краевые задачи, возникающие в результате моделирования поведения материала при помощи линейной теории упругости. [c.26]

Н, Губера, Р. Д. Миндлина, А. Синьорини. Разработанные ими методы геории функций комплексной переменной и теории сингулярных интегральных уравнений оказались достаточно эс ективными для решения смешанных задач упругости. Однако круг рассмотренных примеров при этом ограничивался в основном классическими смешанными задачами о внедрении жесткого индентора (штампа) в бесконечную или полубех конечную область. [c.9]

А. Тимпе ), рассмотрев несколько частных случаев, пришел к решениям X. С. Головина для изгиба части кольца парами и силами, приложенными по концам. Круглое кольцо представляет собой простейший случай многосвязной области, и общее решение для него содержит многозначные члены. Тимпе дает физическое истолкование факту многозначности решений, принимая во внимание остаточные напряжения, возникающие в результате разрезания кольца, смещения одного конца в месте разреза относительно другого и последующего соединения их тем или иным способом. Как мы уже упоминали выше (см. стр. 421), общее исследование решений двумерных задач для многосвязных контуров было проведено Дж. Мичеллом ), показавшим, что распределение напряжений в этом случае не зависит от упругих постоянных материала, если объемные силы отсутствуют, а поверхностные силы таковы, что их равнодействующая обращается в нуль на каждом контуре. Это заключение представляет большую практическую важность в тех случаях, когда исследование напряжений производится поляризационно-оптическим методом. Случай кругового диска, нагруженного в произвольной точке сосредоточенными силами, был исследован Р. Миндлином ). Автор настоящей книги изучил частный случай напряженного кругового кольца, именно сжатие его двумя равными противоположно действующими по диаметру силами ). При этом было показано, что в сечении, расположенном на некотором расстоянии от точек приложения нагрузок, достаточно точным для практических целей является даваемое элементарной теорией Винклера гиперболическое распределение напряжений. Другие примеры деформации круговых колец были изучены Л. Файлоном ) и Г. Рейсснером ). К. В. Нельсон ) в связи с задачей [c.486]

Теория псевдоконтинуума Коссера хорошо развита. Предложено несколько общих теорем, методов интегрирования и дано решение ряда задач. Так, Миндлин и Тирстен ) в цитированной [c.855]

Все работы по моментной теории упругости содержат ссылки на юппу Е. и Ф. Коссера 1120], где трехмерной среде посвящена одна глава из шести. Переведенная монография В. Новацкого [68] была одной из первых книг на русском языке с изложением линейной моментной теории. Ранее эта область представлялась статьями — например, Миндлина и Тирстена [59]. Краткое изложение моментной теории, но с подробным рассмотрением задач содержится в книгах Н.Ф. Морозова [62, 63], [c.112]

Рассматривая подобным образом модели Миндлина-Геррманна, модель тонкостенного стержня с депланацией и др., получим большое разнообразие дисперсионных картин. Но не следует забывать два обстоятельства корректное асимптотическое расщепление трехмерной задачи возможно лишь при f О (и со —> 0), а вариационный переход является результатом нашей аппроксимации по сечению. Поэтому наиболее интересно рассмотрение волн в стержне в трехмерной постановке. [c.250]

Задача о полупространстве. Мы подходим к этой задаче с намерением продемонстрировать существование поверхностной энергии. Эта задача рассматривалась в работе [Mindlin, 1970] для случая кубических кристаллов с центральной симметрией. Мы будем здесь рассматривать решение для случая полной изотропности этого совершенно достаточно для наших целей, так как оно фактически аналогично решению Миндлина (см. [Askar et al., 1971]). Пусть ионный кристалл занимает область В = х, 0 пространства Е оси Хг и лгз лежат на граничной свободной поверхности кристалла дВ. На свободной поверхности дВ граничные условия (7.4.77) принимают вид [c.470]

С момента введения в 1968 г. Миндлином [Mindlin, 1968] градиентов поляризации в число параметров упругого диэлектрика рассмотрено много других задач и найдено много решений для электроупругих материалов. Кроме задач о распространении поверхностей разрыва (ударных волн), которым мы уделим особое внимание в 7.13, укажем для сведения читателя работы, посвященные следующим задачам. [c.480]

Дисперсионное уравнение для продольных нормальных волн впервые было опубликовано Похгаммером [22] в 1876 г., но вследствие его сложности детальные расчеты фазовых и групповых скоростей пе представлялись вплоть до 1941 г., когда Бэнкрофт [23] опубликовал результаты по изменению фазовой скорости как функции безразмерной постоянной распространения с коэффициентом Пуассона в качестве параметра. Начиная с 1941 г. многие исследователи внесли вклад в изучение детальных свойств спектра частот продольных нормальных воли. Особенно ценные работы опубликованы Кертисом [19, 2 —2 8], Холденом [ , Миндлиным [29—31 ] и Оноэ [10 ]. В настоящее время общая картина и поведение спектра частот продольных нормальных волн, по-видимому, исследованы достаточно подробно, хотя некоторые детали, касающиеся интерпретации и применений, еще остаются нерешенными задачами. Подробная схема спектра частот продольных нормальных волн в цилиндре при о = 0,31, заимствованная 113 работы Оно ) и др. [31], приведена на фиг. 19. [c.167]

На протяжении всего параграфа выявляются два пути использования этих точных решений. Первый из них состоит в добавлении напряжений, связанных с точными решениями, чтобы удовлетворить граничным условиям для напряжений па дополнительных поверхностях второй — в использовании точных решений при. тех размерах и частотах, когда необходимые добавочные граничные условия удовлетворяются автоматически либо точно, либо приближенно. Однако нужно упомянуть еще об одном эффективном методе решения задач подобного типа, хотя он и не рассматривается ниже. Он состоит в разложении всех смещений при заданной геометрии в соответствующие ряды функций, ортогональных в интервале, соответствующем заданному размеру Такими рядами функций являются степени х, полиномы Лежандра и полиномы Якоби. Подобный метод использовал Эпштейн [42 У для получения резонансных частот толстых круглых пласпшЫс й Миндлин и др. [18, 29, 43, 44] для сведения дифференциальных уравнений и граничных условий в трех измерениях к бесконечным рядам более просто решаемых дифференциальных уравнений и граничных условий в двух измерениях. Эти ряды затем обрываются и иногда для получения желаемого приближения в них вводятся произвольные параметры. Работы, перечисленные в списке литературы, не являются исчерпывающими, но могут служить-в качестве практического введения к этим методам получения приближенных решений для полубесконечных цилиндров и пластинок и для резонаторов. [c.174]

Работа, выполненная тангенциальной силой за полный цикл и равная площади, заключенной внутри гистерезисной петли, диссипируется при реверсировании проскальзывания в кольцевой зоне с г а. Этот аспект задачи впервые исследовался в работе Миндлина и др. [268], в которой получено следующее выражение для диссипированной за цикл энергии [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...