Уравнение движения точки по прямой

Рассмотренные вынужденные колебания системы могут служить примером целесообразности введения нормальных координат, благодаря которым уравнения движения сводятся к уравнениям движения точки по прямой, что без труда позволяет исследовать характер движения механической системы. [c.218]

Если движение точки происходит в плоскости, то число уравнений (10.6) сокращается до двух, а число начальных условий — до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение и два начальных условия. [c.297]

В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось Ох, получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки [c.229]

При движении точки по прямой вдоль оси Ох остается одно дифференциальное уравнение движения [c.105]

Решение. Ось Ох направим по рельсу, а ось Оу проведем через точку принимая за начало координат точку Л . Рассмотрим два положения колеса в начальный момент t — и в текущий момент времени t. Отметим положение центра С колеса и его радиуса С А, на котором расположена точка М в момент t. Так как расстояние от центра колеса до рельса все время равно радиусу R, то точка С движется по прямой, параллельной оси Ох, и притом по условию задачи равномерно, а потому расстояние от этой точки до ее начального положения равно = V L Так как D A , то A D есть угол поворота колеса вокруг своей оси за t сек, который обозначим через ф. Для того чтобы найти уравнения движения точки М, [c.151]

Задача 347 (рис. 255). Стержень B D, изогнутый под прямым углом, перемещается таким образом, что точка В скользит по прямолинейной направляющей, а D все время проходит через неподвижную точку Л. Считая, что ВС 0А = а, определить уравнения движения точки С и ее траекторию, если угол ф изменяется по закону (f=-kt в пределах О . [c.138]

Решение. Задача относится к прямым задачам динамики по данному движению точки надо определить действующую силу. Для ее решения продифференцируем дважды кинематические уравнения движения точки и, умножив на т найденные X и у, получим X к Y. [c.266]

Решение. Задача относится к прямым задачам динамики по данному движению точки надо определить действующую силу. Для ее решения продифференцируем дважды кинематические уравнения движения точки и, умножив на m найденные х а у, получим X и Y. Кинематические уравнения движения известны. Дифференцируя дважды, находим [c.191]

В случае прямолинейного движения можно принять прямую, по которой движется точка, за одну из координатных осей, например за ось X. Положение точки на этой оси вполне определяется ее абсциссой х, и уравнение движения точки (в этом случае одно) будет [c.145]

Решение. Напишем уравнения движения точки М в полярных координатах (г,<р). По условию задачи скорость движения точки вдоль прямой ОВ пропорциональна расстоянию г точки М отточки О, поэтому [c.284]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

Это уравнение удобно истолковать как уравнение движения материальной точки по прямой под влиянием измененного потенциала сил, даваемого формулой [c.42]

Столкновение. Вернемся к задаче двух тел. Рассмотрим случай, когда а = 0 частица (в относительном движении) движется по прямой, проходящей через точку О. Без потери общности эту прямую можно выбрать 13 качестве оси Ох. Уравнение энергии (при х > 0) имеет вид [c.77]

Пусть Q = xi, г/,) — начальная точка движения (рис. 9). Если она находится па конечном расстоянии от кривой Г (100), то в этой точке xi, i/i, fx) при конечном значении g(xi, г/,) имеет бесконечно большую первую компоненту (1/ц)/(х,, г/,) при [X 0. Следовательно, фазовая координата х изменится на конечную величину почти мгновенно при почти неизменном значении фазовой координаты у, т. е. движение точки по траектории будет близким к движению по горизонтальной прямой y = yi в силу дифференциального уравнения [c.121]

Как только /(х) (в частности, x(Z) в цилиндрическом случае) вычислена (итерациями, вариационным методом или методом дискретных ординат), сразу можно вычислить любую другую характеристику течения. Особенно интересен расход. Чтобы его найти, заметим, что [Уоо (х)//1] Д представляет собой вероятность того, что молекула достигнет элементарной площадки с1А в точке X прямо из резервуара 1 без столкновений. Поскольку уравнения движения обратимы по времени, то с такой же вероятностью молекула покидает элементарную площадку с1А в точке X, чтобы достичь резервуара 1 без столкновений. [c.308]

Наибольшие затруднения представляет обычно изложение вопроса о распределении скоростей в сферическом движении. Источником этих затруднений является игнорирование принципа методологического единства трактуемой дисциплины. В соответствии с хорошо известным правилом кинематики точки, в том случае, когда движение точки определено уравнениями в декартовых координатах х, у, г, для того, чтобы найти скорость, следует искать проекции скорости на оси х, у, г, а для этого достаточно дифференцировать по времени уравнения движения точки. Вместо предложенного кинематикой точки прямого, абсолютно надежного пути избирают пути обходные, уводящие иногда далеко в сторону от изучаемого вопроса и, в -некоторых случаях, даже от объективной действительности. В главе, посвященной вопросу о скоростях точек тела, находят нужным заниматься вопросом о конечных перемещениях тела. Говорят о так называемом векторе элементарного поворота, применяя при этом разностные и дифференциальные обозначения как названного вектора, так и вводимого вместе с ним вектора угловой скорости. [c.51]

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы г и Р перпендикулярны ). Отсюда следует, что при движении точки по первому пути от О до М по прямой ОМ работа силы Р будет равна нулю. Покажем это аналитически, пользуясь формулой (3.25). Для этого напишем прежде всего уравнение прямой ОМ [c.81]

В бесконечно дифференцируемом случае теорема 1, вообще говоря, не справедлива для любой гладкой поверхности М можно указать такой натуральный гамильтониан Н = Т + V, что уравнения Гамильтона (1.1) на Т М имеют дополнительный бесконечно дифференцируемый интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимый) с функцией Н. Действительно, рассмотрим стандартную сферу в пусть поверхность М получается из приклеиванием любого числа ручек к некоторой малой области N на S . Пусть Н — функция Гамильтона задачи о движении точки по инерции V = 0) по поверхности М, вложенной в Вне области N точка будет двигаться, очевидно, по большим кругам сферы S . Следовательно, в фазовом пространстве Т М существует инвариантная область, диффеоморфная прямому произведению D х Т , расслоенная на двумерные инвариантные торы. Точки из области D нумеруют эти торы. Пусть f D К — гладкая функция, обращающаяся в нуль вне некоторой подобласти G, целиком лежащей в D. Функции / соответствует гладкая функция F на D х Т , постоянная на инвариантных торах из х Т. Она продолжается до гладкой функции на всем Т М, если положить F = О вне множества С X Т . Очевидно, что F — первый интеграл канонических уравнений (1.1), и функции Н и F (при подходящем выборе /) не всюду зависимы. [c.134]

Уравнения движения. Траектория. Рассмотрим движение точки по плоской кривой. Пусть положение точки определяется полярными координатами г, ф (фиг. 28), где г — расстояние движущейся точки от полюса О, ф—угол, образуемый радиусом г с горизонтальной прямой — полярной осью. Если мы будем знать, как изменяются г н ф с течением времени, то сможем указать поло жение точки для любого момента времени. Уравнения [c.83]

Рассмотрим вначале общую задачу прямолинейного движения точки, когда принимаются во внимание все основные силы. Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на прямую, по которой происходит движение, будет иметь вид [c.70]

Для uуравнения движения изображающей точки по прямой ф = фо. Для любого и это будет [c.421]

Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы т на нерастяжимой нити длины I, движется по заданному закону g= o(0 по наклонной прямой, образующей угол а с горизонтом. Составить уравнение движения маятника. [c.358]

Из графиков на рис. 1.115 видно, что в моменты времени и скорость точки одна и та же, расстояние от до з изменилось по линейному закону, а пройденный путь возрос от 7-1=31—Зо до 2= =32—Зо пропорционально увеличению времени от 1 до Если движение точки происходит согласно уравнению то график расстояний изображается прямой, проходящей через начало координат. [c.94]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Из уравнения (12) следует, что расстояние а обращается в нуль при ф О с отрицательной стороны. Таким образом, в это.м случае обе траектории невозмущенного движения (рис. г) сливаются в одну прямую Ах, углы 4 1 и ф-2 обращаются соответственно в нуль. В этом случае следует судить об устойчивости движения по прямой Ах на основании знака возмущения. Если начальное отклонение находится в первой четверти, то точка В будет отклоняться все дальше от прямой Ах и совпадет с точкой А при ф -> 0 с отрицательной стороны. Если начальное отклонение лежит в четвертой четверти, то точка В будет приближаться к прямой Ах, угол будет стремиться к нулю. В этом случае движение устойчиво в большом. [c.650]

Задача 788. Движение материальной точки массой /и по прямой лннии, принятой за ось Ох, задано уравнением [c.293]

Интегрируя уравнение (5.18), получим закон движения изображающей точки по фазовой прямой р [c.125]

Значит, на плоскости аЬ все интегральные кривые представляют собой прямые, проходящие через начало координат. Движение изображающей точки по всем этим прямым происходит одинаково. Состояния равновесия на плоскости аЬ целиком заполняют дуги окружностей, радиусы которых являются корнями уравнения (5.19). Плоскость аЬ д,чя случая, когда уравнение (5.19) имеет корни р[ О, Ра < р, . [c.125]

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением [c.131]

Из уравнений движения мы выведем все теоремы динамики. Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравнения движения (58) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений умножив на массу вторую производную от координаты по времени, получим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, У и Z, а нужно определить координаты точки л-, у и z как [c.262]

Решая задачу первым способом, мы учитывали только фактически действующие на тело активные и реактивные силы и составили шесть всеобщих уравнений двин<ения (169) и (192), связывающих проекции этих сил с массами и с проекциями ускорений частиц тела. Силы инерции не входят во всеобщие уравнения движения, так как они не действуют на массы, для описания движения которых написаны эти уравнения, т. е. в данном случае они не действуют на точки тела, вращение которого рассматривается в задаче. Решив уравнения движения, мы определили реакции в опорах, а следовательно, и давления на опоры. Таким образом, мы решили задачу как прямую основную задачу динамики по данному движению системы мы определили силы, действующие на точки системы. [c.415]

Построим графики для тех же условий, но при естественном способе задания движения. Траектория — вертикальная прямая. Начало отсчета выберем на поверхности Земли в точке, где камень получил начальную скорость, и за положительное направление примем направление вверх. Расстоянием камня (или его дуговой координатой) в таком случае явится высота камня над поверхностью Земли, а уравнением движения по траектории S = 30 — 5 (рис. 15, е). Первые 3 с расстояние (или дуговая координата) увеличивается, достигая при = 3 с значения = +45 м, затем расстояние камня (от начальной точки) уменьшается, и когда камень вернется к исходной точке, расстояние станет равным нулю. Графиком расстояния (иначе называемом графиком движения и графиком дуговой координаты) в данном примере является парабола. [c.47]

Важность графического построения зависимости s = f ) состоит в том, что она дает возможность найти приближенное уравнение движения точки по данной траектории и в том случае, когда известны значения расстояний 5 лишь для отдельных моментов /, а аналитическая зависимость между 8 и не известна. Иногда кривые расстояний вычерчиваются автоматически, при помощи участвующих в движении самопишущих приборов. Имея график движения, всегда можно найти расстояние 8 точки от начала отсчета и определить ее положение на траектории. Последняя, так же как и при аналитическом задании функции, должна быть, конечно, известна. Обращаем внимание на то, что крибую расстояний (график движения) никак нельзя отождествлять с траекторией движения точки. Так, например, для равномерного движения точки М по некоторой кривой, изображенной на рис. 129, траекторией точки будет данная кривая АВ, а графиком движения (графиком функции s = f Ц)) будет прямая линия (так как приращение расстояния 8 точки М от начала [c.165]

Рассмотрим движение материальной точки по прямой под действием восстанавливающей и вынуждающей сил при отсут-стпии сопротивления. Такое движение описывается, как хорошо изпестно, уравнением [c.271]

Уравнение (6) имеет особенность при г = 0. Если постоянная пло-шадей (интеграл момента) с 7 О, то, как нетрудно проверить, г отделен от О положительной константой, так что решение не имеет особенностей и является аналитической функцией t на всей оси —o [c.28]

Покажем на простом примере, как составляются уравнения движения машинных агрегатов с переменной массой. На рис. 18.4, а изображена схема штангового толкателя, который используется в металлургической промышленности. Ползун 3 при движении направо собирает отдельные массы, расположенные на плоскости, и так как их много и они сдвинуты по фазе в плоскости, перпепдикулярной к рисунку, то ступенчатая кривая с большим числом ступенек (см. рис. 18.4, б), изображающая переменную массу звена S, может приближенно быть заменена наклонной прямой линией. Масса здесь является функцией координаты точки С и может быть выражена следуюш,им образом [c.371]

Ответ Состояния равновесия в пространстве (0, Q, (о) образуют поверхность П, уравнение которой С + ma )Q(n — Aii sinO -j-/Tiga sin 0 = о, представляющую двумерное многообразие стационарных движений диска. На этой поверхности точки прямой 0 = Q = о соответствуют такому качению диска по прямой, при котором плоскость диска сохраняет вертикальное положение. Тонки прямой 0 = со = о соответствуют верчению диска вокруг неподвижного вертикального диаметра. Все остальные точки поверхности П соответствуют круговым движениям. [c.387]

Варианты 11-15 (рис. 126). Груз D, массой ш укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин положение покоя стержня, показанное иа чертеже, соответствует недефор-мированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за ма1срналь-ную точку, движется по прямой, определить уравнение движения этого груза (трепием скольжения груза по плоскости пренебречь). [c.141]

Задача 329. В инверсоре, изображенном на рис. 242, стержни АС, СВ, BD, DA соединены шарнирно между собой и со стержнями ОС и 0D, вращающимися независимо друг от друга вокруг оси О. Шарнир А при помощи ползуна перемещается по прямолинейной направляющей MN. Найти уравнения движения и траекторию точки В механизма, если угол, образованный прямой О А и перпендикуляром ОЕ к направляющей MN, изменяется по закону Ф - kt, АС =- B=BD = DA= а, O OD b, 0Е=1 ( = onsl). [c.132]

Во многих задачах не представляется возможным получить функцию последования, записанную в явном виде (4.3). В таком случае прибегают к параметрической форме этой записи, что часто облегчает не только нахождение функции последования, но и ее исследование. Пусть, например, фазовая плоскость ху рассматриваемой динамической системы разбивается прямой L, определяемой уравнением у = —kx, на две области I н И (рис. 4.3), в каждой из которых уравнения движения (4.2) различны, но линейны. Обозначим через х,, х абсциссы точек пересечения прямой у — —kx с некоторой фазовой траекторией, по которой изображающая точка движется в области I, [c.73]

Для наглядности изображения движения вместо фазовой прямой введем фазовую кривую, в качестве которой возьмем характеристику трения, что можно сделать, так как в силу уравнения (6.2) координата (р пропорциональна моменту трения (это конечно верно только там, где уравнение (6.2) отображает движение колодки). На рис. 6.4 по оси абсцисс откладываем относительную скорость со = — ф. Если (о = О, то колодка движется вместе с валом со = Q соответствует отсутствию абсолютного движения колодки, состояние равновесия. При рассмотрении принятой характеристики трения нужно всегда иметь в виду, что пока со = О, момент силы трения может принимать любое значение от нуля до Мо — момента силы трения по-коя, т. е. характеристика трения имеет вертикальную ветвь, совпадающую с осью ординат на участке от М =—УИцДоуИ = М . [c.217]

Задача относится к прямым задачам динамикн. Чтобы по данному движению латунного шарика, принимаемого за материальную точку, определить действующую силу, напишем второе из естественных уравнений движения материальной точки (128). В наинизшем положении на шарик действует сила натяжения проволоки, проекцию которой Т будем считать положительной, так как она направлена внутрь траектории, и сила тяжести 0 = 200-981 дин, проекцию которой будем считать отрицательной [c.271]

Свободные колебания без сопротивления. Точка, движущаяся по пря- Предположим, что на материальную точкой, совершает под дейст- у д/f [g2 на стр. 274) действует вием восстанавливающей г t /Го1ч силы гармоническое колеба- ТОЛЬКО восстанавливающая сила (131), сила ние же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная скорость точки М направлена по прямой МО или равна нулю. В таком случае точка М будет двигаться по прямой ОМ (по оси Ох), дифференциальное и кинематическое уравнения ее движения мы получим, положив в (135) и в (138) п и h равными нулю. В самом деле, если сила сопротивления / = 0, то, следовательно, а —О, потому что / =—О.Х и X переменная величина. Если же а=0, то равно нулю и п, которое согласно (134) равно . Аналогично, равенство нулю возмущающей силы означает, что равны нулю Hah. [c.276]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...