Нагрузка силами в срединной плоскости

Пластинка имеет начальное искривление срединной поверхности w x, у). Под действием поперечной нагрузки возникнет дополнительный прогиб w (x, у). Показать, что уравнение изогнутой поверхности такой пластинки при наличии сил в срединной плоскости запишется так [c.146]

В зависимости от характера действующих сил различают П., работающие на изгиб при поперечной нагрузке и на растяжение, сжатие или сдвиг при нагрузке, действующей в срединной плоскости. [c.626]

ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ и силы в СРЕДИННОЙ плоскости (ГЛ. хп [c.422]

ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ и силы в СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. XII [c.424]

ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. Х1Г [c.426]

Если на пластину действует нормальная распределенная нагрузка р2 = Рг (х, у), то независимо от усилий в срединной плоскости пластины условие равновесия элемента пластины — проекция на ось Z всех приложенных к элементу пластины сил — приводит к уравнению [c.139]

Прежде чем перейти к конкретным задачам, отметим, что при нагружении пластин сосредоточенными силами не очевидно существование конечных значений критических нагрузок. Действительно в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил возникают неограниченно большие напряжения, поэтому бессмысленно говорить о критических напряжениях в срединной плоскости пластины. Строго говоря, необходимо доказать, что несмотря на это потеря устойчивости пластины может произойти только при превышении внешней нагрузкой некоторого конечного критического значения. Таким доказательством является возможность записи энергетического критерия устойчивости в форме С. П. Тимошенко. При использовании энергетического критерия в такой форме задача устойчивости пластин, нагруженных сосредоточенными силами, не требует предварительного определения действительных начальных усилий. В этом случае бесконечно большие напряжения в решении не фигурируют. [c.209]

Здесь Q — погонные перерезывающие силы, действующие в цилиндрическом сечении — интенсивность внешней нагрузки, нормальной к срединной плоскости диска в частности, если р (г) —давление внешней среды на поверхности диска, то [c.33]

В предшествующем изложении всюду предполагалось, что пластинка изгибается одними лишь поперечными нагрузками. Если кроме поперечных нагрузок в условиях задачи имеются еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то эти последние силы могут оказать значительное влияние на изгиб пластинки, и потому при выводе дифференциального уравнения изогнутой поверхности их необходимо принять в расчет. Поступая, как и в случае поперечной нагрузки (см. 21, стр. 96), рассмотрим равновесие малого элемента, вырезанного из пластинки двумя парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям xz и yz (рис. 191). В отличие, однако, от случая, рассмотренного в 21, у нас теперь будут еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки. Обозначим величину этих сил по отнесении их к еди- [c.421]

Применение энергетического метода. Энергетический метод, примененный нами ранее при исследовании изгиба пластинки поперечной нагрузкой (см. 80, стр. 380), может быть также использован и в тех случаях, когда поперечная нагрузка сочетается с силами, действующими в срединной плоскости пластинки. Чтобы вывести выражение для энергии деформации, соответствующей этим последним силам, положим, что силы эти приложены сначала к неизогнутой пластинке. Таким путем мы придем к плоской задаче, допускающей [c.426]

Положим, что срединная поверхность пластинки уже несколько выпучена до изгиба, так что в любой ее точке имеется некоторый начальный прогиб Wq, малый в сравнении с толщиной пластинки. Если такую пластинку подвергнуть действию поперечной нагрузки, то последняя вызовет дополнительный прогиб так что полный прогиб любой точки срединной поверхности пластинки будет Wf - -Wy. Для вычисления прогиба w- воспользуемся уравнением (103), выведенным для плоской пластинки. Этот прием допустим в том случае, если начальный прогиб мал, поскольку мы вправе рассматривать его в этом случае как эффект фиктивной нагрузки и применить принцип наложения 2). Если кроме поперечных нагрузок имеются еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то влияние этих сил на изгиб зависит не только от w , но также и от Wq. Чтобы учесть это обстоятельство, мы в правой части уравнения (217) вводим полный прогиб w=Wq- -Wi. Следует помнить, что левая часть этого уравнения была получена из выражений для изгибающих [c.437]

Перейдем теперь к случаям, когда изгибаемая поперечными нагрузками пластинка сжимается или растягивается силами, приложенными по контуру и действуюш,ими в срединной плоскости пластинки. Положим, что по сторонам пластинки л =0 и х=а действуют равномерно распределенные растягиваюш,ие усилия. Пусть Ti — равнодействующая этих усилий, приходящихся на единицу длины контура пластинки. Через Г обозначим величину равнодействующей растягивающих усилий, приходящихся на единицу длины сторон у=0 и у=Ь. При изгибе пластинки точки ее контура несколь- [c.204]

Рассматриваемый метод был распространен на случаи, когда нагрузки действуют вдоль срединной плоскости пластинки, вызывая в некоторой области сжатие, под действием которого пластинка может выпучиваться. Пусть пластинка нагружена системой результирующих напряжений (на единицу ширины) х, Пу, Пху Пх, Пу направлены по нормали к сечениям Ых и Ыу соответственно Пху—по касательной), действующих строго в срединной плоскости включим в энергию деформации при изгибе пластинки ту часть, которая возникает благодаря действию результирующих сил Пх, Пу, Пху. Тогда критические значения этих [c.152]

Можно привести много примеров этого типа. Так, круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной радиальной нагрузкой, периодически меняющейся во времени (рис. 1, б), при определенном соотношении частот может испытывать интенсивные изгибные колебания. Периодические силы, действующие в срединной плоскости пластинки (рнс. 1, в), при определенных условиях могут вызвать интенсивные поперечные колебания. Периодические силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее наибольшей жесткости (рис. 1, г), при определенных условиях могут вызвать изгибно-крутильные колебания из этой плоскости. [c.348]

Таким образом, допустим, что в дополнение к поперечной нагрузке имеются силы, действующие в срединной плоскости пластинки. Обозначим напряжения в срединной плоскости через [c.275]

НИЯ внутри пластины Однако если силы в плоскости не однородны либо отвечают сосредоточенным нагрузкам или геометрия пластины имеет особенности (например, пластина с подкрепленными вырезами или специальной формы в плане), проблема в сущности трудноразрешима с помощью классических аналитических методов С другой стороны, метод конечных элементов легко учитывает эти случаи благодаря тому, что силы в срединной поверхности легко находятся из конечно-элементного анализа плоско-напряженного состояния, как описано в гл 9. [c.418]

Поперечные нагрузки, т. е. силы, перпендикулярные к срединной плоскости пластинки, а также моменты вызывают ее изгиб. При этом в поперечных сечениях пластинки в общем случае возникают изгибающие моменты, поперечные силы, растягивающие (сжимающие) силы, крутящие моменты----- [c.497]

Иными словами, вся внешняя нагрузка лежит в плоскостях, параллельных срединной плоскости пластины, и равномерно распределена по ее толщине. Распределение нагрузки в плоскости пластины является произвольным. На рис. 9.18 изображены обсуждаемые форма тела и вид нагрузки. Отметим существенный факт рассматривая напряженно-деформированное состояние пластины, вызываемое силами, лежащими в ее плоскости, мы отвлекаемся полностью от вопроса о возможной потере устойчивости первоначальной плоской формы пластины. [c.656]

Рассмотрим равновесие элемента пластины, ограниченного двумя парами радиальных и окружных сечений. Так как внутренние силы приведены к срединной плоскости, достаточно рассматривать соответствующий элемент срединной плоскости (рис. 1.4, а). Кроме показанных на рисунке внутренних сил, к элементу приложена внешняя распределенная нагрузка q (г). Эта нагрузка считается положительной, если она направлена в сторону положительных значений г и, следовательно, положительных прогибов W. [c.13]

На рис. 6 приведены и другие примеры упругих систем, нагруженных параметрическими силами круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной радиальной периодической во времени нагрузкой (рис. 6, б), изгибно-крутильные колебания упругой балки, нагруженной периодическими силами в одной из главных плоскостей инерции (рис. 6, в), изгибные колебания пластин и оболочек, нагруженных периодическими силами, действующими в срединной поверхности, и т. п. (рис. 6, г, д). [c.246]

Рассмотрим задачу устойчивости пластины, нагруженной в своей плоскости распределенными по длине дуги контура силами q , Яу и распределенными по площади срединной плоскости силами рх-, ру, поперечные нагрузки отсутствуют. На рис. 7.7 такая пластина представлена в прямоугольной системе координат, причем срединная плоскость пластины совпадает с координатной плоскостью ху. [c.189]

После потери устойчивости в пластине помимо изгиба возникает сложное напряженное состояние в деформированной срединной плоскости Ti = Ti х, у) 7 2 = Та (х, у) S = S x, у), характер которого изменяется по мере роста внешней нагрузки. На рис. 7.22, б схематично показано распределение сил по ширине пластины до и после потерн устойчивости. (После потери устойчивости величина Tj изменяется и по длине пластины.) [c.212]

В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Выбор срединной плоскости в качестве плоскости приведения позволил отделить уравнения плоской задачи теории упругости от уравнений изгиба пластинки, которые и явились предметом исследования. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. Полученные результаты приводят к выводу о пригодности разработанных в настоящей моно- [c.13]

Если в дополнение к поперечным нагрузкам на пластинку действуют еще и внешние силы в ее срединной плоскости, то первое допущение не выполняется, и тогда возникает необходимость принять [c.11]

Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. 96). При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. 99, 100). Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки. В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями. [c.12]

Приложим теперь поперечную нагрузку. Она изогнет пластинку и вызовет дополнительную деформацию срединной плоскости. До сих пор во всех наших исследованиях изгиба пластинок мы этим последним видом деформации всегда пренебрегали. Здесь, однако, мы обязаны принять ее во внимание, ибо эта малая деформация в сочетании с конечными силами Nj , N , может внести в выражение энергии деформации некоторые члены того же порядка малости, что и энергия деформации изгиба. Обозначим , . [c.427]

Балки, работающие на изгиб, на практике предпочитают брать двутаврового профиля, так как такой профиль при сравнительно небольшой затрате материала имеет большой момент сопротивления изгибу и большой момент инерции поперечного сечения, по которым балка рассчитывается при обычной нагрузке, когда плоскость действия внешних сил совпадает со срединной плоскостью вертикальной стенки двутавровой балки. Зато момент инерции для главной оси, перпендикулярной к этой плоскости, у поперечного сечения двутавровой балки сравнительно незначителен, во всяком случае у балок с высокой вертикальной стенкой разница между обоими моментами инерции очень велика. Поэтому, как это следует из выводов предыдущего параграфа, в данном случае осуществлена предпосылка для возможности перехода плоской формы равновесия изгиба двутавровой балки в искривленную. [c.335]

Упругие трехслойные пластины прямоугольного очертания достаточно хорошо исследованы при различных граничных условиях [126, 138, 150, 308 и др.]. Здесь рассматриваются методики построения решений для симметричных по толщине линейно вязкоупругих и вязкоупругопластических трехслойных пластин. Для тонких внешних несущих слоев (/ij = /12) принимаются гипотезы Кирхгофа, для жесткого заполнителя (/13 = 2с), воспринимающего нагрузку в тангенциальном направлении, справедлива гипотеза о прямолинейности и несжимаемости деформированной нормали. Проекции внешней нагрузки на вертикальную ось координат будут q — q x), где х = (ж], 0 2). На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев. Декартова система координат Xi,X2,z связывается со срединной плоскостью заполнителя. В силу симметрии задачи из пяти неизвестных перемещений Ua, Фа, W (а = 1,2 —номер координатной оси Ха) два обращаются в нуль U2 = U2 = 0. [c.354]

Внешняя вертикальная нагрузка не зависит от координаты (f q = q r,t). На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев. В силу симметрии задачи тангенциальные перемещения в слоях отсутствуют = О к—номер слоя)], а прогиб пластины W, относительный сдвиг ф и радиальное перемещение срединной плоскости заполнителя и не зависят от координаты ср, то есть и г, t), ф г, t), w r, t). В дальнейшем эти функции считаем искомыми. Все перемещения и линейные размеры пластины отнесены к ее радиусу го, через hk обозначена толщина к-то слоя. [c.361]

Однако, в инженерной практике часто приходится производить расчет тонких пластин с учетом их гибкости. К такой категории конструктивных элементов можно отнести стенки высоких стальных балок, металлические листы корпусов кораблей и вагонов, листы обшивки авиаконструкций и т. п. При расчете таких пластин на совместное действие поперечных нагрузок и нагрузок в срединной плоскости принцип независимости действия сил применять нельзя, поскольку продольные нагрузки могут оказать существенное влияние на изгиб пластины. [c.464]

Имеется еще одно важное обстоятельство, которым пластины существенно отличаются от балок. В пластинах при действии краевых нагрузок, лежащих в срединной плоскости, можно получить мембранные силы, аналогичные тем, которые, имеют место в плоских задачах теории упругости, так -же как и в случае осевых нагрузок, приложенных к балкам. Но в балках мембранные силы могут вызвать поперечные перемещения только в том случае, когда опирание балки таково, что оно препятствует осевым смещениям, как в случае, обсужденном "в 2.6. G другой стороны, мембранные силы в общем случае вызывают поцереч-ное перемещение пластин независимо от того, имеются ли такие связи или они о сутствуют. Это объясняется тем, что перемещения в плоскости пластины в общем случае не могут происходить беспрепятственно, как при осевом перемещении свободно опертой балки,— различные части пластины стремятся перемещаться на различные расстояния, поэтому такие перемещения влияют друг на друга. Например, рассмотрим круговую пластину при действии поперечной нагрузки диаметральные элементы пластины (рис. 4.2, а) искривляются и х концы стремятся сблизиться (рис. 4.2, б). Даже в том случае,, если радиальному перемещению не препятствуют граничные опоры, оно огра- [c.211]

Круглая пластинка при совместном действии поперечной нагрузки и растяжения или сжатия. Рассмотрим круглую пластинку (рис. 199), подвергающуюся одновременному воздействию симметрично приложенной поперечной нагрузки и равномерного сжатия силами = N( = N в срединной плоскости. В результате угловой деформации <р, сопутствующей изгибу (рис. 27), радиальная сжимающая сила N получит поперечный компонент N dДифференциальное уравнение (54) поэтому будет иметь вид [c.434]

Прямоугольные пласт и-н ы, сжатые силами, приложенными в срединной плоскости (фиг. 6), выпучиваются при критической величине интенсивности (ц кГ1см) нагрузки [c.299]

Теория упругой устойчивости разработана весьма основательно и располагает рядом эффективных методов. Один из методов определения критической нагрузки заключается в следующем полагая, что при некотором значении параметра нагрузки у возможно появление искривленной формы равновесия пластинки, составляют дифференциальное уравнение изгиба с учетом внешних сил Т, = уТ1 Т2 = уТ1 8 = у8 которые приложены в срединной плоскости пластинки и при ее искривлении дают составляющую р, нормальную к срединной плоскости пластинки. Решение такого уравнения, содержащего у в качестве параметра и удовлетворяющего всем граничным условиям, сзществует только при некоторых определенных значениях параметра у, которые называют собственными значениями задачи. [c.74]

Закон распределения касательных напряжений Тхг по толщине балки неодинаков. В сечениях, расположенных вблизи точек приложения сосредоточенных нагрузок, характер распределения напряжений существенно отличается от параболического, причем максимум Тхг смещен к точке приложения нагрузки, а значение его превосходит максимум, вычисленный по классической теории и равный 0,75 т . Это хо-рощо иллюстрирует рис. 2.15, а, на котором представлено изменение отношений Тд г/То по толщине балки для различных значений 5, выбранных в окрестности точки приложения силы. Отношение пролет высота при этом сохранялось постоянным и равным четырем. В каждом сечении распределение Ххг по координате т] и их максимум зависит от отношения //А. На рис. 2.15,6 показано изменение в сечении-5= 0,05 при различных параметрах //Л. Увеличение отношения 1/Л балки способствует уменьшению максимальных касательных напряжений и перемещению ординат максимумов к срединной плоскости. Показанные [c.41]

Извилистая траектория трещины рассматривается в качестве доказательства того факта, что смещение берегов усталостной трещины в ее вершине происходит не только в направлении приложения нагрузки при одноосном циклическом растяжении, но и по типу Кц — поперечное смещение берегов трещины [81], как это показано на рис. 3.15б. Оно вполне естественно в силу уже указанной выше неоднородности процесса формирования зоны пластической деформации вдоль всего фронта трещины. Ее формирование происходит в условиях реализации волнового процесса передачи энергии от одной зоны к другой. Поэтому неизбежно возникновение участков с наибольшей и наименьшей концентрацией энергии. Там, где реализован максимальный уровень энергии, имеет место подрастание трещины в локальном объеме после исчерпания пластической деформации [82]. В зонах фронта трещины с минимальной концентрацией энергии происходит запаздывание разрушения по отношению к другим зонам фронта трещины, что создает предпосылки к реализации эффекта мезотуннелирования трещины (рис. 3.16). Эта ситуация может определяться различиями локальных пластических свойств материала из-за различий пространственной ориентировки кристаллографических плоскостей от зерна к зерну. Такая ситуация, например, характерна для формирования фронта трещины в титановых сплавах (см. рис. 3.166). Процесс распространения усталостной трещины в срединных слоях материала вдоль вершины трещины оказывается сложным и связан с различными эффектами, в том числе и с эффектом изменения траектории трещины, ветвлением и мезотуннелированием. В результате этого реальная поверхность излома после распространения трещины является шероховатой, что создает предпосылки в процессе роста трещины для возникновения различных эффектов контактного взаимодействия ее берегов. Они препятствуют закрытию берегов усталостной трещины, что влияет на темп подрастания трещины. [c.150]

Поправочный член в уравнении (1), отражающий влияние сдвига, неприменим к случаю пластинки без отверстия. Поправка для пластинки без отверстия, как можно ожидать, должна быть несколько меньшей, вследствие расклинивающего действия сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в центре верхней поверхности пластинки. Представим себе, что центральная часть пластинки, выделенная цилиндрическим сечением малого радиуса Ь, удалена и что действие ее на остальную часть пластинки заменено вертикальными перерезывающими силами, эквивалентными Р, и радиальными силами S, отражающими расклинивающее действие нагрузки, и распределенными по верхнему краю пластинки, как показано на рис. 45. Очевидно, последние силы производят растяжение срединной поверхности пластинки и одновременно с этим некоторый выгиб ее вверх. Это указывает на то, что в применении к случаю пластинки без отверстия поправочный член в уравнении (к) должен быть уменьшен. Чтобы получить представленне о величине радиальных сил S, рассмотрим пластинку в двух условиях загружения, показанных на рис. 46. В первом случае пластинка сжата двумя равными и противоположно направленными силами Р, действующими по оси симметрии z. Во втором случае пластинка подвергнута равномерному сжатию в ее плоскости давлением р. [c.92]

МЫ переходим к более общему случаю изгиба поперечными нагрузками, задача становится более сдоншой. Ясно, что под влиянием касательных напряжений, соответствующих перерезывающим силам N- и появятся сдвиги, которые вызовут искривление линейных элементов, перпендикулярных к срединной плоскости. Под влиянием нагрузки, лежащей на пластинке, наверное, возникнут напряжения Zz, которые соответствуют надавливанию друг на друга слоев пластинки, параллельных срединной плоскости. Очевидно, что вследствие этих надавливаний срединная плоскость пластинки может испытать некоторые деформации в своей плоскости и уже не будет играть роль нейтрального слоя. [c.383]

Применим уравнение (3.20) к деформациям изгиба упругой пластинки постоянной толщины /г, приняв за плоскость х, у срединную плоскость пластинки, обозначив малый прогиб в точке X, у через т и предположив, что в качестве внешней нагрузки пластинка несет только распределенное по поверхности —/г/2 давление p = f x,y) кг см ) и не имеется никаких сосредоточенных сил и сил в направлении срединной плоскости. Используя выражения для деформаций изгиба в плоскостях г = соп81 (см. 8.1) [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...