Равновесие механическое неустойчивое

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Для того чтобы решить устойчиво или неустойчиво равновесие механической системы, необходимо использовать аналитические признаки устойчивости. Наиболее общим подходом к изучению устойчивости положения равновесия в механике является энергетический подход, основанный на исследовании изменения полной потенциальной энергии системы при отклонениях от положения равновесия. [c.11]

Конечно, результаты исследования устойчивости могут качественно меняться в зависимости от некоторого характерного параметра механической системы. Физический смысл названного параметра определяется существом задачи. Например, для вращающихся валов и роторов таким параметром служит угловая скорость вращения, для самолетного крыла — скорость набегающего потока, для аппарата на воздушной подушке — высота парения и т. д. Если при постепенном изменении характерного параметра происходит изменение качественных свойств состояния равновесия и совершается переход от устойчивого равновесия к неустойчивому (или обратный переход), то соответствующее значение параметра называется критическим значением. [c.156]

Неустойчивой называют трещину, когда в некотором объеме, окружающем трещину, нарушаются условия механического равновесия. При этом трещина распространяется и это распространение может происходить при постоянной нагрузке. Для тела в целом условия равновесия при наличии неустойчивой трещины могут сохраняться. В предельном состоянии равновесия для неустойчивой трещины соблюдается условие ( Р/сП<0, т.е. для остановки трещины надо успеть снизить нагрузку. Однако скорость трещины в закритическом состоянии настолько велика, что при испытании образцов на испытательных машинах успеть снять нагрузку до полного разрушения образца практически не удается (поскольку машина обладает некоторой податливостью). Кроме того, даже при полностью удаленной внешней нагрузке трещина может расти от наличия упругой энергии в самом образце, так как для того, чтобы разгрузить образец полностью во всех его точках, требуется известное время. [c.153]

Одно из направлений посвящено изучению устойчивости положений равновесия механических систем. При этом в зависимости от поставленной задачи применяются теорема Лагранжа, критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, теорема Четаева о неустойчивости положения равновесия исследуется устойчивость стационарных движений. [c.60]

В неравномерно нагретой жидкости, находящейся в оле тяжести, при определенных условиях возможно механическое равновесие. Если неоднородность температуры достаточно велика, то равновесие становится неустойчивым и в результате развития возмущений сменяется конвективным движением В тех же условиях, когда равновесие невозможно, конвекция воз никает при сколь угодно малой неоднородности температуры Однако и в этом случае увеличение разности температур при водит к кризису, связанному с неустойчивостью самого конвек тивного движения. Обе указанные ситуации представляют, собой специфические частные случаи одного из наиболее интересных явлений, изучаемых современной гидродинамикой, — явления гидродинамической неустойчивости. [c.5]

НЕУСТОЙЧИВОЕ МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ - см. Равновесие механической системы (равновесие). [c.241]

Еще Рэлеем [217] было обнаружено, что механическое положение равновесия с неустойчивым профилем температуры Т = Т1—ЛТг/Я (ДТ > 0) с увеличением Я становится неустойчивым по отношению к модам типа [c.21]

На искусном использовании неустойчивого равновесия основано исполнение многих цирковых номеров. В основе же расчетов и построения механических конструкций лежит принцип соблюдения устойчивого равновесия для всех направлений возможного отклонения. В связи с этим рассмотрим равновесие тела не с одной, а несколькими точками опоры, лежащими не на одной прямой, т. е. тела, имеющего опорную плоскость (поверхность). [c.78]

Так, например, на рис. 223, а и (5 изображен физический маятник в состоянии равновесия, но в положении, изображенном на рис. 223, а, потенциальная энергия маятника минимальна и равновесие устойчиво, а на рнс. 223, б потенциальная энергия максимальна и равновесие неустойчиво. Такой маятник является механической системой с одной степенью свободы. Колебания систем со многими степенями свободы складываются из простых колебаний около положения устойчивого равновесия. Указанный Лагранжем метод изучения колебаний (см. 62) имеет громадное применение в различных отраслях науки н техники и, в частности, в теории вибрации машин. [c.401]

Жидкость может находиться в механическом равновесии (т. е. в ней может отсутствовать макроскопическое движение), не находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение (3,1), являющееся условием механического равновесия, мол<ет быть удовлетворено и при непостоянной температуре в жидкости. При этом, однако, возникает вопрос о том, будет ли такое равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия. Если это условие не выполняется, то равновесие неустойчиво, что приводит к появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое движение носит название конвекции. Условие устойчивости механического равновесия является, другими словами, условием отсутствия конвекции. Оно может быть выведено следующим образом. [c.22]

Критический радиус зародыша (пузырьков пара в перегретой жидкости или капли в пересыщенном паре) можно найти и непосредственно, из условия механического равновесия (неустойчивого) зародыша, т. е. из равенства давления Рг внутри зародыша [c.159]

Всякий термодинамический процесс может возникнуть только при нарушении механического или термического равновесия, т. е. при сжатии или расширении газа (давление среды больше или меньше давления газа), при нагреве или охлаждении газа (температура среды больше или меньше температуры газа). Чем сильнее нарушается равновесие, тем быстрее в общем случае проходит процесс и тем более резко будет нарушаться состояние покоя газа в газе возникают конвекционные токи, вызываемые разностью температур в массе газа, и вихревые движения, вызываемые разностью давлений. Для газа, находящегося в таком неустойчивом состоянии, уравнение состояния не может быть применено до тех пор, пока газ не придет в состояние равновесия. Для того чтобы во время этих изменений уравнение состояния было бы справедливо, необходимо, чтобы газ во всей своей массе имел одинаковые давления и температуры, а для этого необходимо, чтобы изменения его состояния происходили очень медленно, вернее, даже бесконечно медленно. Бесконечно медленные изменения состояния газа возможны только при условии наличия бесконечно малых разностей давлений и температур газа и окружающей среды. Процессы, происходящие при бесконечно малых разностях давлений и температур, называются равновесными процессами, а так как они протекают бесконечно медленно, то их называют иногда квазистатическими (дословный перевод с латинского почти равновесными). [c.48]

Из первого неравенства (3.44), называемого также условием механической устойчивости, следует, что увеличение объема тела при постоянной температуре всегда сопровождается уменьшением давления. Это условие вполне очевидно, так как в противном случае, т. е. при др дУ)т >0, состояние тела было бы абсолютно неустойчивым, поскольку малейшее уменьшение объема, например, при случайном изменении внешнего давления, приводило бы не к возрастанию давления тела (и тем самым к противодействию внешнему воздействию, как это должно иметь место в состоянии устойчивого равновесия), а к уменьшению собственного давления тела, в результате чего превосходящим давлением окружающей среды тело было бы сжато до предельного объема. [c.115]

Бифуркационный критерий устойчивости, рассмотренный в 4.4, как мы выяснили там, не всегда дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости равновесия. Неполнота этого критерия связана с тем, что он устанавливает возможность иди невозможность смежного состояния равновесия, тогда как при потере устойчивости, вообще говоря, может наступить не новое состояние равновесия, а состояние движения системы. Поэтому естественная постановка задачи устойчивости состоит именно в изучении возможных движений механической системы. Возвращаясь к проблеме устойчивости сжатого стержня, напишем уравнение колебаний такого стержня следующим образом [c.205]

Равновесие термодинамических систем по аналогии с механическими может быть устойчивым (стабильным), неустойчивым (лабильным) и относительно устойчивым (метастабильным). Равновесное состояние называется устойчивым, если по устранении возмущения, вызвавшего некоторое отклонение системы от этого состояния, система сама по себе возвращается в первоначальное состояние равновесия. [c.15]

Колебания около положения равновесия возникают в случае устойчивого равновесия. В случае неустойчивого равновесия система при малейшем отклонении удаляется от положения равновесия и колебания около этого положения не возникают. Поэтому при изучении малых колебаний механических систем важно знать критерий устойчивости равновесия этих систем. [c.5]

Пусть система (например, какой-либо газ) не находится в термодинамическом равновесии с окружающей средой. В некоторый момент времени полностью изолируем систему от внешней среды. Как известно, под действием внутренних процессов такая система через тот или иной промежуток времени неизбежно придет в состояние равновесия — произойдет затухание механических движений, выравнивание температур, плотностей и т. щ Все процессы, приводящие систему в равновесное состояние, являются необратимыми, и тем самым протекание их обусловливает увеличение энтропии системы. Следовательно, переход системы из неравновесного, а значит в термодинамическом смысле неустойчивого, состояния в равновесное устойчивое состояние сопровождается ростом энтропии. Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия энтропия системы имеет наибольшее значение. [c.122]

Следовательно, в перегретой жидкости не любые случайно возникшие маленькие пузырьки обладают способностью к дальнейшему росту, а только те, радиус которых превышает значение, отвечающее рассмотренным выше условиям неустойчивого механического и теплового равновесия. Это минимальное значение радиуса пузырька Ямт часто называют также критическим радиусом парового зародыша. Величина R мин зависит от степени перегрева жидкости, т. е. от разности температур At=tm—ts, где ts — температура насыщения при давлении в жидкости. Выражение для минимального радиуса парового пузырька можно получить из уравнения Лапласа [c.111]

Здесь рассматриваются только причины выхода из строя компрессорных машин из-за чисто коррозионного воздействия или совместно с механическими напряжениями (коррозионно-механического). Коррозия металлов — это самопроизвольный процесс разрушения их при воздействии окружающей среды. Причина коррозии — термодинамическая неустойчивость металла в данной среде, когда переход из металлического состояния в химическое соединение происходит с уменьшением свободной энергии. Для предотвращения этого естественного с точки зрения термодинамики процесса приходится прилагать большие усилия, расходовать огромные средства, но тем ие менее полностью защитить металлы от коррозии пока ие всегда удается. Ведь с помощью различных способов защиты лишь удерживают металл в состоянии неустойчивого равновесия с окружающей средой (исключение составляют благородные металлы). Стоит только несколько изменить агрессивность среды, ослабить степень защиты или ухудшить качество металла, как это равновесие нарушится и начнется коррозионный процесс. [c.6]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

Но интуиция может дать верный ответ только в простейших случаях для более сложных систем одной интуиции оказывается недостаточно. Например, даже для сравнительно простой механической системы, изображенной на рис. 1.7, а, интуиция может лишь подсказать, что положение равновесия шарика на вершине при очень малой жесткости пружины будет неустойчивым, а с увеличением жесткости пружины оно должно стать устойчивым. Для изображенной на рис. 2.3, б системы стержней, соединенных шарнирами, на основе интуиции можно только сказать, что исходное положение равновесия этой системы устойчиво или неустойчиво в зависимости от соотношения между силой, жесткостью пружины и длиной стержней. [c.11]

Состояние равновесия, которое сохраняется, несмотря на возмущения, является стабильным состоянием или состоянием устойчивого равновесия. Состояние равновесия, которое не сохраняется после бесконечно малых возмущений, является состоянием неустойчивого равновесия. Впоследствии будут определены другие виды равновесия, но из всех видов устойчивое равновесие наиболее важно. Постараемся найти критерий равновесия, посредством которого может быть установлено состояние устойчивого равновесия. Вначале мы рассмотрим простую механическую неупругую систему, свободную от влияния электричества 216 [c.216]

Постановка задачи об устойчивости равновесия распределенных систем. Диссипативные системы образуют частный класс неконсервативных систем. Для этих систем каждое (или почти каждое) движение сопровождается уменьшением полной механической энергии. Ниже рассмотрим такие системы с не зависящими от времени параметрами, в которых возможно возрастание полной механической энергии за счет ее притока извне. Равновесие таких систем и (х, () = О при определенных значениях параметров может стать неустойчивым. В связи с этим возникает задача [c.241]

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33]

Тип II. Движущиеся неустойчивые трещины. Это такой рост трещины, который происходит при постоянных внешних силах, причем в некоторых объемах тела механическое равновесие не сохраняется. Самопроизвольный рост трещины (при постоянных внешних силах) является результатом отсутствия механического равновесия. Каждое из промежуточных состояний при росте трещины является термодинамически и механически неравновесным, и трещина растет до тех пор, пока система не придет к состоянию механического и термодинамического равновесия, т. е. либо до полного разрушения тела, либо до достижения длины, соответствующей устойчивому механическому равновесию при данных внешних силах. Возможны три случая — изотермический, адиабатический и политропический. [c.29]

Неустойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что при сколь угодно малом возмущении термодинамическая система сама по себе к нему не возврз-щается. Механическим аналогом неустойчивого равновесия является шарик, находящийся на вершине выпуклой поверхности. В термодинамических системах и окружающей среде всегда происходят незначительные изменения (флуктуации плотности, температуры и другие малые возмущения), которые вызывают незначительные отклонения системы от состояния равновесия. Поэтому неустойчивое состояние равновесия в реальных условиях существовать не может. [c.15]

Различают устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия механических систем. В принципе для решения вопроса об устойчивости состояния равновесия нужно исследовать результаты возможного нарушения этого состояния, т. е., иными словами, изучить общие евойства движения, которое возникает вследствие сколь угодно малых начальных возмущений состояния равновесия такое движение называетея возмущенным. Если, совершая возмущенное движение, система удаляется от состояния равновесия (монотонный уход или колебания с возрастающими пиковыми значениями), то такое состояние следует считать неустойчивым. Если же в возмущенном движении система остается в непосредственной близости к равновесному состоянию (например, еоверщает гармонические колебания) или, тем более, постепенно приближается в этому состоянию (монотонное приближение, или колебания с убывающими пиковыми значениями), то такое состояние устойчиво. [c.152]

Пример 7. Частный случай обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости положения равновесия механических систем и теорема Ирншоу о неустойчивости равновесия точечного заряда в электростатическом поле. [c.96]

В некоторых практических ситуациях перед инженерами возникают внешне различаюш иеся проблемы, которые на самом деле сводятся к одному и тому же вопросу как заведомо неустойчивое состояние равновесия механической системы превратить в устойчивое Для достижения этой цели обычно перерабатывают общую схему, например вводят дополнительные опоры либо изменяют значения геометрических параметров, распределение жесткостей и масс и т. п. Однако сравнительно недавно было установлено, что можно обойтись и без этих, казалось бы необходимых мер ничего не меняя в системе, нужно лишь придать ей колебания — надлежаще направленные и нужным образом дозированные по частоте и амплитуде. Оказывается, что такие колебания способны вы- звать глубокие качественные изме-/ нения свойств системы и, в частно-/ сти, сделать устойчивыми те состоя- [c.168]

Здесь члеиа]Р(0 представляет периодическую функцию времени, определяющую изменение коэффициента жесткости. В проблемах механических колебаний обычно мы встречаемся с малыми изменениями коэффициента жесткости, и этог член можно считать малым по сравиег/ию с Вид функции / /) зависит ог устройства системы. Два важных случая показаны на рис. 118, в н г, где представлены синусоидальное и прямоугольное изменения. Общее решение уравнения (а) неизвестно, но для наших целей его знать необязательно. Нас интересует лишь, будет ли с данном случае устойчива или неустойчива система, движение которой пи1, яно уравнением (а). Чтобы ответить на этот вопрос, нужно предположить, что система находится в среднем положении (д =0) и что некоторая дополнительно приложенная сила вызывает малое начальное смещение. г и малун). начальную скорость и тем самым малые колебания. Если можно показать, что амплитуда этих колебаний неограниченно возрастает со временем, то имеется случай неустойчиЕости. Если колебания постепенно затухают со временем, то исходное состояние устойчиво. Рассмотрим, например, случай рнс. 118, а. Под действием вертикальной переменной силы S масса т может оставаться в среднем положении на линин действия силы 5 но. как мы видели, то положение равновесия становится неустойчивым, если частота изменения силы S вдвое больше частоты поперечных колебаний системы, нагруженной постоянной силой натяжения. Так как выражение, заключенное в скобки в уравнении (а), представляет периодическую функцию, то допустимо ожидать, что прн надлежащем выборе начальных условий можно вызвать такое движение x = F (0. что в конце первого цикла (i=T= 2n/oi) будет [c.176]

Несомненно, одним из самых ярких фактов, рассмотренных в настоящей главе на примере маятников, является вибрационюя стабилизация положений равновесия механических систем, которые при отсутствии вибрации являются неустойчивыми. С другой стороны, как обмечалось, [c.117]

Отметим, что периодическим колебаниям на фазовой плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории, и наоборот. Вид фазовых траекторий характеризует устойчивость или неустойчивость поло кения равновесия, достаточную малость колебаний и т д, Фазовые траектории для консервативной системы мож.но построить, используя интеграл энергии. Каждой фазовой траектории соответствует определенное значение полной механической зн-ергии, [c.420]

Этим трем основным стадиям должна предшествовать труд-нонаблюдаемая ) стадия образования звезд. Считается, что звезды рождаются группами в протяженных газово-пылевых облаках вследствие гравитационной неустойчивости однородного распределения материи места случайного увеличения плотности облака становятся (из-за нарушения гравитационного равновесия) центрами, к которым вещество стекается, — центрами гравитационной конденсации вещества. Они и являются зародышами будущих звезд. Стадия образования звезды — стадия гравитационного сжатия — является сложным и пока еще не до конца понятым периодом ее эволюции. Мы остановимся здесь только на конечных результатах процесса гравитационного сжатия. В процессе сжатия температура звезды, точнее протозвезды, должна постепенно увеличиваться. Количественную оценку степени разогревания звезды можно получить из теоремы вириала. Согласно этой теореме у звезды, находящейся в механическом равновесии, средние по времени энергия епл теплового движения и гравитационная энергия Vg связаны соотношением [c.601]

Понятие о параметрических резонансах. Уравнение (1) имеет тривиальное ре-тиение q s О, которое отвечает невозмущенному равновесию или невозмущенному периодическому движению системы. Пусть коэффициенты уравнений зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение q = О может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множества точек, соответствующих неустойчивости, как правило, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями неустойчивости областями динамической неустойчивости) механической системы. Если параметрическое воздействие — периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особый интерес представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами. [c.117]

Устойчивые и неустойчивые состояния теля с трещиной. Тело с трещиной находится в состоянии механического равновесия, когда в любом элементе объема тела (как и для всего тела в целом) соблюдаются условия равновесия. Это означает, что нагрузка постоянна, нет движения элементов объема, следовательно, нет распространения трещины (трещина неподвижна). Для того, чтобы трещина стала распространяться, необходимо либо увеличить внешнюю нагрузку, либо (при постоянной нагрузке) снизить работу разрушения материала. С медленным ростом нагрузки трещина медленно растет. Малому приращению нагрузки отвечает малое приращение длины трещины, и, следовательно, рост нагрузки сопровождается соответствующим ростом длины трещины. Такое состояние тела с трещиной называют устойчивьш (иногда квазистати-ческим или докритическим) ростом трещины (или трещину называют устойчивой). Для устойчивости трещины соблюдается условие Р / сИ > о, т.е. в предельном состоянии равновесия (при соблюдении критериев разрушения) нагрузка является возрастающей функцией длины трещины. Разумеется, что устойчивая трещина может находиться и в движущемся теле, для которого в целом условия равновесия не соблюдаются. [c.153]

Устойчивость есть свойство движения (в частном случае - равновесия), понимаемого в широком, общенаучном смысле слова. Рассмотрим механическую, электрическую, термодинамическую, биологическую и т.п. системы. Допустим, что известно движение этой системы, осуществляемое при определенном сочетании параметров системы и окружающей среды. Назовем это движение невозмущенным. Теперь представим себе, что эти параметры (все или их часть) получили небольшие изменения. Движение системы при этом также изменится. Возникает вопрос о том, насколько велики будут эти изменения, т.е. насколько возмущенное движение будет отличаться от невозмущенного движения. Если малые воздействия вызывают малые отклонения от невозмущенного движения, то возмущенные движения более или менее плотно группируются около иевозмущенного движения. В этом случае невозмущенное движение называют устойчивым. Если же малые воздействия вызывают большие отклонения системы от невозмущенного движения, то движение называют неустойчивым. Таким [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...