Неустойчивость равновесия

Ответ На верхней полуокружности (0 < ф < л) при любых значениях тз/Ш] существует положение неустойчивого равновесия [c.400]

Будучи отклоненным от этого положения, он в исходное положение не возвращается, но движение его прекращается. Наконец, шар, лежащий на выпуклой поверхности, находится в состоянии неустойчивого равновесия (рис. Х.1, в). Будучи отклоненным от первоначального положения, он продолжает двигаться дальше. [c.264]

Построим график функции V (q) и ниже него изобразим фазовую плоскость q, q системы (рис. VI.9). Точки, соответствующие положениям устойчивого и неустойчивого равновесия, отмечены на фазовой плоскости точкой и крестиком. Зададим поочередно Ш. [c.229]

На искусном использовании неустойчивого равновесия основано исполнение многих цирковых номеров. В основе же расчетов и построения механических конструкций лежит принцип соблюдения устойчивого равновесия для всех направлений возможного отклонения. В связи с этим рассмотрим равновесие тела не с одной, а несколькими точками опоры, лежащими не на одной прямой, т. е. тела, имеющего опорную плоскость (поверхность). [c.78]

Применив теорему Резаля и = т , направляем скорость и точки О параллельно /га . Следовательно, ось симметрии гироскопа будет отклоняться в плоскости хг, т. е. в плоскости, перпендикулярной к направлению силы Р. Если бы вращение гироскопа отсутствовало, то он находился бы в положении неустойчивого равновесия, и под действием силы его ось симметрии совершила бы падение в плоскости у2. [c.516]

Равновесное состояние термодинамической системы называют устойчивым стабильным), если любое бесконечно малое воздействие на нее вызывает бесконечно малое изменение состояния, а при устранении этого воздействия система возвращается в исходное состояние. Если при бесконечно малом воздействии происходит конечное изменение состояния — это неустойчивое (лабильное) равновесие. Для термодинамических систем неустойчивость равновесия означает его отсутствие, так как малые вариации состояний таких систем происходят самопроизвольно в связи с флюктуациями физических параметров. Возможны и такие случаи, когда стабильное равновесие становится лабильным при конечных возмущениях состояния, т. е. [c.114]

Ранее отмечалось, что термодинамические системы не могут находиться в состоянии неустойчивого равновесия. Но очень часто между устойчивыми и неустойчивыми состояниями существует значительная область значений термодинамических переменных, в которой критерии устойчивого равновесия не выполняются, но система тем не менее может существовать длительное время, причем ее состояние зависит от бесконечно малых изменений внешних переменных. Это состояние нейтрального (безразличного) равновесия. Любые гетерогенные системы, в которых происходят процессы, не влияющие на состояние ее-щества в гомогенных частях системы, т. е. не изменяющие интенсивных термодинамических характеристик фаз, находятся. по отношению к таким процессам в нейтральном равновесии. Чтобы пояснить особенности этого состояния, рассмотрим устойчивость равновесия гетерогенной системы, состоящей из двух открытых фаз, а и р, с одинаковым химическим составом и плоской межфазной границей. Можно воспользоваться уже выведенными формулами (12.15) — (12.17) или (12.19), если положить в них а = 0 или г = оо. Нетрудно видеть, что в этом случае при постоянных Т, V [c.119]

В некоторых случаях установить неустойчивость равновесия можно па основании теорем Ляпунова. [c.390]

Исследования вопроса о случаях неустойчивости равновесия системы принадлежат А. М. Ляпунову. Найденные им теоремы рассмотрены в следующих параграфах. [c.219]

Теоремы А. М. Ляпунова о случаях неустойчивости равновесия формулируются так [c.226]

Конечно, изложенные соображения нельзя рассматривать как доказательство теорем А. М. Ляпунова и тем более общей теоремы о неустойчивости равновесия. Эта теорема не доказана в общем виде до последнего времени. [c.227]

Если рассматриваемое тело повернуть в положение, при.котором центр тяжести будет находиться на вертикали, проходящей через ребро П (рис. 112, в), то получим неустойчивое равновесие. При [c.86]

Если рассматриваемое тело повернуть в положение, при котором центр тяжести будет находиться на вертикали, проходящей через ребро D (рис. 1.113, б), то получим неустойчивое равновесие. При незначительном отклонении от этого положения влево [c.78]

Обратный характер зависимости (увеличение Н при уменьшении р) указывает на неустойчивость выпученного состояния в этом случае. Определяемое формулой (15,7) значение Н отвечает неустойчивому равновесию при заданном р выпучивания с большими значениями Н самопроизвольно растут, а с меньшими — [c.83]

Напротив, при Г > Г р прямолинейная форма отвечает неустойчивому равновесию. Достаточно уже бесконечно малого воздействия (изгиба) для того, чтобы равновесие нарушилось, в результате чего произойдет сильный изгиб стержня. Ясно, что в этих условиях сжатый стержень вообще не сможет реально существовать в неизогнутом виде. [c.120]

Вид семейства фазовых траекторий будет совершенно иным, если равновесие системы неустойчиво. Рассмотрим общий интеграл уравнения (8) при условии с < О, соответствующем неустойчивости равновесия системы в положении q = Q. Введя в этом случае обозначение [c.483]

Как видно из равенств (16) и (17), в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приведение уравнения движения к виду (15). Ввиду этого оговоримся, что для этого случая (с < 0) все последующее рассуждение относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого равновесия системы. [c.483]

Начало координат О, соответствующее покою системы в точке неустойчивого равновесия, представляет собой седлообразную точку, или седло. [c.485]

При ф < О положение х — О ротора соответствует положению неустойчивого равновесия маятника будучи помещена в это положение, ось ротора должна подобно маятнику опрокинуться в положение х = л, в котором конец вектора е направлен на юг, а конец вектора собственной угловой скорости еф — снова на север. [c.619]

Если длина трещины такова, что dT/dL=0, то трещина находится в состоянии неустойчивого равновесия. Трещина большего размера быстро распространяется, так как упругая энергия при увеличении L уменьшается быстрее, чем увеличивается поверхностная энергия. Трещина меньшего размера расти не будет или вовсе закроется, поскольку в этом случае, наоборот, поверхностная энергия уменьшается быстрее, чем возрастает упругая энергия.. . [c.138]

Итак, если скорость ленты такова, что значение скорости лежит на падающем участке характеристики трения скольжения, то силы, возникающие при случайных движениях груза в ту или другую сторону от положения равновесия, уводят груз далеко от положения равновесия, т. е. состояние равновесия оказывается неустойчивым. Груз не остается в этом состоянии, а совершает колебания около положения равновесия. Такие колебания, происходящие около положения неустойчивого равновесия, будут рассмотрены позднее ( 139). [c.205]

Повторяя приведенные в 29 рассуждения о работе сил вблизи состояний устойчивого и неустойчивого равновесия, нетрудно убедиться, что для твердого тела существует такая же связь между характером состояния равновесия тела и значением его потенциальной энергии, как и для материальной точки. При этом для твердого тела величина потенциальной энергии в однородном поле тяготения определяется только положением центра тяжести тела. Потенциальная энергия твердого тела массы т в ноле тяготения, которое вблизи поверхности Земли можно считать однородным, определяется выражением [c.415]

Малые отклонения от состояния равновесия всегда неизбежны, и поэтому в реальных условиях тело не может находиться в состоянии неустойчивого равновесия. Вопрос об устойчивости упругого равновесия впервые исследовал Эйлер. Так как исследование этого вопроса представляет собой сложную задачу, мы ограничимся только качественными соображениями, применив их к простейшему конкретному примеру. [c.480]

При известных условиях введение одних только гироскопических сил преобразует неустойчивое равновесие в устойчивое, т. е. происходит, как говорят, гироскопическая стабилизация [c.241]

И еще заметим. Ролик в устойчивом равновесии обладает минимальной потенциальной энергией по отношению к соседним положениям. Отклоняя ролик от устойчивого положения равновесия, мы приподнимаем его и совершаем работу. Приобретенная роликом при отклонении энергия переходит затем в кинетическую и рассеивается при колебаниях около устойчивого положения равновесия. В неустойчивом равновесии ролик имеет максимум энергии по отношению к соседним положениям. [c.118]

Вследствие четности функции П (ф) она удовлетворяет также неравенству Я(-Дф) > Я (ф = 0). Следовательно, при ф = О функция Я (ф) имеет минимум. Таким образом, при ф = ф = 180 и ф = фз = 60° функция П (ф) имеет максимум, а при ф = фг = 112,89° и ф = ф4 = О — минимум. На основании теоремы Лагранжа — Дирихле при ф = ф2 и ф = ф4 система имеет положения устойчивого равновесия, а на основании теоремы Н. Г. Че-таева при Ф = Ф1 и ф = фз — положения неустойчивого равновесия. [c.311]

Примечание. Следует иметь в виду, что колебания действительно будут иметь место только в том случае, когда в уравнении (f) справа стоит знак минусй. Наличие знака плюс указывало бы на неустойчивость равновесия. Если бы. ш-нейные члены сократились, то это указывало бы на существенно нелинейный характер колебаний или на безразличное равновесие (в зависи1юсти от наличия или отсутствия членов высшего порядка по отношению к х). [c.324]

Закон был открыт Лагранн<ем (1788 r. i и в отношении устойчивости равновесия при максимуме силовой функции строго доказан Лежсн Дирихле (1846 р.) в отношении же неустойчивости равновесия, при котором условие максимума силовой функции не выполнено, доказан для шнрокоро класса случаев А. М. Ляпуновым (1892 и 1897 г.), но пока еще никем не доказан в общ,ем виде. [c.401]

А. М. Ляпунов, О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция сил не есть maximum. Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, 1935, стр. 353. [c.216]

А. М. Ляпунов обобщил метод доказательства теоремы Лагранжа— Дирихле и доказал две теоремы, относящиеся к случаям неустойчивого равновесия системы. [c.226]

В теоремах А. М. Ляпунова о неустойчивости равновесия рассмотрены практически важнейшие случаи обращения теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.346]

Рис. S.21. В точке Л1 —Дж dU/dx>0, а следовательно, F <0 (слева от горба). В точке J i + Ддс dUldx < О, и поэтому f > О (справа от горба). Поэтому малое смещение от точки i прйводит к появлению силы, увеличивающей смещение. Точка соответствует положению неустойчивого равновесия.

Влияние гпроскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие. Пусть положение равновесия консервативной системы неустойчиво. Нельзя ли добавлением диссипативных сил стабилизировать его, т. е. нельзя ли так подобрать диссипатпвпыв [c.386]

Теорема 4. Если в положении неустойчивого равновесия консервативной системы потенциальная энергия П (q) ижет [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...