Эйлера пространственный

Подход Эйлера рассматривает все величины как функцию координат частиц в текущий момент времени — пространственных координат Подход Лагранжа называют также материальным, а подход Эйлера — пространственным. [c.279]

Введем обозначение — ер , — Ь VI будем трактовать ж по аналогии с переменными Эйлера (пространственно-временные координаты Х — переменные Лагранжа). [c.677]

Пространственная ориентация кинематические формулы Эйлера и их модификация аксоиды [c.143]

Еще Л. Эйлер сделал возможным введение в механику понятия о скалярных и векторных полях ( 210, т. I), определяя плотность жидкости и вектор скорости ее частицы как функции четырех переменных — времени и трех пространственных координат. Эти переменные называются переменными Эйлера. [c.495]

Определение. Способ изучения описания) движения деформируемых тел, в основе которого лежат зависимости (1.2), называется способом Лагранжа, способ изучения движения деформируемых тел, при котором все поля скорость, ускорение, температура, плотность и т. д.) определяются как функции пространственных координат X и времени), — способом Эйлера. [c.5]

Всякое одномерное движение (движение, зависящее всего от одной пространственной координаты) непременно потенциально, так как всякую функцию v x, t) можно представить в виде производной v x,t) = d(f x,t)/dx. Поэтому мы можем воспользоваться в качестве первого интеграла уравнения Эйлера уравнением Бернулли (9,3) [c.551]

На структурном факторе (амплитуде) чрезвычайно сильно сказываются кристаллографические особенности кристаллической структуры ее элементы симметрии, тип решетки, пространственная группа симметрии. Рассмотрим примеры. Если решетка объемно-центрированная, то каждому атому в точке с координатами Xj, У], Zj соответствует атом с координатами V2, У3+Ч2, 2j+V2- В выражении для структурной амплитуды ( После преобразования (1.31) по формуле Эйлера) возникнут две пары членов [c.45]

Угловые скорости и ускорения звеньев пространственных механизмов. Дифференцирование по времени уравнений для определения положений звеньев дает систему линейных уравнений, в которые входят производные от углов Эйлера. Чтобы перейти к проекциям угловой скорости звена / в движении относительно звена I, используются известные соотношения [c.50]

Следует отметить, что все тригонометрические функции углов Эйлера выражаются явно через sin t ) уравнениями (31) и (32). Однако сложность взаимосвязей и движений элементов пространственных механизмов приводит к тому, что из первого из уравнений (31) могут быть найдены в общем случае лишь числовые значения sin г ). Если в качестве параметров группы вращения приняты углы, составленные взаимно осями рассматриваемых систем координат, то эти углы могут быть определены по значениям направляющих косинусов гП/ 1 k, I = [, 2, 3) из системы девяти уравнений, в которую входят три уравнения (29) и известные соотношения между косинусами направляющих углов [c.36]

Общие уравнения пространственного движения вертолета в связанной системе координат представляют собой обычные уравнения динамики твердого тела (уравнения Эйлера) и кинематические уравнения связи (1). [c.60]

Уравнения количества движения в прямоугольной системе координат для пространственного ПО ока (уравнения Эйлера) имеют вид [c.120]

Кратко рассмотрим понятие поля параметров. При анализе задач гидромеханики удобно определять параметры движущейся жидкости в зависимости от пространственных координат, и, следовательно, поле параметров определено, если в каждой точке пространства, занятого течением, известны значения этих параметров. Таким образом, например, функция р х, у, г,() определяет давление в точке Q(x, у, г) для частицы жидкости, попадающей в эту точку в момент времени I. В лагранжевых координатах давление отдельной частицы / определяется функцией р — р1 1). Другими словами, при подходе Лагранжа не требуется задавать фиксированную систему координат, как при подходе Эйлера, поскольку система координат движется вместе с частицей. Основные законы движения жидкости справедливы только для системы, имеющей постоянную массу, как в подходе Лагранжа, но они выражаются в фиксированной системе координат, как в подходе Эйлера. Поэтому необходимо найти со-отнощение, связывающее оба этих подхода, и это соотношение [c.345]

Приведенная в инвариантной форме полная система соотношений для определения всех характеристик движения элемента упругого тела при практическом использовании привязывается к определенной системе координат. В современных представлениях о возможности описания движения тела или его частей выделяются четыре различных подхода [131]. В механике сплошной среды наибольшее распространение в историческом аспекте получили подходы Лагранжа и Эйлера, или в рамках терминологии работы [131] — отсчетный и пространственный. Поскольку мы далее будем говорить [c.16]

Аналогичные представления справедливы для тензоров второго и высшего рангов. Векторы и тензоры, определенные компонентами в материальном отсчетном базисе (функции X), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Лагранжа. Аналогично векторы и тензоры, определенные компонентами в пространственном базисе (функции х), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Эйлера. Любой вектор или тензор, определенный в переменных Лагранжа, можно переопределить в переменных Эйлера и наоборот, в силу закона (1.7). Для тензоров второго ранга можно также использовать двойные [c.23]

Сложнее обстоит дело с векторами и тензорами, определенными компонентами в пространственном или материальном текущем базисе. Для произвольного тензора второго ранга h, определенного разложениями по пространственному базису (в переменных Эйлера), получаем [43] [c.28]

Здесь, на основе концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия и выведенных в предыдущих параграфах нелинейных уравнениях изгиба, устанавливаются линеаризованные дифференциальные уравнения устойчивости многослойных композитных анизотропных оболочек. Подробное изложение этой концепции и методики получения пространственных линеаризованных уравнений устойчивости из нелинейных уравнений теории упругости приведено в монографии [206 ]. Для однородных изотропных абсолютно жестких на поперечные сдвиги и обжатие оболочек эти вопросы достаточно полно рассмотрены, например, в монографиях [85, 104, 189], а для многослойных анизотропных оболочек с ограниченной поперечной сдвиговой жесткостью — в монографиях [52, 60, 116]. [c.59]

Каждая операция пространственной группы К(П) в пассивном представлении может рассматриваться как поворот системы осей (X, У, Z) к новому положению (X, Y, Z ), которое может быть определено тремя углами а, р и y (см. рис. 6.1), определяющими ориентацию системы X, Y, Z ) относительно системы X,Y,Z). Эти углы называются углами Эйлера и изменяются в пределах [c.107]

Ю. Д. Соколов изучил также траектории общего соударения в обобщенной задаче трех тел. Ему принадлежит первое исследование трансцендентного уравнения Эйлера — Лагранжа, связывающего отношения взаимных расстояний с отношением масс в обобщенном случае. Он доказал, что при стремлении времени к моменту общего соударения три тела, вообще говоря, стремятся образовать предельную конфигурацию, соответствующую известным частным случаям Эйлера—Лагранжа, а также указал исключения из общего правила. Соколов исследовал пространственное симметрическое движение и, в частности, траектории общего соударения, с коллинеарной (на оси вращения) предельной конфигурацией. Он изучил также траектории обобщенной задачи трех тел в случае неограниченного расхождения точек системы для плоского и пространственного движения в течение конечного интервала времени. [c.114]

Формулами (1.1.21) определяется пространственное описание процессов деформирования (Эйлера) в декартовых (пространственных) координатах [74, 75]. [c.14]

В строгом смысле, этот подход обусловливает использование пространственной формы (Эйлера) описания процесса. Однако, как уже отмечалось, в данной книге используется исключительно материальное (Лагранжа) описание процесса, но относительно различных систем координат, определенных в разных конфигурациях. В данном разделе используется система координат, связанная с некоторой фиксированной начально-деформированной [c.29]

В правую часть интегрального уравнения (7.6) для очевидно, войдут первые временные и пространственные производные от Г / и вторые производные от Vf Частные производные по t от и можно исключить соответственно с помощью уравнений Эйлера и уравнений (7,14) для Тогда общее решение уравнения (7.6) для будет выражено через Vf ГУ и их пространственные производные и, согласно (7.9), — через Продолжая процесс далее, можно / выразить через. ....Гг и их пространственные производные до (я — k)-TO порядка соответственно для функций Но при t = Q все Гг для fe>0 и их пространственные производные равны нулю, а Г[.° = Гг. Следовательно, при г 0 функции выражаются через гидродинамические величины и их пространственные производные до и-го порядка включительно. Но момент г —О не является исключительным. Любой момент может быть принят за начальный. Следовательно, полученная зависимость /("> от гидродинамических величин справедлива в любой момент времени. Подставляя эту зависимость в определения P/j и qi через /, выразим последние через гидродинамические величины и их производные до -го порядка. Тогда, выражая в уравнениях сохранения P j и qi через Г и их производные, получим замкнутую систему уравнений для гидродинамических величин. [c.147]

Равенство (2.3) есть дифференциальная форма записи закона сохранения массы в переменных Эйлера при наличии пространственно-распределенных источников с плотностью д. [c.41]

Переменные (х, t), введенные при рассмотрении поля (3.3), будут в дальнейшем называться пространственными (их называют также переменными Эйлера) переменные (X, 0. [c.13]

Существуют два теоретически эквивалентных подхода к решению задач механики сплошной среды лагранжев (материальный) и эйлеров (пространственный). При лагранжевом подходе в качестве основных переменных используются 0, а при эйлеровом — 0, Эйлеров подход применяется в основном в исследованиях по гидродинамике. В настоящей книге, за редким исключением , используется лагранжев подход в двух вариантах [c.21]

При использовании второго подхода, который носит имя Эйлера, рассматривают все величины как функцию координат частиц в текущий момент времени — пространственных координат (tZ/, X, X ). Подход Лагранжа называют также материальным, а подход Эйлера — пространственным. Другими словами, при ла-гранжевом описании движения среды следят за движением каждой материальной частицы среды, имеющей в начальный момент времени координаты (С ,С ,С ). При эйлеровом описании следят за происходящим в каждой фиксированной точке пространства (ж ,ж ,ж ), через которую в разные моменты времени проходят различные материальные частицы [59, 82. [c.6]

Переход тела недёформированного в конечное деформированное состояние (рис. 1.8) можно представить себе сначала как поступательное перемещение, характеризуемое вектором 5, поворот как жесткого целого, характеризуемый вектором вращения м, и деформация тела в пространственной системе координат Х[. Положение пространственных координат Xi относительно x i можно определить тремя углами Эйлера углом прецессии il)= [c.29]

Три пространствен 1ые компоненты этого уравнения представляют собой релятивистское обобщение уравнения Эйлера (вре-ме 1ная же компонента есть следствие первых трех). [c.696]

В книге изложена общая теория описания винтов с помощью особых комплексных чисел и даны приложения теории к определению конечных поворотов твердого тела (сложение и разложение поворотов), к анализу и синтезу пространственных механизмов. Рассмотрены задачи, решаемые методом винтов о движении тела под действием расположенных на нем маховиков или других произвольно движущихся масс, об измерении пространственного движения тела с помощью инерционных датчиков, пространственное обобщение теоремы Эйлера-Савари, играющей большую роль в теории зацепления задача о колебаниях упруго подвешенного тела и ряд других. [c.2]

Теорема Эйлера-Савари была обобщена М. Дистели [51] для произвольного пространственного движения тела. Так как этим автором был применен классический метод дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей с помощью декартовых координат, то решение получилось весьма громоздкое — с результатом в виде двух уравнений. В работе Д. Н. Зейлигера [21] приведена формула Эйлера-Савари для пространственного движения тела, хотя и в неполном варианте, но зато выраженная в комплексном виде. Ниже будет дана полная формулировка теоремы Эйлера-Савари с формулой наиболее общего вида. Эта теорема устанавливает связь комплексных углов между бинормалями и общей образующей аксоидов с комплексными углами между бинормалями [c.162]

Образуем щетку, содержащую прямую тела и бинормаль подвижного аксоида образуем щетку, содержащую бинормаль линейчатой поверхности (траектории), описываемой прямой тела, и бинормаль неподвижного аксоида. Три прямые — общий пересекающий перпендикуляр указанных двух щеток, общий пересекающий перпендикуляр прямой тела и бинормали ее траектории, общая образующая аксоидов — пересекаются в одной точке под прямыми углами (построение к обобщенной теореме Эйлера Савари для пространственного движения, данное в 3 гл.VII этой книги) [c.195]

В основу создания комплексной модели ЦН положено его пространственное строение. Движение жидкости в проточной части рабочего колеса описано модифицированным уравнением Эйлера, а в отводе ЦН - дифференциальными уравнениями Навье-Стокса. Автор показал, что проекции вынуждающей силы, которая действует на выходе рабочего колеса, вращающегося с частотой п, на неподвижные осиХ-У, есть гармонические функции времени. [c.6]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

Термины прашый и левый условны, так как, например, если вместо F базовым несимметричным тензором деформаций был бы принят тензор градиента места то термины правый и левый пришлось бы поменять местами. Для тензоров деформаций, являющихся функциями правого тензора кратностей удлинений U, часто используются термины материальный или лагранжев , а для тензоров деформаций, являющихся функциями левого тензора кратностей удлинений V, — пространственный или эйлеров . Эти термины искажают механический смысл тензоров деформаций, так как все они по своей сути материальные [63]. [c.35]

L - лагранжев радиус-вектор с компонентами U - лагранжевыми (материальными) координатами частицы т в начальный t = н момент времени Е - эйлеров радиус-вектор с компонентами Ei - эйлеровыми (пространственными) координатами материальной частицы т, находящейся в произвольный момент времени t в простраиственной точке я радиусы-векторы точек малой окрестности материальной частицы т в начальный fo и произвольный t моменты времени соответственно X - общее обозначение координат (обобщенные координаты) [c.10]

Рассмотрим переход от координат (I2, il2, I2.....ti) к ровибронным координатам Q,ф,x.Qu. .., Qs -e, Xn+i, . , Zi) в уравнении Шредингера для жесткой нелинейной многоатомной молекулы здесь три угла Эйлера (9, ф, %) определяют ориентацию молекулярно-фиксированной системы осей (х, у, z) относительно пространственной системы осей ( , т), ), а (ЗЛ — 6) нормальных координат Qr являются линейными комбинациями координат ядер Xi, yt, Zi). Тогда оператор выражается через операторы (1 , Qu. .., Рзлг-е, Р, . ... Ръи-%), где — компоненты ровибронного углового момента, а Рг = —itid/dQr. Такая замена координат позволяет разделить сумму и межъ-ядерной потенциальной функции Vn (которая получается в приближении Борна — Оппенгеймера, рассмотренном в следующей главе) на часть, зависящую только от 1х, Jy> и на (ЗЛ —6) частей, зависящих только от координат Qr и сопряженных им импульсов Рг. Новый набор координат содержит теперь три угла Эйлера вместо двух углов в (7.65) и (7.66) для двухатомной молекулы и (3N — 6) колебательных координат Qr вместо одной координаты R в (7.67) для двухатомной молекулы. Как видно из (7.58) и (7.60), такая замена координат не влияет на форму Те [см. (7.46)]. [c.153]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Представление (1.1.3) принято называть материальным или представлением Лагранжа, представление (1.1.4) — пространственным или представлением Эйлера. Однако эти названия (Лагранжа и Эйлера) не оправданы исторически, поскольку, как отмечал Терстон [116] ссылаясь на Лэмба, "Эйлер раньше Лагранжа использовал оба вида представлений". [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...