Функция работы внешних сил

Функция работы внешних сил. Для сил, изменением величины и направления действия которых при возможных перемещениях можно пренебречь, при использовании принципа возможных перемещений удобно ввести в рассмотрение функцию работы внешних сил [c.44]

Левые части этих уравнений — такие же, как в (18.37.6). Поэтому их определители будут равны нулю, если при п = k w некотором целом т выполняется равенство (18.37.8). Решение неоднородной статической задачи будет в этом случае, вообще говоря, невозможно. Это можно было предвидеть заранее. Рассматриваемые здесь статическая и геометрическая безмоментные задачи сопряжены (в смысле 7.7). Поэтому, если выполнено (18.37.8), т. е. если однородная геометрическая задача имеет нетривиальные решения, то согласно теореме 1 7.7 надо требовать, чтобы внешние силы статической задачи не совершали работы на перемеш,ениях сех возможных изгибаний. Выше было показано, что таких изгибаний бесконечное множество. Однако соответствующие им перемещения меняются по ag как sin rva или os r -ai,2, а внешние силы меняются по как sin ka или os ka2, поэтому, в силу ортогональности тригонометрических функций, работа внешних сил может отличаться от нуля лишь при п> = k. При фиксированном г существуют только два линейных независимых изгибания, а значит, и число нетривиальных условий Существования решения статической задачи также равно двум. Это и будут те два условия, которым должны отвечать правые части двух систем [c.266]

Для дальнейших преобразований важно, что потенциальная энергия системы есть однородная функция второй степени, а работа внешних сил — однородная функция первой степени. [c.178]

Первая из этих составляющих вместе со второй волной амплитуды Х. (х) образует стоячую волну с амплитудами в пучностях, равными 2X2 (л). Второй составляющей, распространяющейся от начала стержня к концу его, не соответствует никакая волна, распространяющаяся в обратном направлении, и следовательно, вторая составляющая с амплитудой Xi (х) — Х (х) есть просто бегущая волна с амплитудой, убывающей с ростом х (так как Хх — убывающая, а Xj —возрастающая функция л) в частности, у начала стержня (х = 0) амплитуда этой бегущей волны равна Xj (0) — — Ха (0), а у конца стержня (х = I) Х (I) — Ха (I) = О, если потерями энергии при отражении можно пренебречь. Эта бегущая волна несет с собой энергию, возникающую у начала стержня за счет работы внешней силы распространяясь по стержню, эта энергия расходуется на потери, происходящие при колебаниях во всех участках стержня (поэтому бегущая волна по мере распространения затухает). [c.691]

Следует заметить, что перемещение А. является величиной второго порядка малости по сравнению с перемещением у. В тех задачах, с которыми мы до сих пор встречались, мы этим перемещением с полным основанием пренебрегали. В задачах устойчивости при определении работы внешних сил этого делать нельзя, поскольку энергия изгиба в левой части баланса энергии сама является квадратичной функцией прогиба. Итак, [c.142]

Определим вид этой функции. Подставляя функцию прогибов (8.1) в формулы (7.5) и (7.6), убеждаемся, что составляющие деформации и напряжений являются линейными функциями параметров а,-. Подставляя составляющие деформации и напряжений в формулу (3.19), убеждаемся, что потенциальная энергия и является квадратичной функцией параметров а . Подставляя функцию прогибов (8.1) в формулу (8.4), убеждаемся, что работа внешних сил А в пластинке является линейной [c.156]

Из этого определения следует, что какого-либо рассеяния энергии не происходит и работа внешних сил полностью переходит в энергию деформации тела, которое после снятия нагрузок приходит в свое естественное недеформированное состояние и, следовательно, восстанавливает свою первоначальную форму. Приращение этой функции может быть записано в виде [c.148]

При решении задач кинематики и кинетостатики механизмов в первом приближении предполагают, что закон движения ведущего звена известен, и обычно принимают скорость его постоянной. В действительности кинематические параметры являются функцией действующих внешних сил й масс подвижных звеньев и определение истинного закона движения механизма (машины) требует эксперимента или специального расчета. При конструировании машины знание истинного закона движения необходимо для учета динамических нагрузок. Скоростные машины, рассчитанные по усредненным нагрузкам, будут работать с перегрузками элементов конструкции, что приведет к снижению ее надежности. [c.356]

Вариация функции W (уравнение (72)) получается в результате варьирования перемещений при постоянных внешних силах. Легко видеть, что W равно удвоенной работе внешних сил, приложенных статически к упругому телу [c.322]

Наиболее сильным источником погрешностей при непосредственном вычислении частоты по формуле (П.72) является то обстоятельство, что если даже сама кривая прогибов функцией / (х) изображается достаточно точно, то вторые ее производные могут сильно отличаться от истины (при дифференцировании приближенных кривых погрешность может резко нарастать). Вычисление же числителя формулы (П.72), равного удвоенной потенциальной энергии изгиба вала, предполагает именно задание второй производной функции f (х)-, в то же время известен и другой способ вычисления потенциальной энергии — через работу внешних сил, при котором производные в формулу для нее не входят. [c.82]

Для применения принципа возможных перемещений при решении задач механики стержней необходимо обобщить этот принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие системы. Для упругих систем (или в более общем случае для деформируемых систем, например стержней) необходимо принимать во внимание не только работу внешних сил, но и работу внутренних сил (результирующих напряжений), вызванных возможными отклонениями упругой системы от состояния равновесия. Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением называется всякое малое перемещение точек осевой линии стержня из исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень. Например для стержня, показанного на рис. 2.16, любая функция Ьу (г), мало отличающаяся от функции у (г) и удовлетворяющая ее краевым условиям, может рассматриваться как возможные перемещения для точек осевой линии стержня. Любое возможное перемещение Ьу (г) стержня является непрерывной функцией. [c.55]

Прямой метод определения 3-интеграла следует из уравнения (2.4) и основан на анализе податливости нескольких идентичных по геометрии образцов, но с различной длиной трещины, исходя из предпосылки, что вся затраченная работа внешних сил А реализуется в процессе освобождения потенциальной энергии деформации и (Л = и). Тогда экспериментальные значения 3-интеграла могут быть получены по диаграмме Р — Г в два этапа. Первый этап заключается в определении работы А путем планиметрирования области под диаграммой Р — Г для заданных значений Г и представлении ее в зависимости от длины трещины I. На втором этапе рассчитываются значения 3-интеграла для данных длин трещин как тангенс угла наклона зависимостей 13 — / , которые представляются в функции перемещений f. Схема такой обработки результатов испытаний показана на рис. 2.9. Данный подход отвечает теоретической трактовке 3-интеграла, а зависимости 3 от Г (3 — тарировочные кривые) характеризуют процесс изменения энергетических затрат при деформировании образца на различных уровнях нагружения. Однако он не определяет самих критических значений Зс, которые характеризуют начало стабильного роста трещины. Для этой цели предлагаются различные методы определения З . [c.36]

Отличительной особенностью упругих тел является обратимость процессов деформирования. Считается, что в упругой области полностью отсутствуют остаточные деформации, т. е. работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации. Так как деформации Вх, е,у,. .. У2Х являются обобщенными перемещениями для напряжений а , а у, г гху то в соответствии с определением потенциальной энергии в механике назовем удельной потенциальной энергией деформации упругого тела такую функцию [c.17]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Полюса, соответствующие чисто мнимым и комплексным нулям функции F (I), не дают вклада в выражение для ти (дс, К). Если учесть (3.9), то это значит, что средняя за период работа внешних сил при возбуждении неоднородных волн равна нулю. [c.257]

Заметим, что уравнение (51) по форме совершенно совпадает с уравнением (49). Но в уравнении (49) мы сравнивали значения потенциальной энергии для различных геометрически возможных форм равновесия, которым соответствует одно и то же значение работы внешних сил, а в уравнении (51) мы сравниваем различные возможные с точки зрения статики распределения напряжений, при которых правая часть уравнения (50) равна нулю. В первом случае потенциальная энергия выражена в виде функции составляющих деформации, во втором случае мы пользуемся выражением (37 ), т. е. представляем потенциальную энергию в виде функции составляющих напряжения. [c.61]

Часть 2. Если, с другой стороны внутреннюю работу конструкции типа рамы выразить как функцию от внешних сил, действующих на конструкцию, то полученное выражение будет таким, что входящие а него дифференциальные коэффициенты дадут величину относительных перемещений Точек приложения внешних сил . [c.561]

Предположим, что коэффициент трения /(р) меняется пропорционально параметру 7 > 0. Тогда энергия деформации U и сумма (Л + L) работ внешних сил А и сил трения L являются монотонно убывающими функциями 7. [c.186]

Работа внешних сил, по теореме Кастильяно равная работе деформации, является квадратичной функцией сил Р1, Рг,. .., Л-Трактуя силы как независимые переменные, имеем [c.159]

Таким образом, вариация суммы работы деформации, теплового потенциала и функции диссипации равна виртуальной работе внешних сил, сил инерции и нагрева поверхности тела. [c.24]

Построить графики внешних сил, полезных сопротивлений и движущих в функции положений звеньев, соответствующих углу поворота начального звена 1. Определить работу внешних сил за цикл и выбрать двигатель по каталогу. [c.178]

В этой формуле работа внешних сил dA( > представлена через внутренние параметры рассматриваемой частицы и их приращения. Вид функций Рх по своему существу связан с формулировкой основных постулатов, необходимых для определения модели. [c.203]

Движение звеньев механизма происходит под влиянием действующих на них сил. Их величины, характер воздействия и точки приложения циклически изменяются по трем основным причинам изменение нагрузок сопротивления как на рабочем органе, так и в самом механизме изменение движущих сил, обусловленных процессами, происходящими в двигателе машины изменение положения звеньев за цикл работы механизма. Совокупное изменение условий нагружения приводит к ускорениям или замедлениям движения звеньев, что вызывает инерционные воздействия на них и, как следствие,— изменение скоростей. Следован ел ьно, кинематические параметры звеньев — функции внешних сил. Они зависят от масс звеньев и их распределения по ним с учетом конкретной формы и размеров. Задача определения закона движения звеньев о определенной геометрической формой, размерами и массой при известных внешних силах и моментах сил и законов их изменения во времени решается на основе обидах принципов теоретической механики и называется динамическим расчетом. [c.278]

Энергетический метод определяет величину нагрузки, для которой полная потенциальная энергия (сумма энергии упругой деформации и потенциальной энергии внешних сил) идеального тела перестает быть существенно положительной определенной функцией для всех малых статических допустимых вариаций. Это происходит, когда нагрузка Р приближается к собственному значению Р. . Энергетический метод является мощным практическим средством приближенного вычисления критической нагрузки, получившим большое развитие в работах С. П. Тимошенко [102]. [c.257]

Случай, когда теорема кинетической энергии дает первый интеграл. Если сумма элементарных работ всех сил, как внешних, так и внутренних, при действительном перемещении системы является полным дифференциалом некоторой функции и (х , у ,. ......х , Уп, г ) от координат точек системы, то [c.45]

Консервативные системы. — Консервативными системами называют системы, к которым применима теорема энергии, т. е. энергия которых остается постоянной при отсутствии внешних сил. Мы показали выше, что материальные системы консервативны, если предположить, что внутренние силы центральные и представляют собой функции от расстояний. Однако это условие не является необходимым для того, чтобы система была консервативной. Достаточно, чтобы внутренние силы были консервативны, т. е. чтобы они имели силовую функцию —П, или, что представляет собой одно и то же, чтобы сумма их элементарных работ выражалась полным дифференциалом — 11. Действительно, доказательство теоремы энергии основывается только на одном этом свойстве. [c.26]

Однако было бы неправильно заменить последний интеграл выражением J Adt, так как вполне определенный смысл имеют лишь виртуальная работа SA и элементарная работа dA, но не сама работа А. Работа А не является, вообще говоря, функцией состояния . Она является функцией состояния лишь в том случае, когда dA представляет собой полный дифференциал , т. е. когда внешние силы удовлетворяют условиям существования потенциальной энергии V (ср. добавление к 18). В этом случае мы можем в уравнении (33.11) заменить [c.246]

Работу внешних сил при изгибе пластинки под действием поперечной нагрузки можно подсчитать по формуле (8.4). Подставим в эту формулу функцию прогибов (а) и учтем, что = onst [c.171]

Растяжение или сжатие стержня связано с работой внешних сил на перемещениях их точек приложения. Если нет рассеяния энергии,то вся эта работа переходит в энергию деформации стержня. Выделим из стержня малый элемент поперечными сечениями в точках 2 и 2 + d2. Пусть в результате приложения к этому стержню внешних сил в нем возникли напряжения и деформации Увеличение внешней силы приведет к увеличению напряжения и деформации соответственно на и бвг. Здесь использован знак приращения б функций и е , чтобы можно было отличить это приращение от знака приращения d, так как происхождение этих приращений различно — одно идет от приращения внешних сил, а второе связано с приращением координаты. При этом грани выделенного элемента дополнительно сместятся друг относительно друга на 6ejdz, так как относительная деформация, умноженная на длину деформируемого элемента, дает удлинение этого элемента (сравним 8 = AUI). Таким образом, если левая грань элемента сместилась на А, то правая сместилась на А + 6e d2. Напряжения Ог на этих смещениях произвели работу —Ла А на левой грани, Авг (А + 6e d2) на правой грани. [c.58]

Рассмотрим плоскую задачу и замкутый контур С, охватывающий вершину трещины и проходящий по любому пути. Контур может быть незамкнут, но тох да его концы должны лежать на свободной поверхности трещины или же на свободной границе тела. Пусть квазистатическое решение задачи а , е , ы,- в функции X, у, Z, t известно. Сформулируем критерий развития трещины на основе закона сохранения энергии [399]. В связи с приращением длины трещины, скорость работы внешних сил, действующих на контур С, равна скорости возрастания энергии деформации, запасенной в объеме внутри контура С, плюс скорость, с которой энергия поглощается в связи с расширением трещины [c.48]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

Метрика векторного пространства. Другая проблема дискретного моделирования сплошного тела связана с записью условий равновесия. Они должны быть прямо связаны выбранной системой базисных функций число уравнений равновесия есть т. По-видимому, рациональный путь к получению этих уравнений состоит в использовании принципа возможных перемещений. Известно, что напряжения в теле удовлетворяют условиям равновесия при заданных внешних силах, если при любых вариациях возможных (разрешенных связями) перемещений в (нашем случае — полей перемещений Uf (х) dU ) работа напряжений на вызываемых этими перемещениями деформациях равна работе внешних сил. Отсюда, в частности, следует, что метрика пространства L, как и прежде (см. 30, 32), должна быть выбрана исходя из энергетических соображений. [c.163]

Здесь бЛ, bR — приращения (вариации) работы деформации и работы внешних сил при сообщении точкам тела возможных (виртуальных) перемещений. При варьировании смещений будем давать виртуальные перемещения не суммарным перемещениям (7.1), а лишь дополнительным смещениям аи, av, aw. То есть в качестве возможных перемещений будем рассматривать функции аби, afio, a w. [c.132]

Полная энергия в выражении (6.80) является функцией перемещений. Действительно, работа внешних сил непосредственно зависит от перемещений, согласно уравнению (6.74). Работа внутренних сил зависит от интенсивности деформаций сдвига Г одйако последняя зависит от деформаций, которые определяются частными производными от перемещений по координатам [см. уравнения (1.56)]. [c.257]

Существование функции э естественно связывается с приписываемой упругой среде способностью аккумулировать работу внешних сил при нагружении и возвращать запасенную энергию при разгружении. Представление о п. э. можно связать с термодииамическимн потенциалами — свободной энергией (в изотермическом процессе) или внутренней энергией (в адиабатическом). По существу, соотношение (1) выражает первое начало [c.103]

Теперь оказывается возможным перейти к рассмотрению задачи, когда нагружение (осуществляемое лишь нормальными усилиями) не является осесимметричным. Для этого следует обратиться к формулам (1.27), положив в них ст (0) = б(0), т. е. рассмотреть задачу, когда в полюсе приложена сосредоточенная сила. Тогда, просуммировав эти решения по всей сфере, можно получить интегральное представление решения в случае произвольного нагружения нормальными силами (которые можно рассматривать как своего рода функцию Грина). Поскольку же задача внутренняя, то подобный прием нуждается в корректировке. Дело в том, что в этом случае нагружение оказывается неуравновешенным и формально полученное решение становится лишенным смысла. Необходимо приложить какую-либо компенсирующую нагрузку (которая на заключительном этапе построения решения автоматически устраняется из-за условия самоурав-новешенности внешних сил). Можно приложить, например, в центре компенсирующую сосредоточенную силу. Правда, тогда решение будет иметь особенность в начале координат, но она уничтожается при суммировании. В уже упомянутой работе [7] предложен иной путь компенсирующая нагрузка представляется в виде суммы массовых сил, равномерно распределенных по объему и направленных по оси г, и некоторого решения, компенсирующего касательные напряжения. Тогда решение [c.340]

Выведем формулу для потока упругой энергии G в вершину трещины (формула податливости Ирвина). Пусть дано упругое тело, на которое действует внешняя сила Р. В связи с приращением длины трещины на dl точка приложения силы сместится па величину dA, и сила Р произведет работу Р dA. Энергия W упругой деформации, накопленная к этому моменту, будет равна ViPA, где полное смещение А определяется для тела с трещиной данной длины I. При этой длине трещины сила Р и смещение А связаны линейной зависимостью А = ХР, где Я- — податливость тела при заданной длине трещины. Поскольку W есть фуп1щия рассматриваемого состояния, то ее можно вычислить через величины, относящиеся к рассматриваемому моменту, т. е. через jP и А (а значит и к при фиксированном I), несмотря на то, что X есть функция длины трещины. Поток энергии в вершину трещины равен [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...