Системы первой степени негрубости

ПРОСТЕЙШИЕ НЕГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ -СИСТЕМЫ первой СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ [c.155]

В настоящем параграфе дается определение простейших негрубых систем, которые названы системами первой степени негрубости. Приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была системой первой степени негрубости (см. [6, 9, 10]). [c.155]

В силу определения III динамические системы первой степени негрубости являются, очевидно, системами релятивно грубыми в множестве негрубых систем. [c.156]

Определение динамической системы первой степени негрубости, так же как и определение грубой динамической системы, б >1ло сначала дано в предположении, что граница рассматриваемой области О является циклом без контакта для траекторий системы (А). При этом предположении определение значительно упрощается. Однако это определение, так же как и определение грубости, может быть с соответствующими изменениями (полностью аналогичными тем, которые были сделаны при определении грубой системы) дано и без каких-либо частных предположений относительно расположения траекторий системы (А) по отношению к границе. [c.156]

Теорема 2. Если система (А) является системой первой степени негрубости в области С, то в С у нее не может быть состояний равновесия, у которых А = О, с 0, 2(1, 0) = 0. [c.157]

Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени негрубости. Перейдем теперь к выяснению вопроса о том, какие замкнутые траектории возможны в системе первой степени негрубости. Пусть о —замкнутая траектория, ж = ф(0> г/= if)(г)—соответствующее ей решение. Пусть [c.158]

Теорема 4. Если система (А) является системой первой степени негрубости в G, то в G не может существовать замкнутая траектория, у которой [c.158]

Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой степени негрубости. Пусть теперь у системы (А) существует сепаратриса, идущая из седла в седло. Рассмотрим, в частности, тот случай, когда сепаратриса Ьо идет из седла О в то же седло. Тогда Ьо вместе с седлом О образует простую замкнутую кривую Со- Мы будем говорить в этом случае, что сепаратриса образует петлю или что мы имеем петлю сепаратрисы. Если при этом сепаратрисы седла О, отличные от Ьо, лежат внутри петли (внутри Со), то мы будем говорить, что Ьо образует большую петлю. Укажем следующие основные свойства петли сепаратрисы. [c.158]

Теорема 5. Если система (А) является системой первой степени негрубости в С, то в О не может существовать сепаратриса, идущая из седла в то же седло, если в этом седле р х (а о Уо) + Q v Уо) = О ( 0, Уо — координаты седла). [c.159]

Теорема 8. Если система (А) удовлетворяет в области С условиям Г, то она является системой первой степени негрубости в и. [c.160]

Простейшей бифуркацией называется бифуркация при переходе от данной системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, к сколь угодно близким грубым системам. При рассмотрении простейших бифуркаций системой (A), близкой к системе (А), мы будем, так же как и в гл. 9, считать систему, У которой правые части Р х, у) и Q x, у) и их производные до 11 [c.163]

Как мы видели, в случае, когда система (А) является системой первой степени негрубости, у нее имеется негрубая (независимая) траектория одного из следующих типов [c.164]

V. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел 0(хо, уо). Тогда в силу условий Г (см. гл. 9) ни одна из сепаратрис седло-узла не может идти в седло или являться и со- и а-сепаратрисой седло-узла. [c.169]

Так как мы предполагаем, что система (А) является системой первой степени негрубости, то в силу условий Г кроме седло-узла О все остальные особые траектории этой системы грубые. [c.169]

Области, заполненные грубыми системами с различными качественными структурами, разделяются п — 1-мерными пленками , точкам которых соответствуют негрубые системы, причем в общем случае — это системы первой степени негрубости. [c.181]

Действительно, системы первой степени негрубости — это системы, которые выделяются одним (и только одним) условием типа равенства (например) [c.181]

Как мы видели, при рассмотрении систем первой степени негрубости для таких систем запрещаются а) случай, когда существует двукратный предельный цикл, на который извне и изнутри накручиваются сепаратрисы, и б) случай, когда на петлю сепаратрисы накручивается хотя бы одна сепаратриса. Оба эти случая невозможны в системах первой степени негрубости в силу данного определения таких систем, так что при наличии таких образований система рассматривается как система более высокой степени негрубости. [c.183]

Между тем динамические системы, для которых осуществляется случай а) пли б), в общем пространстве динамических систем заполняют пленки, т. е. имеют коразмерность 1. Действительно, в случае а) эта пленка выделяется условием наличия двукратного цикла, а в случае б) —условием наличия петли сепаратрисы. Однако эти пленки существенно отличаются от пленок, соответствующих системам первой степени негрубости в любой пх окрестности существуют другие негрубые пленки как в случае а), так и в случае б)—это пленки, соответствующие сепаратрисе, идущей пз одного седла в другое седло. Можно показать, что в указанных случаях а) и б) пленка является недостижимой границей области, заполненной грубыми системами, т. е. не существует простой дуги, соединяющей сколь угодно близкую точку грубой области с указанной пленкой, не пересекающей других пленок. [c.183]

Отметим еще, что в случае, когда система (Вх) при Я = Яо является системой первой степени негрубости, смена качественных структур в окрестности негрубого особого элемента (типа I—IV) однозначно определяет смену качественных структур во всей области определения G системы (Вх). [c.185]

Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра. В случае, когда правые части динамической системы зависят более, чем от одного параметра, каждая из указанных в 2 последовательных смен качественных структур будет происходить при изменении параметров вдоль дуги, пересекающей в пространстве параметров негрубую п — 1-мерную пленку, точкам которой соответствуют системы первой степени негрубости с одним из негрубых особых элементов типов I—IV 2. [c.190]

Рассмотрим еще другой случай системы первой степени негрубости, именно случай, когда система (А/. ) имеет сложный фокус первого порядка, т. е. когда для рассматриваемой системы (Ах ) выполняются условия [c.191]

Точкам бифуркационной кривой а = О (т. е. значениям и для точек этой кривой) соответствуют системы (А .), у которых есть сложный фокус. Так как мы предположили, что бифуркационным кривым соответствуют системы первой степени негрубости, то при значениях и Я , соответствующих кривой а = = 0, Ь Ф 0. Обычно по знакам da /dXi и да /д%2 можно установить, с какой стороны от кривой о = О фокус устойчив, а с какой — неустойчив. Если можно установить знак Ь, то тогда мы можем различить, какая из смен качественных структур случая Па, или Пб, имеет место при пересечении бифуркационной кривой. [c.192]

Если на плоскости параметров Яь Х2 точки бифуркационной кривой 5 соответствуют системам первой степени негрубости, имеющим один из указанных в гл. 9 негрубых элементов, то при изменении параметров вдоль какой-нибудь дуги, пересекающей кривую 5, смена качественных структур будет одной из описанных в 2 (при изменении Я от Я < Яо к Я, > Яо). [c.193]

В то время как точки бифуркационных кривых, соответствующих системам первой степени негрубости, являются граничными для двух различных грубых областей пространства параметров, точки, соответствующие системам более высокой сте- [c.193]

Б. Для того чтобы динамическая система на цилиндре была системой первой степени негрубости, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (ср. гл. 9) [c.213]

Замечания по поводу других границ области устойчивости. Мы рассмотрели части границы области устойчивости в случае, когда эти части соответствуют негрубым состояниям равновесия. Очевидно, аналогично могут быть рассмотрены границы области устойчивости, соответствующие еще и другим системам первой степени негрубости ) именно в нумерации 6 гл. 9 3)—системе, имеющей двукратный предельный цикл [c.234]

Бутенина Н, Н. О возможности поворота векторного поля динамической системы на угол п с переходом лишь через системы первой степени негрубости Ц Межвузовский сб. Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика ,— Горький, 1974, [c.478]

Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости, происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных в грубых системах а) состояние равновесия седло-узел б) сложный фокус в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло (сепаратрисная петля) или в другое седло г) двойной предельный цикл. [c.313]

До сих пор мы рассматривали при том или другом определении расстояния между динамическими системами пространство всевозможных динамических систем. Однако в ряде вопросов представляет интерес рассмотрение относительной грубости, именно грубости по отношению к некоторому классу динамических систем, т. е. по отношению к некоторому подмножеству пространства динамических систем На или -Йд). Таким понятием относительной грубости мы воспользуемся при выделении простейших негрубых систем (см. следующую главу), так называемых систем первой степени негрубости, а также при классификации негрубых систем по степени сложности, или степени негрубости. Отметим, что с точки зрения такой классификации негрубых систем консервативные системы (см. гл. 7) являются системами бесконечной степени негрубости, другими словами, системами степени негрубости более высокой, чем любая конечная степень негрубости. Таким образом, в пространстве На (или Н 2) консервативные системы являются с точки зрения такой классификации чрезвычайно редкими системами. [c.150]

Понятие динамической системы первой степени негрубости, так же как и понятие грубости, может быть дано при более общих предположениях относительно правых частей. Однако, как и всюду, мы предполагаем правые части аналитическими ввиду того, что этот слут ай является наиболее интересным с точки зрения приложений. [c.155]

Определение III. Динамическая система А) называется системой первой степени негрубости в области G, если она не является грубой в G и еслп для всякого е > О найдется б > О такое, что, какую бы систему (А), негрубую в G и б-близкую до ранга 3 к системе (А), мы ни взяли, существует топологическое отображение обл асти G на себя, при котором траектории системы (А) и (А) отображаются друг в друга, и соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем б. [c.156]

Состояния равновесия, возможные в системе первой степенн негрубости. Сохраним обозначения [c.157]

Теорема 1. Если система (А) являетуя системой первой степени негрубости в замкнутой области О, то она не может иметь в О состояния равновесия, для которого А = О и а = 0. [c.157]

Теорема 6. Если система (А) является системой первой степени негрубости в О, то у нее не может существовать в О двух независимых особых траекторий первой степени негрубости. [c.160]

Теорема 7. Если система (А) является системой первой степени негрубости в области О, то в П не может быть-. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...