Динамическая система грубая

Локальные и нелокальные бифуркации. Обозначим через Х (М) банахово пространство С -гладких векторных полей с -топологией, r l, на С -гладком многообразии М, через 2 (Af)—множество векторных полей, порождающих структурно устойчивые (или грубые ) динамические системы. [c.87]

Определение ([6]). Динамическая система называется системой 1-й степени негрубости, если она не груба и существует такая ее окрестность, что каждая динамическая система из этой окрестности либо груба, либо орбитально топологически эквивалентна исходной, причем сопрягающий гомеоморфизм близок к тождественному. Векторное поле, порождающее систему 1-й степени негрубости, называется векторным полем 1-й степени негрубости. [c.103]

Так же как динамические системы в целом. Отдельные стационарные точки можно разделить на грубые и негрубые. В случае [c.34]

Раньше казалось, что негрубые системы в пространстве параметров динамической системы — это лишь граничные случаи между различными грубыми системами, т, е, поверхности коразмерности единица и больше. После работ С. Смейла стало ясно, [c.85]

Все вопросы алгебраического характера, с которыми приходится сталкиваться при расчетах динамических систем, грубо говоря, можно разделить на два класса уравнения с одним неизвестным, но высокой степени и системы уравнений со многими неизвестными, но первой степени. О задачах первого класса мы здесь не будем много говорить, поскольку почти вся вторая часть этой книги была посвящена этому вопросу. Вторая же проблема — решение систем полилинейных уравнений, как мы в дальнейшем будем их называть — была сознательно отложена нами до настояш,его момента по причинам, которые будут выяснены далее. [c.254]

Грубые (структурно устойчивые) системы можно рассматривать как наиболее простые, наиболее многочисленные динамические системы в соответствующем пространстве динамических систем. Действительно, грубые системы вьщеляются условиями типа неравенств, и поэтому их естественно рассматривать как наиболее общий случай. [c.141]

Можно провести далеко идущую аналогию между грубыми динамическими системами и функциями одной переменной, имеющими только простые корни, а также кривыми, не имеющими особенностей, рассматриваемыми в конечной части плоскости [63]. Эта аналогия является, в частности, весьма плодотворной для выработки эффективных методов качественного исследования. [c.141]

Фазовый портрет уравнения (4.4) изображен на ил. 1, при этом вместо О следует принять а. Динамическая система, заданная уравнением (4.4), относительно структурно устойчива (относительно груба) ио отношению к классу функций Ф (см. главу 3). [c.165]

Понятие индекса основано на понятии вращения векторного поля. Если на простой замкнутой кривой задано непрерывное векторное поле, то вращением этого поля вдоль кривой называется, грубо говоря, число полных оборотов, которое делает вектор поля при однократном обходе этой кривой в положительном направлении (точное определение дано в п. 2 6). Индекс Пуанкаре изолированного состояния равиовесия О динамической системы есть вращение векторного поля, определяемого этой системой, вдоль любой достаточно малой замкнутой кривой, содержащей точку О внутри себя. [c.205]

Необходимо сказать, что при переходе к динамическим системам в пространстве трех и большего числа измерений (и даже к динамическим системам на двумерных поверхностях, отличных от сферы) теория бифуркаций динамических систем чрезвычайно усложняется. Даже содержание понятия грубой системы делается значительно более сложным (см. [111]). Однако и в этом случае теория бифуркаций динамических систем,на плоскости все же остается некоторой основой, и для некоторых классов много- [c.9]

Дальнейшее внимательное рассмотрение вопроса о том, какие свойства следует ожидать у существенно неконсервативных динамических систем, соответствующих реальным физическим системам, если при этом изучаются те свойства реальных систем, которые описываются качественным характером траекторий (и если, конечно, соответствующая математическая модель — динамическая система — хорошо отображает свойства реальной системы), привело к понятию грубой динамической системы ). Точное определение грубых систем дано в 1 гл. 8 здесь же сделаем некоторые общие замечания. [c.130]

Высказанные соображения являются теми эвристическими соображениями, на основании которых представляется целесообразным выделение среди динамических систем второго порядка таких, у которых качественная структура разбиения на траектории не меняется при малых изменениях этих систем. Динамические системы, обладающие этими свойствами, называют грубыми. [c.131]

В гл. 8 дается точное определение грубой динамической системы и при этом уточняется смысл слов малые изменения динамической системы . [c.131]

ГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [c.138]

Определение грубой динамической системы. Мы будем предполагать, что у всех рассматриваемых динамических систем [c.138]

Понятие грубой динамической системы [3, 13, 26, 144] имеет смысл также и при значительно более общих предположениях относительно правых частей (см. [13] и 8 настоящей главы). [c.138]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 139 [c.139]

ГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 8 [c.140]

Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе. [c.141]

Пространство динамических систем. Всюду плотность грубых (двумерных) динамических систем. При изложении теории грубых систем весьма естественно и удобно ввести пространство динамических систем. Именно, рассмотрим всевозможные динамические системы, правые части которых определены в данной ограниченной замкнутой области G и являются в этой области аналитическими функциями х ж у. Введем пространство, точками которого являются такие динамические системы. Расстоянием между двумя точками этого пространства, т. е. между точками, соответствующими динамической системе (Ai) [c.147]

Если динамическая система (А), соответствующая точке М пространства Ra, является грубой, то и все точки некоторой окрестности точки М соответствуют грубым динамическим системам (с той же качественной структурой). [c.148]

Отсюда очевидно следует, что грубые динамические системы заполняют области пространства динамических систем. Однако можно доказать еще более сильное утверждение. Будем рассматривать в пространстве динамических систем всевозможные системы, как грубые, так и негрубые. Тогда справедлива следующая теорема [c.148]

В гл. 7 целесообразность введения понятия грубости динамической системы оправдывалась естественными соображениями, касающимися свойств динамических систем, описывающих реальные задачи. Однако в силу указанных свойств грубых систем это понятие естественно возникает также в силу внутренней математической необходимости ). [c.148]

Нетрудно убедиться, что и при данном здесь определении близости динамических систем при т>2 необходимые и достаточные условия грубости те же, что и сформулированные в 6, и, так же как и в случае пространства йд, грубые динамические системы заполняют области в соответствующем пространстве ). Справедливы также теоремы 13 и 14. [c.150]

Как уже было сказано, знание расположения этих особых траекторий (схема динамической системы) полностью определяет качественную структуру разбиения на траектории. В рассматриваемом случае грубых систем нужно знать число и характер состояний равновеспя, [c.151]

Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входяпшми в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс грубых динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1). [c.44]

На рис. 89 приведены результаты моделирования на типовые динамические воздействия. Из результатов моделирования следует, что системы с выключающимися связями обладают определенной чувствительностью к изменению спектрального состава динамических воздействий и к дополнительным переходным режимам, вызываемым выключением связей. Когда спектр динамического воздействия является одноэкстремальной функцией несущей частоты, существует достаточно широкий диапазон частот, в пределах которого указанными явлениями можно пренебречь. Это объясняется тем, что система является грубой по Андронову (структурно устойчивой) к изменению параметров и обладает свойством адаптации (в области динамической устойчивости [3]) к заданному классу динамических воздействий [64]. Если же соответствующий спектр является многоэкстремальной функцией (что особенно часто встречается на практике и, в частности, при обработке реальных акселерограмм сильных землетрясений), то динамические системы данного класса обладают значительно большей чувствительностью к скачкообразному изменению параметров (структуры). Во многих случаях это приводит к существенному сужению области или к потере динамической устойчивости. В этом случае целесообразно проводить исследование динамических систем с переменной структурой, учитывающих оба вида дислокаций (комбинированные СПС) хрупкое разрушение и пластические деформации материала. Излагаемая методика анализа позволяет непосредственно перейти к исследованию подобных систем. [c.309]

Итак, экспоненциальная расходимость близких траекторий у диссипативных систем связана с наличием в их фазовых пространствах гиперболических множеств. Свойственны ли они многим динамическим системам или, наоборот, являются исключением В последнем случае малое возмущение такой системы (скажем, всегда присутствующими в природе шумами ) лишало бы ее этого свойства. В связи с этим полезно использовать введенное Андроновым и Понтря-гиным (1937) понятие структурно устойчивой (или грубой ) системы, для (2.79) формулируемое следующим образом при любом е > О имеется такое б > О, что [c.127]

Если система груба по Андронову-Понтрягину, то она является грубой и по Пейксото. При этом необходимые и достаточные условия грубости по Андронову-Понтрягину совпадают с необходимыми и достаточными условиями грубости по Пейксото. Последнее определение имеет следующее преимущество непосредственно из этого определения вытекает тот факт, что грубые системы в пространстве динамических систем заполняют области. При первом же определении этот факт нужно доказывать, опираясь на необходимые и достаточные условия грубости. [c.145]

Книга является, с одной стороны, законченным целым, а с другой, может рассматриваться как реализация первого тома задуманной А. А. Андроновым монографии по динамическим системам второго порядка и их приложениям. В эту монографию кроме материала, содержащегося в настоящей книге, должны были войти теория грубых динамических систем, работы А. А. Андронова по теорип бифуркаций динамических систем и приложения методов теории бифуркации к различным задачам теории колебаний. [c.9]

ТОГО же характера, что и у системы (А), п в е-окрестности каждого предельного цикла — один и только один предельный цикл того же характера, что и у системы (А), и т. д. Но это, очевидно, накладывает определенное ограничение на возможные у грубых систем состояния равновесия и замкнутые траектории ), а также на поведение сепаратрис седел. Подчеркнем, что ограничения, которые требование грубости накладывает на рассматриваемые динамические системы, таковы, что они выделяют общий случай. Другими словами, всякая наперед заданная дннамп-ческая система, вообще говоря, является грубой, в то время как негрубые системы являются исключительными системами (см. 10). [c.141]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Определение II (грубости динамической системы без е-тождественности). Система (А) является грубой в области G (ограниченной циклом без контакта), если существует такое 0>0, что всякая динамическая система (А), б-близкая к (А), имеет в области G ту же качественную структуру, что и система (А), [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...