Сфероиды Маклорена

Лёгкое смешение понятий. Ранее под сфероидом понимали только фигуру, близкую к сфере, такой именно сфероид и имел ввиду Ньютон, говоря о форме Земли. Сейчас под сжатым сфероидом понимают любую из серии фигур от диска до сферы. Заслугой Клеро и Маклорена как раз и является то, что они открыли целую последовательность фигур относительного равновесия, называемых ныне сфероидами Маклорена. — Прим. ред. [c.14]

Первый член ряда Якоби является одновременно и сфероидом Маклорена идя далее вдоль последовательности, для больших значений углового момента экваториальные оси фигуры будут иметь уже разную длину, и фигура в целом будет вытягиваться. При стремящемся к бесконечности моменте вращения предельная фигура данного ряда неограниченно вытягивается одновременно средняя ось эллипсоида стремится к равенству с третьей, наименьшей осью, причём обе они приближаются к нулю. [c.15]

Для того чтобы установить существование сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби как возможных форм равновесия, в первую очередь нам потребуется выражение для гравитационного потенциала таких фигур во внутренних точках. Рассмотрим эллипсоид, главные оси которого совпадают с осями координат его уравнение [c.64]

Таблица I даёт ряд значений некоторых величин для сфероидов Маклорена. [c.70]

Таблица I. Сфероиды Маклорена.

Это уравнение выполняется, как и следовало ожидать, когда к имеет значение (17). Следовательно, при таком со сфероиды Маклорена действительно являются формами равновесия. Чтобы изучить их устойчивость, имеем [c.76]

Рис. 11. График зависимости Н от е для сфероидов Маклорена

Важно отметить, что мы рассматриваем систему с тремя неравными осями, поэтому для её задания нужны две координаты. Если начать со сфероидов Маклорена, то мы ограничены случаем а = Ь, требующим только одну координату, а эллипсоиды Якоби вообще себя не обнаруживают. Именно по этой причине для форм Маклорена в таблице I нет максимального или критического значения углового момента, соответствующего точке В. С другой стороны, для ряда Якоби величина Н в точке В имеет критическое значение. Очевидно, сфероиды можно рассматривать как специальный случай эллипсоидальных форм, так что существует два ряда эллипсоидальных форм, пересекающихся в точке В, — это ряды Маклорена и Якоби. Но к сфероидальным формам относится лишь один из них. [c.79]

Отсюда можно сделать вывод, что для е < 0,8127 сфероиды Маклорена обладают вековой устойчивостью относительно эллипсоидальных смещений данного типа, хотя это отнюдь не позво.пяет нам ещё предположить, что они устойчивы при общих деформациях. С другой стороны, вековая неустойчивость сфероидов при е > 0,8127, как было установлено в вышеописанном доказательстве, означает, что вне этого предела их можно считать физически неустойчивыми. Это означает, что они не могли бы появиться в результате эволюционного процесса при возрастании углового момента. Позже будет показано, что сфероиды обладают вековой устойчивостью при всех смещениях, если е < 0,8127. [c.84]

Первыми это важное свойство сфероидов Маклорена доказали Риман и А. М. Ляпунов. — Прим. ред. [c.84]

Вековая устойчивость сфероидов Маклорена [c.147]

Определение вековой устойчивости для всех малых смеш,епий подразумевает нахождение точек бифуркации на последовательности сфероидов Маклорена. Можно рассматривать этот ряд как начинающийся от сферы, которая, как уже было показано, является вполне устойчивой, и развивающийся затем в направлении возрастания углового момента. Тогда обращение в нуль коэффициента устойчивости требует [c.147]

Что касается сфероидов Маклорена, то вышеописанные пункты (I), (II) и (III) охватывают все возможные случаи. Перед тем как двигаться дальше, для удобства подытожим результаты предыдущих разделов о числе корней уравнения Fi X + a ) = О, лежащих между —( и сю. [c.155]

Деформация смешанной гармоникой ху приводит только к повороту вокруг ОСИ 2 . Поэтому она заведомо никак не может отразиться на осесимметричной фигуре сфероида Маклорена. — Прим. ред. [c.160]

Сфероиды Маклорена за первой формой бифуркации [c.162]

Автор хочет здесь сказать (но выражает свою мысль расплывчато и нечётко), что в действительности в природе из множества всех типов бифуркаций реализуется только та, которая связана с превращением сфероида Маклорена в эллипсоид Якоби. — Прим. ред. [c.162]

ЧТО массы тМ и (1 — т)М в форме сфероидов Маклорена с = [c.218]

Проникнуть в тайну бифуркации критического сфероида Маклорена в эллипсоид Якоби поможет статья [c.235]

Последовательность сфероидов Маклорена, 14, 16, 18, 20, 27, 64 [c.238]

С мемуаром Лагранжа О притяжении эллиптических сфероидов (1773) и Приложением к этому мемуару мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного). [c.152]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Данная задача принадлежит к тем разделам астрономии и гидродинамики, начало которым было положено открытием закона всемирного тяготения. Именно тогда стало возможным объяснять не только движение планет и спутников, но также и саму форму небесных тел. С той поры немало крупных ученых-математиков внесли свой вклад в развитие теории фигур равновесия. Имена Клеро, Маклорена, Якоби и Лиувилля говорят сами за себя. Но наиболее весомый вклад принадлежит А. Пуанкаре и нашему соотечественнику А. М. Ляпунову. В 1884-85 годы они независимо друг от друга установили, что в окрестности определенных сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, но все же счетное ) существуют неизвестные науке неэллипсоидальные фигуры равновесия. Научный мир с изумлением взирал на эти открытия. И если можно (а почему бы и нет ) сравнить новые фигуры с драгоценными кристаллами, то шахта для их добычи оказалась круто уходящей вниз, где на большой глубине могут работать лишь сильные разумом и духом исследователи. И именно отсюда, с этой глубины берут свое начало такие отрасли математики, как теория нелинейных интегральных уравнений, теория бифуркаций, здесь же возникло само понятие линейных рядов фигур равновесия. [c.9]

Книга состоит из Введения и девяти глав. В ней подробно разбираются равновесные свойства классических сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби, а также трудные и сложные вопросы их устойчивости. Особенно тщательно разбираются свойства функций и произведений Ламэ. Столь тщательного изложения гармонического анализа и его приложений к гравитирующим эллипсоидам не встретить [c.10]

Это уравнение устанавливает связь между осями любых эллипсоидальных форм. Очевидно, что этому уравнению можно удовлетворить двумя способами либо мы берем а = Ь, тогда первый множитель обра-ш,ается в нуль, либо, допуская, что а ф Ъ (хотя, фактически, это так и есть), мы обраш,аем в нуль интегральный множитель. Первое решение относится к сфероидам Маклорена, а последнее — к эллипсоидам Якоби. Рассмотрим по очереди обе эти фигуры. [c.69]

Случай (I). Если Н < 0,304л/СМЗ/2у/ = Не, то из таблиц I и II можно увидеть, что существует только одна возможная форма равновесия — сфероид Маклорена. Отсюда критическое значение /(а, Ь) [c.82]

Если сделать обоснованное предположение, что у1ловая скорость данных компонентов является такой же, как и у критического эллипсоида, а отдельные части имеют форму сфероидов Маклорена, то интерполяцией из таблицы I (стр. 71) легко находим, что при е = 0,71 потенциальная и кинетическая энергии массы тМ даются выражениями [c.217]

К стр. 16. Процесс деформации критического сфероида Маклорена в эллипсоид Якоби методом прямого интегрирования уравнения Павье-Стокса изучался в работе [1]. Особый интерес здесь представляют нестационарные промежуточные конфигурации в виде -эллипсоидов Римапа с внутренними течениями. [c.225]

Обратим также внимание на то, что хотя рассматриваемый пример Литтлтона выглядит весьма искусственным, ему всё же можно придать физический смысл, если предположить, что сам сфероид Маклорена окружён газовой оболочкой (ситуация, вполне возможная с астрофизической точки зрения ). Если эта внешняя атмосфера вращается с угловой скоростью LU и, при подходящем внутреннем строении, не возмущает условий равновесия самого сфероида, тогда угловую скорость внешней оболочки действительно можно принять за параметр эволюции сфероида Маклорена. [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...