Уравнения нормали к кривой

Уравнение нормали к кривой в той же точке [c.16]

Мы получили очень простой способ геометрического построения нормали к кривой D, задаваемой уравнением (11). [c.36]

Катящийся колесный стан железнодорожного вагона представляет собой гироскоп, момент импульса которого при быстром движении поезда может стать весьма значительным. Для того, чтобы при прохождении поезда по криволинейному пути отклонять упомянутый момент в положение, отвечающее нормали к кривой, необходим, согласно уравнению (27.1), вращающий момент М, направленный в сторону движения поезда. Так как такого момента М нет, то в качестве гироскопического эффекта возникает противоположный момент, прижимающий колесный стан к наружному рельсу и отрывающий его от внутреннего рельса. Этот момент складывается с моментом центробежной силы относительно направления движения поезда (для уменьшения влияния центробежного момента придают наружному рельсу при укладке пути некоторое превышение над внутренним). Оба момента пропорциональны mv(jj где V — скорость движения поезда, uj — угловая скорость на кривой величина т в нашем случае является массой колесного стана, приведенной к окружностям колес, а в выражении центробежной силы — общей массой вагона, приходящейся на колесный стан. Таким образом, рассматриваемый гироскопический момент очень мал по сравнению с моментом центробежной силы его можно было бы учесть незначительным дополнительным превышением наружного рельса над внутренним. [c.207]

В приведенном выше анализе, для того чтобы представить силы Р, Q, R,. . . , которые надо было привести к другим силам, я взял просто первые функции одной и той же произвольной функции f(p,q,r,...) радиусов-векторов р, q, г, .. . , вдоль которых силы направлены это только прием, с помощью которого можно тотчас же определить направление равнодействующей силы при посредстве направления нормали к кривой поверхности, которая получается, если взять уравнение [c.532]

Уравнения (2.76) и (2.80) составляют систему уравнений относительно а, т. Если условие текучести (2.76) представляет собой замкнутую кривую на плоскости ст, т, то эта система всегда имеет решение. Если эта кривая не замкнута, как, например, при коническом условии текучести, то решение существует не при всяких а. Ограничения на а нетрудно получить, если учесть, что отношение ri/e представляет собой тангенс угла наклона нормали к кривой (2.76) к оси а. [c.73]

Полученное уравнение является уравнением нормали к профилю зуба фрезы, проходящей через центр заменяющей окружности (хо, г/о)-Поэтому максимальные отклонения профиля заменяющей окружности от теоретической кривой расположены на нормалях к теоретическому профилю и к заменяющей окружности, т. е. на нормалях, проходящих через центр заменяющей окружности (xq, г/о). [c.820]

Так как os б и sin б суть направляющие косинусы нормали к кривой 4 относительно осей х к у, то криволинейный интеграл в написанных уравнениях можно преобразовать в двойной. Мы получим после этого И5 [c.477]

Действительно, пусть необходимо иайти в то ке О кривизну плоской кривой, заданной уравнением г = г ( ). Совместим с этой точкой начало координат и направим ось вдоль касательной, а ось г по нормали к кривой в точке О, Из курса анализа известно выражение для кривизны кривой [c.15]

Случай несвободного движения. При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа заданных (активных) сил FI и работа реакции связи. Ограничимся рассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишенной трения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см. рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и N =0. Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки будет равна нулю, и из уравнения (52) получим [c.214]

Составим другим способом дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности Р (рис. 190). Пусть аа — отрезок траектории точки М, т — единичный вектор касательной к траектории в точке Л]. Проведем через точку М элемент геодезической кривой ЬЬ поверхности Р, касающейся орта т. Здесь мы воспользуемся известным из дифференциальной геометрии определением геодезических кривых поверхности, согласно которому главные нормали к геодезическим линиям во всех ее точках совпадают с нормалями к поверхности ). Это свойство соответствует определению геодезических кривых, приведенному выше, в 210 [c.425]

Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной идеально гладкой плоской неподвижной кривой. Пусть на движущуюся точку действует активная сила лежащая с этой линией в одной плоскости. Тогда, кроме силы Р , к точке будет приложена еще реакция связи N, направленная по нормали к данной линии и лежащая с ней в одной плоскости. В этом случае уравнения (10) примут следующий вид [c.483]

Уравнения газовой динамики в координатах Мизеса. При решении задач газовой динамики, особенно внутренних и струйных, удобными оказываются координаты Мизеса декартова координата х и функция тока if. Введем криволинейную ортогональную систему координат, связанную с кривой y=fa(x), расположенной в плоскости х, у (рис. 2.1). Координаты точки в этой системе определяются длиной дуги s и расстоянием по нормали к этой кривой г. Из геометрических соображений (рис. 2.1) следует, что декартовы координаты х, у связаны с криволинейными координатами 5, г следующими отношениями [c.37]

Можно также отнести движение частицы к осям естественного трёхгранника, т. е. к подвижным осям, имеющим начало в движущейся частице и направленным по касательной От к кривой, по её главной нормали Ov и по бинормали О р. Тогда, сопоставляя уравнения (15.6) на стр. 139 с уравнением движения (22.2) настоящего параграфа, найдём [c.211]

Нормалью к кривой в точке М называется прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная к касательной в этой точке. Уравнение нормали имеет вид [c.210]

При использовании полученных уравнений следует помнить, что кривизна кривой может иметь знак плюс или минус. Положительным направлением для линии тока считается направление скорости потока. Положительное направление нормали к линии тока получается поворотом вектора скорости на 4-90°- Кривизна линии тока положительна, если центр кривизны лежит на положительной нормали. Другими словами, линия тока имеет положительную кривизну, если она обращена вогнутостью в сторону положительного направления нормали (как на рис. 4.20). Для линий, ортогональных линиям тока, положительная нормаль определяется направлением вектора скорости, а знак кривизны находится по тому же правилу. [c.94]

Пусть Г —контур срединной поверхности оболочки, заданный параметрическими уравнениями а = а (I), в которых s — длина дуги Г до деформации. С кривой Г связываем тройку взаимно ортогональных векторов касательной и тангенциальной нормали к Г и нормали к срединной поверхности. Их обозначаем соответственно г, и, п до деформации и Гт, г, , п после деформации. Если г = г(I) — векторное уравнение Г в отсчетной конфигурации, то [c.321]

Для того, чтобы подсчитать возможные значения производных Rt и на I, будем дифференцировать уравнение (1.1) по направлению нормали п к кривой I [c.323]

Для исследования интегральных кривых и характеристических скоростей при 5 О на фазовой плоскости введем вспомогательную систему координат г/ьУг- Это декартова система с началом координат в заданной точке г, в, у которой оси направлены по радиусу-вектору и нормали к нему. В этих переменных уравнения (9.4) сохранят свой вид, если по-прежнему [c.368]

Граничные условия. Система упругого усилия и момента, отнесенных к какой-нибудь кривой на средней поверхности, может быть определена способом, указанным в 297, но нужно принять во внимание еще кривизну поверхности. Рассматривая кривую 5 как многоугольник с большим числом сторон, мы заменим пару НЬз, действующую на какую-нибудь сторону 35, двумя силами Н, приложенными на концах этой стороны и направленными в противоположные стороны по нормали к средней поверхности то же самое сделаем с парами, действующими на примыкающие стороны. Пусть будет Р РР" малая дуга кривой 5, а каждая из дуг РР, РР" имеет длину 5 мы получим в результате указанной операции в точке Р определенную по величине и направлению силу. Силы в точках Р и Р", получившиеся от пары, действующей на дугу РР", равны Н, их направления параллельны нормали в точке Я, и, кроме того, сила в точке Р направлена в сторону отрицательной нормали. Силы в точке Я и Я получаются от пары, действующей на дугу Р Р каждая из них равна Н — ЬН и параллельна нормали в Р причем сила в Р обращена в сторону положительной нормали. Пусть будут главные радиусы кривизны деформированной средней поверхности в точке Р. Уравнение этой поверхно 36 [c.563]

Запишем первоначально основные уравнения задачи в криволинейной системе координат, которую будем связывать с кривой у=[о з) в плоскости дг, у (рис. 1.1). Координаты точки в этой системе определяются длиной дуги 5, расстоянием по нормали к этой [c.18]

Начнем с примера рассмотрим расстояние от точки евклидовой плоскости до данной кривой например, от точки, лежащей во внутренности эллипса до границы этого эллипса (рис. 1). Соответствующие лучи (экстремали этой вариационной задачи) суть нормали к эллипсу. Минимальное значение функционала (расстояния) удовлетворяет как функция начальной точки уравнению Гамильтона-Якоби (Уг1) = 1 (в точках гладкости). Однако эта функция имеет особенности (на отрезке, соединяющем фокальные точки эллипса). Система лучей также имеет особенности. Они лежат на астроиде, являющейся огибающей системы нормалей к эллипсу. Огибающая системы экстремалей называется каустикой системы. Каустика нашей системы имеет четыре точки возврата. Эти особенности устойчивы любая кривая, достаточно близкая к эллипсу, имеет каустику, близкую к астроиде и имеющую четыре полукубические точки возврата. [c.1]

Когда меридианная кривая асферической поверхности задается одним из уравнений (IX.21), (IX.22), расчет хода лучей становится настолько трудоемким, что лишь использование ЭВМ. позволяет получить результат в достаточно короткий срок. Этот расчет так же как в случае расчета хода лучей через сферические поверхности, производится в два этапа для каждой поверхности 1) определение точки пересечения падающего луча с поверхностью по координатам этого луча и уравнению поверхности 2) определение координат преломленного (отраженного) луча по координатам падающего луча и нормали к поверхности в точке пересечения луча с поверхностью. [c.531]

По углам ир и и р можно найти положение нормали к неизвестной кривой. Для этого из уравнения = + — 1,8 котором для краткости опущены значки, получаем 1 = 1 — ( — ) [c.561]

Переходим к рассмотрению вопроса об определении реакций в кинематических парах групп, в состав которых входят высшие пары. Из уравнения (13.1) следует, что статическая определимость этих групп удовлетворяется, если, например, число звеньев п равно п = , число пар V класса равно = 1 и число р4 пар IV класса также равно р4 = 1. Эта группа показана на рис. 13.10, а. Звено 2 входит во вращательную пару В со звеном /ив высшую пару Е со звеном 4, выполненную в виде двух соприкасающихся кривых р — р я q — q. Находим на нормали п — п, проведенной через точку Е, центры кривизны С и D соприкасающихся кривых р — р а q — q а вводим заменяющее звено 3. Тогда имеем группу П класса B D первого вида, аналогичную группе, показанной на рис. 13.6, а. Пусть звено 2 нагружено силой Fa и парой с моментом М3 (рис. 13.10, а). Реакция F31 может быть представлена как сумма двух составляющих [c.256]

Несвободное движение материальной точки. Дана кривая, по которой движется точка. Силы, действующие на точку, в этом случае делятся на активные силы и реакцию кривой. Точка оказывает давление ка кривую, и кривая действует, на точку равной и противоположно направленной реакцией. Если кривая абсолютно гладкая, то реакция будет направлена по нормали к кривой. Если между кривой и точкой возникает трение, то реакция кривой разбивается на две составляющие - нормальную реакцию N и силу трения, равную fN и направленную по касательной к кривой в сторону, противоположную направлению скорости точки, Коэффждаент / является коэффициентом трения скольжения в начале движения. При решении задач на движение точки по кривой целесообразно применять естественные уравнения движения точки [c.49]

Условйе (2.28) имеет простую геометрическую интерпретацию. На плоскости ст, т отношение Ф /Фд равно тангенсу угла Ф наклона нормали к кривой текучести к оси а (рис. 13), т. е. Фт/Фo = tgф. Неравенство (2.28) показывает, что система уравнений плоского течения имеет два свойства характеристик, если напряженное состояние соответствует тем точкам кривой [c.53]

Из уравнения (59) следует, что нормали к кривым семейства Ф = onst и t = onst взаимно перпендикулярны, а, следовательно, семейства этих кривых пересекаются ортогонально. [c.287]

Уравнения равновесия нити на гладкой поверхности в проекциях на местные оси. Пусть дуга AAi представляет собой участок нити, находящийся в рав-полесип на гладкой новерхностн. Чоре.з начальную точку А проводим осп /1т и Ап — касательную к нити и нормаль к поверхности в точке А. Отрезок АО на нормали к поверхности пусть определяет радиус кривизны R сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности и касательную к нити. Радиус кривизны р самой кривой АЛ изображается отрезком АС главной нормали п кривой. Угол ме кду направлениями АС и АО обозначается б-(рпс. 25.4) по теореме Менье пз курса дпффереициальпой геометрии [c.437]

Воспользуемся теперь тем, что ось 2 совпадает с общей касательной к кривым . и / в точке / в этих условиях при элементарном движении от этого момента I до бесконечно близкого момента t- dt полюс I смещается вдоль этой именно оси поэтому Б этот момент должно обращаться такл е в нуль элементарное наращение координаты гц. а вместе с тем в момент I должна обращаться в нуль и производная Если теперь иро-диференцнруем второе из уравнений (23) по времени и отнесем его к тому же моменту 1, то убедимся, что в этот момент также а = 0. Из всего этого следует, что во всякий момент, в который скорость врагорния отлична от нуля, ускорение полюса направлено по обшей нормали к полярным, траекториям. [c.269]

Ударная поляра — это кривая, представляющая собой геометрическое место точек — концов векторов скорости— за скачками уплотнения различной интенсивности (и формы). Каждая ударная поляра строится для определенной заданной скорости набегающего потока. Обратимся к предельным значениям V2 по уравнению (5.27). Легко видеть, что V2—0 при Ui= i и 2 i= . Первый случай соответствует бесскачковому процессу косой скачок уплотнения переходит в волну слабого возмущения (характеристику). Касательные к гипоциссоиде в точке Q расположены под углом ai=ar sin (1/Mi) к нормали, проведенной через точку Q. Значение ai фиксируется также проведением нормали к касательной из начала координат. Заметим, что точка Q является одновременно точкой диаграммы характеристик и ударная поляра здесь переходит в эпициклоиду. Угол косого скачка р, отвечающего точке Е , определяется проведением секущей Qfj и нормали к ней из точки О. Второй случай (u2 i= ) характеризует переход косого скачка в прямой, угол которого р=90°. Этот случай на гипоциссоиде характеризует точка Р. [c.129]

Пусть ось (линия центров сечений) стержня располагается в данный момент по некоторой плоской кривой. Введем в рассмотрение базисные ортонорми-рованные векторы элемента стержня Э и Э , направленные по касательной и нормали к его оси. Для вывода уравнений бифуркации нулевого порядка БО мы должны предположить, что эл менФ стержня в побочном состоянии сместился и повернулся в своей , р [c.65]

Пусть край конической оболочки не совпадает с линией кривизны и в системе координат 5, введенной в 7.1, задается уравнением ((р). В окрестности края введем ортогональную систему параллельных координат 5 , (см. 136, ч. 2, с. 65]), где кривая совпадает с краем оболочки, (р = onst — геодезические нормали к краю, (р — значение (р на краю, Rs — расстояние до края, измеренное по геодезической нормали (см. рис. 8.1). Пусть х < тг/2, т. е. образующие нигде не касаются края. [c.155]

Уравнения (2.20) — (2.23) приведены для оболочек, у которых отношение толщины к радиусу кривизны срединной по-перхности достаточно мало. Учет изменения компонент метрического тензора по нормали к срединной поверхности позволяет исследовать оболочки с любым значением отношения 2hjR. На рис. 2.37 построены эпюры физических компонент а тензора напряжений по толщине цилиндрической оболочки с параметром 2h/R= 1110. Кривые 1 соответствуют случаю k/E — = 0,5-10- м, кривые 2 построены для оболочки с параметром R/E = 0,5- 0-< м, кривые 3 — для случая / = 0,5-10 м. [c.97]

Случай 2. Положим, что после перехода осн кольца в кривую двоякой кривизны вектор интенсивности нагрузки Р, направлен по главной нормали к искривленной оси кольца, т. е. совпадает с направлением оси х (фиг. 653). Очевидно, что в этом случае проекция вектора Р на бинормаль (ось у) обращается в ноль. Тогда дифференциальное уравнение (210) для углового перемещения т принимает следуюпхий вид [c.915]

Кривая в i описывается параметрическим уравнением вида X = X ( ) и векторы dX k)ldk касательны к кривой. На всякой поверхности уровня F (X) = С скорость изменения функции F (X) вдоль любой кривой на этой поверхности dF/dX = О = = g-dXldk это значит, что g направлено по нормали к поверхности уровня. Далее, если dX произвольно и образуете градиентом g угол 9, то dF = g II II dX os 9. Следовательно, в направлении градиента (9 = 0) скорость изменения функции F (X) максимальна. [c.296]

Можно показать, что уравнение ( ) принадлежит к гиперболическому типу. Нормали к характеристическим поверхностям образуют конус с углом полураствора тг/4 и осью, орпентпрованной вдоль вектора п. Характеристические поверхности являются также и поверхностями максимального касательного напряжения (поверхностями скольжения). Характеристическими являются не только поверхности скольжения, но и интегральные новерхности ноля п (т.е. новерхности, составленные из интегральных кривых ноля п). [c.109]

В ОЬЩЕМ ВИДЕ УРАВНЕНИЯ СООТВЕТСТВЕННО КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ В ВИДЕ ДЛГ, ) = О, В НЕКОТОРОЙ ТОЧКЕ (ЛГо, Го) (РИС. [c.104]

Однако при движении точки по заданной плоской линии удобнее проектировать векторы уравнения (23.2) не на оси декартовых координат, а на естестве[[ные координатные оси, т. е. на направления касательной и нормали траектории, лежащих в плоскости кривой хОу. При этом касательную направляют в сторону возрастания другой координаты s = OiM, отсчитанной от произвольно выб-ран-ного начала отсчета Оь а нормаль направляют к центру кривизны траектории. [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...