Спектр гармонического осциллятора

Спектр гармонического осциллятора [c.125]

Такие данные могут быть получены с помощью анализа инфракрасных и рамановских спектров. Согласно уравнению (2-32), собственная частота гармонического осциллятора характеризуется выражением [c.124]

Выше было показано, что температуры положительны при условии ( О( )/й )>0, т. е. число возможных состояний всегда возрастает с энергией. Это справедливо для свободных частиц или гармонического осциллятора таким образом, жидкости и кристаллические решетки, всегда имеют положительные температуры. Однако существуют некоторые весьма специфические системы, в которых имеется верхний предел спектра энергетических состояний. Если частицы в этих состояниях находятся в тепловом равновесии друг с другом и одновременно термически изолированы от состояний, не имеющих верхнего энергетического предела, то они могут вести себя так, как если бы они обладали отрицательными температурами. Поскольку выше предельного уровня нет других энергетических уровней, при возрастании внутренней энергии системы достигается такое состояние, когда все уровни одинаково заселены. Согласно статистической механике, это мо- [c.24]

В этой схеме наличие в спектре нескольких полос поглощения, возле которых резко изменяется ход показателя преломления, потребует допущения о наличии нескольких групп различных гармонических осцилляторов. Воздержимся от этого предположения и связанного с ним усложнения исходных формул см. (4.12)]. Будем считать, что все гармонические осцилляторы идентичны, т.е. имеют одну собственную частоту колебания соо- [c.139]

Рис. 33.5. Потенциальные кривые, уровни энергии и схематические спектры гармонического (<з) и ангармонического (б) осцилляторов

Рассмотрим происхождение ИК-спектра поглощения и СКР, основываясь на модели гармонического осциллятора двухатомной молекулы. Теория может быть применена также для какого-либо нормального колебания многоатомной молекулы, совершаемого по гармоническому закону. [c.102]

Инфракрасный спектр поглощения. Гармоническому осциллятору соответствует система равноотстоящих энергетических уровней (рис. 41). В случае поглощения света молекула будет переходить из одного энергетического состояния в другое, обладающее большей энергией. При этом согласно правилам отбора (Ао = 1) колебательное квантовое число V будет изменяться на единицу, а [c.102]

Найти спектр энергий изотропного гармонического осциллятора, гамильтониан которого [c.185]

Вращательно-колебательные спектры. В гармоническом приближении правило отбора для переходов между колебательными состояниями дается правилом отбора для гармонического осциллятора Аи = +1 [см. (27.28)]. Для ангармонического осциллятора правила отбора имеют вид Аи = = I, 2, однако вероятность переходов с увеличением Аи сильно уменьшается, в результате чего переходы с Аи = 1 возникают наиболее часто и являются обычно доминирующими. [c.322]

Для того чтобы теоретически определить возможные стационарные энергетические состояния системы частиц (атома, молекулы или их ионов), а затем по ним рассчитать спектры или термодинамические функции, необходимо составить оператор Гамильтона Я и решить уравнение Шредингера (3.5). При этом должны одновременно получаться не только собственные значения полной энергии системы Е = Е, Е2, Ез. .. Ek, но и соответствующие им собственные волновые функции il) = l3i, vp2, определяющие возможные стационарные варианты распределения частиц (электронов и ядер) в пространстве, т. е. электронную и ядерную плотность в атомах и молекулах. Однако точно в аналитическом виде уравнение Шредингера (3.5) решается только для одноэлектронной системы атома водорода и некоторых простейших модельных систем, например, гармонического осциллятора, жесткого ротатора и немногих других. Поэтому обычно квантовомеханические уравнения для реальных систем реша- [c.18]

Еще одна гипотеза необходима для установления значений энергии е разрешенных состояний осциллятора. По предположению Планка, гармонический осциллятор имеет эквидистантный энергетический спектр, так что энергия е в состоянии с номером п составляет целое кратное наименьшей порции энергии ео Е = пео, [c.429]

В настоящее время теоретические модели вещества позволяют проводить расчет уравнений состояния лишь в ограниченных областях фазовой диаграммы. Наиболее разработаны простые модели твердого тела, основанные на квазигармоническом приближении, в рамках которого кристалл представляет собой совокупность независимых гармонических осцилляторов. Основная задача при этом состоит в определении конкретного распределения частот в спектре колебаний данного твердого тела. Реальный вид этого распределения достаточно сложен, поэтому часто используются модельные представления. Наибольшее распространение получила теория Дебая [10], которая достаточно хорошо описывает тепловые свойства твердых тел во всем температурном диапазоне. Из дебаевской модели следует, в частности, калорическое уравнение состояния в форме Ми —Грюнайзена [c.29]

Рассмотрим вопрос о влиянии гироскопических сил на спектр собственных частот на примере системы с двумя степенями свободы. Пусть система состоит из двух гармонических осцилляторов, связанных между собою лишь гироскопическими силами взаимодействия. Напишем уравнения движения такой системы [c.254]

Собственные функции. Собственные функции / (Е,) уравнения (2,44) являются обычными собственными функциями гармонического осциллятора, показанными пунктирными кривыми на фиг. 29 (тождественной с фнг. 41 книги Молекулярные спектры I), абсциссы которых с точностью до постоянного множителя дают значения координаты Аналитически собственная функция выражается следующим образом [c.91]

До настоящего времени все вычисления изотопического эффекта были основаны на приближении гармонического осциллятора, т. е. на строго квадратичной потенциальной функции. Поэтому следует ожидать, что все формулы, рассматриваемые ниже, будут строго верны только для нулевых частот Ш [см. уравнения (2,271) и (2,281)]. К сожалению, значения ш,- были вычислены на основе полного анализа инфракрасных и комбинационных спектров только в очень немногих случаях. Однако постоянные ангармоничности Х1 обычно малы, и поэтому наблюденные значения V,- дают хорошее приближение к (О,-, и, следовательно, все соотношения для частот изотопических молекул будут верны, по крайней мере, как некоторое приближение. [c.247]

Так как при малых амплитудах колебания многоатомных молекул могут рассматриваться как наложение гармонических колебаний, то в данном случае приложимы результаты, полученные для двухатомных молекул, при использовании аппроксимации гармонических осцилляторов (см. Молекулярные спектры I, гл. III, 1). Поэтому как для инфракрасных, так и для комбинационных спектров для каждого нормального колебания V справедливо правило отбора [c.270]

Гармонический осциллятор 80 кинетическая и потенциальная энергия 85 собственные функции 91, 92, 115 уровни энергии 90 Геометрическое строение из вращательно-колебательных спектров [c.600]

Примеры. Хорошим примером изотопных сдвигов в спектрах линейных симметричных молекул Х г является спектр ВОг, небольшая часть которого воспроизведена на фиг. 78. Наряду с основными полосами, обусловленными молекулами ВОг, наблюдаются более слабые полосы молекулы ВОг- В приближении гармонического осциллятора для симметричного колебания Vi не должно быть изотопного эффекта, а для колебаний V2 и Vj коэффициент р может быть получен из выражения [c.182]

Для того чтобы последующие рассуждения были более ясны, рассмотрим в качестве примера колебательные возбуждения кристаллической решетки. До тех пор, пока колебания являются малыми, решетку можно рассматривать как совокупность связанных гармонических осцилляторов. Введя нормальные координаты, мы получим систему ЗМ (М — число атомов) линейных осцилляторов с собственными частотами ш,. Согласно квантовой механике, энергетический спектр [c.11]

Хорошо известно, что движение кристаллической решетки, когда каждый атом колеблется около своего положения равновесия, можно разложить на нормальные колебания, каждое из которых обычно представляет собой волну, распространяющуюся в решетке. С этой точки зрения рассматриваемая система представляет собой просто совокупность гармонических осцилляторов, причем каждому нормальному колебанию соответствует один осциллятор. Если подчинить канонические переменные квантовым правилам перестановки, то получится хорошо известный энергетический спектр системы гармонических осцилляторов. Эти элементарные порции возбуждения решетки называются фононами. Фононы подчиняются статистике Бозе и представляют собой, по-видимому, наипростейший тип элементарных возбуждений в твердых телах. [c.20]

При вычислении спектра колебаний системы N атомов мы ввели ЗМ независимых гармонических осцилляторов, соответствующих ЗN модам колебаний системы. При конечных значениях температуры эти моды возбуждаются термически и полная энергия колебаний совпадает с тепловой энергией. Если система подчиняется классическим законам, то следует ожидать, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия КТ. Поэтому теплоемкость, равная производной тепловой энергии по температуре, не зависит от частот осцилляторов и равна [c.422]

Вернемся к задаче об излучении, используя для описания решетки и излучающего ядра методы квантовой механики. Для определенности допустим, хотя результаты и не зависят от этого предположения, что спектр колебаний совпадает со спектром колебаний идеального кристалла. Соотношение (4.39) выражает гамильтониан решетки в виде суммы гамильтонианов гармонических осцилляторов [c.477]

Теорема. Гармонический осциллятор обладает лишь дискретным спектром Еп = + 1/2), т.е. расстояния между двумя ближайшими уровнями одинаковы и равны Нш. [c.126]

В более общем (и более реальном) случае может быть рассмотрена система, состоящая из большого числа таких осцилляторов, связанных друг с другом и образующих периодическую решетку, и может быть установлено соотношение между спектральными плотностями /х, /ц и рамановским спектром образца [20]. Ограничимся рассмотрением классической модели затухающего гармонического осциллятора, взаимодействующего с термостатом как с источником белого гауссова шума. Уравнение его движения (уравнение Ланжевена) может быть записано в виде [c.436]

Примеры, приведенные в этой главе, уже дают некоторое представление о том, как один и тот же математический аппарат (тригонометрические формулы, векторные диаграммы) может быть с успехом применен к задачам о суперпозиции колебаний самой различной физической природы. В следующей главе мы познакомимся с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора, которое описывает колебания множества физически совершенно разнородных систем в главе V —с волновым дифференциальным уравнением, одинаково применимым к акустическим и электромагнитным волнам в главе XI—с понятием спектра функции и со спектральным разложением, частным случаем которого является ряд (2.16) и которое также служит одним из наиболее универсальных и сильных математических средств теории колебаний н волн. [c.54]

Преобразование белого шума резонатора мы, в суп ности, уже рассматривали в гл. X, 3. Мы там исследовали суперпозицию собственных колебаний, возбуждаемых в гармоническом осцилляторе каждым отдельным толчком, и выяснили, что она представляет собой колебание собственной частоты осциллятора ш , хаотически модулированное по амплитуде и по фазе, причем среднее время модуляции равно времени затухания осциллятора 1/6. Это и есть тот физический факт, который на спектральном языке мы выражаем словами резонатор вырезает из широкого спектра шума узкий участок. Сказанное в гл. X, 3 дает нам, таким образом, наглядную картину механизма преобразования спектра шума резонатором. [c.544]

В связи с обсуждением опытов Вавилова м ы обращали внимание на изменение числа поглощающих частиц под влиянием мощного падающего излучения. Однако это не единственный эффект, имеющий место при больших интенсивностях света. В 156 подчеркивалась тесная связь законов поглощения и дисперсии с представлением об атоме как о гармоническом осцилляторе, заряды которого возвращаются в положение равновесия квазиупругой силой. Если интенсивность света, а следовательно, и амплитуда колебаний зарядов достаточно велика, то возвращающая сила уже не будет иметь квазиупругий характер, и атом можно представить себе как ангармонический осциллятор. Из курса механики известно, что при раскачивании такого осциллятора синусоидальной внешней силой (частота ш) в его движении появляются составляющие, изменяющиеся с частотами, кратными со, — двойными, тройными и т. д. Пусть теперь собственная частота осциллятора соо. подсчитанная в гармоническом приближении, совпадает, например, с частотой 2ш. Энергия колебаний зарядов в этом случае особенно велика, она передается окружающей среде, т. е. возникает селективное поглощение света с частотой, равной со = /2 0o. Таким образом, спектр поглощения вещества, помимо линии с частотой о),,, должен содержать линии с частотами, равными /гСОо, а также /зй)(, и т. д. Коэффициент поглощения для этих линий, как легко понять, будет увеличиваться с ростом интенсивности света. [c.570]

Отличные от нуля решения системы уравнений (29) возможны лишь при определенных нормальных частотах oj, обращающих в нуль детерминант, образованный членами в квадратных скобках (29). Таких мод будет ровно Зге—6. Остальные 6 корней системы уравнений (29) равны нулю, поскольку трансляционные (3 степени свободы) и вращательные (еще 3 степени свободы) движения всех частиц как целого не сопровождаются появлением возвращающих сил. Это положение строго обосновывается в курсах аналитической механики (см., например, [164]), где доказывается, что при определенном выборе линейного преобразования координат в выранче-нии (27) исчезают смешанные произведения qlq) и остаются только Зге—6 квадратичных членов ( ) , здесь — новые координаты. При этом Зге уравнений движения (28) преобразуются в Зге—б уравнений для гармонических осцилляторов, имеющих Зге—б нормальных частот колебаний. Согласно квантовой механике дискретный энергетический спектр каждого осциллятора описывается формулой [c.39]

Клиппе и др. [952] вычислили частотный спектр различных группировок идентичных сферических частиц ионных кристаллов, рассматривая эти группировки как ансамбль слабо связанных гармонических осцилляторов. Предполагалось, что длина волны света много больше размера группировок (ИК-область спектра), поэтому эффект запаздывания взаимодействий пренебрегался. Учитывались только дипольные взаимодействия. Как известно, порошки ионных кристаллов имеют широкий ИК-спектр поглощения между частотами <от и ot [953], и задача теории состоит в объяснении зтого явления. Вычислениями установлено расширение частотного спектра поглощения с увеличением размера и компактности группировок частиц. [c.301]

В большой группе работ измерялись спектры пропускания и от-)ажения гранулированных пленок In [974], Aii [975], Те [976], Ga 977], Al [978], Tl [979], А1 + Ag [980], Ag + Au [981]. К сожалению, представленные в этих работах графические данные для и 2 получены по неверным формулам В своих теоретических построениях авторы исходили пз ошибочного понимания плазменного резонанса. Они использовали модифицированную теорию Хампе [982], которая рассматривает свободные электроны как гармонические осцилляторы, что является недопустимой ошибкой, ибо такие электроны не закреплены в определенных равновесных положениях. [c.307]

Имеются убедительные экспериментальные доказательства суш.ествования экситонных молекул в не скольких кристаллах, в том числе в кремнии, в хлориде меди и бромиде серебра [9]. В случае кремния экспериментальные доказательства были получены путем регистрации спектра люминесценции с пространственным и временным разрешением. Гурли [4] использовал метод деформационной ловушки для изучения химического равновесия в системе свободные экситоны/экситонные молекулы, 2Ех Ехг. На рис. 5 приведена температурная зависимость спектра люминесцентного излучения из области деформационной ловушки в кремнии. Верхний спектр характеризует обычное рекомбинационное излучение свободных экситонов с шириной линии, Определяемой тепловой энергией экситона /гТ. Форма линии описывается зависимостью В ехр(— //гТ)/где отвечает плотности электронных состояний в трехмерном потенциале гармонического осциллятора. При понижении температуры возникает дополнительный максимум при более низкой энергии, соответствующий экситонным молекулам, Он обязан своим происхождением рекомбинации электрона и дырки в молекуле, в результате которой остается обычный экситон. Длинный низкоэнергетический хвост молекулярной люминесценции отвечает распределению кинетической энергии этих оставших ся экситонов. Первыми эти молекулы в деформированном кремнии наблюдали советские исследователи независимые измерения на недеформированном крем пни были выполнены в Университете Британской Колумбии (Канада) [9], [c.141]

Прежде чем перейти к обсуждению данных таблицы, необходимо заметить следующее. 1) Метод I, как известно, предложен для 2-уровневой схемы и позволяет определить частоту в том частном случае, когда Если же перейти к более общему случаю 4-уровневой схемы [ ], то реально осуществляющийся 4-уровневый переход можно заменить парой последовательных 2-уровневых переходов, как предлагается в [ ]. Такое рассмотрение позволяет расширить область применения метода I и использовать его для определения частоты по спектру поглощения и частоты — по спектру испускапия. Результаты такого расчета и приведены в таблице. (2) Метод II основан на использовании одномерной модели гармонического осциллятора, а методы I и III — на применении универсального соотношения [ ]. Последнее выведено в предположении о наличии сильного взаимодействия между отдельными колебаниями, приводящем в пределе к серому веществу [ ], т. е. также [c.14]

Другая проблема, связанная с квантовой версией понятия фазы, это разные спектры сопряжённых переменных. В классической физике действие J и фаза (р являются сопряжёнными переменными. Поэтому мы ожидаем, что и квантовые аналоги этих величин также будут сопряжёнными переменными. Однако такое, строго говоря, невозможно, так как соответствуюш,ие операторы имеют очень различаюш,иеся спектры. Переменная действия для гармонического осциллятора дискретна и принимает положительные полуцелые значения. Напротив, оператор фазы должен был бы иметь непрерывный спектр, так как фазовая переменная непрерывна. Одним из способов решения этой [c.255]

Чтобы найти энергию колебательных уровней и собственные функции невращаю-щейся молекулы, необходимо применять методы теории возмущений (см. Молекулярные спектры I, гл. V, 4). Возмущающей функцией является разность между оператором Гамильтона общего вида (2,276), в котором Рх-, Ру и Р приравнены нулю, и оператором для гармонического осциллятора, входящим в прежнее уравнение (2,41) [c.227]

Приложение. Затухающий гармонический осциллятор, естественная ширина линии. Нас интересует частотный спектр, т. е. форма линии видимого света, испускаемого атомом, среднее время жизни которого порядка сек. Если бы нас интересо- [c.277]

Правило отбора для колебательхю-вращательного спектра гласит А/ = О, 1. Колебательно-вращательная энергия двухатомной молекулы в модели жесткого ротатора — гармонического осциллятора определяется соотношением [c.145]

При обратном переходе атома с низшего энергетического уровня п на более высокий уровень k происходит возбуждение атома с погло-ш,ением такого же кванта. Таким образом, в отличие от классического гармонического осциллятора, атом, даже если он одноэлектронный, излучает не одну частоту о, а целый спектр частот (м , которые в квантовой теории дисперсии и играют роль собственных частот атома. Если переход происходит с более низкого уровня k на более высокий уровень п (поглощение), то для сохраиепия без изменения соотношения (84.10) удобно ввести отрицапвльные частоты Если пет внешних возмущений (отсутствие силовых полей, невысокие температуры), то в результате процессов излучения все атомы перейдут па низший или основной энергетический уровень, т. е. в так называемое осно" нлн нормальное состояние. На основном уровне изолир ованный г.. . будет находиться неограниченно долго, пока в результате внеи и го воздействия он не перейдет на другой уровень. [c.530]

Понятие отрицательной температуры имеет физический смысл для систем, которые удовлетворяют следующим условиям. Дол жен существовать конечный верхний предел в спектре энергетических состояний, так как в противном случае система при отрицательной температуре имела бы бесконечную энергию. Свободно движущаяся частица или гармонический осциллятор не могут иметь отрицательную температуру, ибо их энергии не имеют верхнего предела. Таким образом, отрицательную температуру можно приписать лишь некоторым степеням свободы частицьи направление ядерного спина в магнитном поле является степенью свободы, которую чаще всего рассматривают в экспериментах при отрицательных температурах. Кроме того, система должна находиться во внутреннем тепловом равновесии. Это значит, что состояния должны быть заполнены в соответствии с фактором Больцмана, рассматриваемым при соответствующей отрицательной температуре. Наконец, состояния, находящиеся при отрицательной температуре, должны быть изолированы и недоступны для тех состояний тела, которые находятся при положительной температуре. [c.85]

Михаил Григорьевич разрешил отвечать по этому же вопросу на другой день и в конце концов все закончилось благополучно. Но мне потребовалось для этого основательно разобрать упомянутую статью В. А. Фока. Несколько позже мне удалось связать свойства симметрии координатной волновой функции, сформулированные в этой статье, с теми, которые были установлены при группово-теоретическом подходе. Мне пришлось еще разбирать вопрос о переводе на язык теории групп работы В. А. Фока о дополнительной симметрии (относительно четырехмерных вращений) атома водорода. Это было связано с дипломной работой моего друга и однокурсника Ю. Добронравова, Трагически погибшего в 1955 г. Я подготовил его работу, выполненную под руководством Ю. Н. Демкова, к печати, и она вышла в 1956 г. в Вестнике университета . Моя дипломная работа, также опубликованная в этом журнале в 1957 г., была посвящена неприводимым представлениям группы четырехмерных вращений. Тогда же я познакомился с работами Ю. Н. Демкова по динамической симметрии гармонического осциллятора, что позже позволило мне объяснить бесфононные линии в спектрах кристаллов как оптический аналог эффекта Мессбауэра. Мария Ивановна с интересом относилась к этим моим занятиям и предложила мне читать отдельные темы в ее лекционном курсе. В результате у нас появилась идея написать книгу, отражаюшую содержание расширенного курса. Мы рассчитывали сначала на издательство университета, но никаких предварительных переговоров с этим издательством не вели. Решили сначала написать текст. Книга была закончена в 1966 г. Первую половину курса писала Мария Ивановна, вторую — я. Мы постоянно обменивались рукописями и обсуждали их содержание. Часто возникали противоположные точки зрения, которые удавалось согласовывать с помощью М. Н. Адамова, ставшего впоследствии редактором нашей книги. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...