Уравнения движения в координатах Якоби

Уравнения движения в координатах Якоби [c.357]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ ЯКОБИ 359 [c.359]

Аналогично можно преобразовать и уравнения движения в координатах Якоби, вводя (так же. как было указано выше) для каждой точки М, собственную систему сферических координат, связанную с собственной прямоугольной системой [c.368]

Приведем еще к гамильтоновой форме относительные уравнения движения в координатах Якоби, преобразованные предварительно к сферическим координатам с помощью формул [c.378]

Рассмотрим, для определенности, уравнения движения в координатах Якоби (14.9), или уравнения (14.11), (14.11 ). По- [c.752]

Уравнения движения в координатах Якоби имеют вид [c.195]

Совершенно аналогично можно привести к канонической форме и уравнения (7.35), т. е. уравнения относительного движения в координатах Якоби. [c.376]

К такой же форме уравнений мы придем, исходя из уравнений относительного движения в координатах Якоби. Действительно, рассмотри.м уравнения (7.35) гл. УП, предполагая опять, что масса то велика по сравнению со всеми остальными массами, и пренебрежем в правых частях (7.35) всеми членами, содержащими множителями одну из малых масс. В выражении для До1 также пренебрежем такими же членами. В результате [c.416]

Рис. 41. Объединение однотипных иллюстраций к различным разделам курса 1) колебательное движение одномерной консервативной системы в потенциальной яме 2) этапы построения траекторий и решения уравнений движения в центральном поле сил 3) зависимость одной из постоянных интегрирования от определяющей координаты при применении метода Гамильтона—Якоби. Аналогичные многозначные зависимости можно указать и в других случаях Объяснение. Решение многих задач механики упирается в интегрирование дифференциального уравнения вида

Теперь по формулам (7.28) получим окончательно уравнения движения нашей материальной системы в координатах Якоби в следующей симметричной форме [c.361]

Мы будем исходить из уравнений движения взаимно притягивающихся материальных точек в координатах Якоби (см. гл. VII). Эти уравнения имеют следующий вид [c.704]

Дифференциальные уравнения движения системы в координатах Якоби записываются в форме [c.292]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ ЯКОБИ 427 [c.427]

Уравнения движения в относительных координатах Якоби. Мы знаем, что при помощи десяти существующих интегралов порядок задачи о трех телах можно понизить с 18 до 8. Мы приведем систему к двенадцатому порядку при помощи 6 интегралов центра тяжести. [c.427]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ ЯКОБИ 429 Система (136) заменится следующей системой [c.429]

Уравнения (5.90) и (5.91) в координатах Якоби образуют систему 12-го порядка. Понижение порядка от 18 до 12 было выполнение с использованием шести интегралов движения центра масс. Таким образом, остаются еще интегралы энергии и момента количества движения. Читателю предлагается в качестве упражнения получить их из (5.90) и (5.91). [c.176]

Пусть теперь Шх, та и /пз — массы Земли, Луны и Солнца соответственно. Обозначим их , М и 5 (рис. 9.3). Тогда уравнения основной проблемы теории движения Луны в координатах Якоби примут вид [c.293]

В заключение параграфа отметим, что все рассматривавшиеся ранее возможности интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических координат, охватываются методом разделения переменных. К ним добавляются еще случаи, когда разделение переменных возможно, хотя координаты и не оказываются циклическими. Тем самым метод Гамильтона-Якоби представляет собой наиболее эффективный метод аналитического интегрирования уравнений движения. [c.656]

Ясно, что если е = О, то величины Qi и Д в силу уравнений движения будут постоянными. Тем самым мы еще раз доказали теорему 9.4.2 Якоби. Закон движения, соответствующий функции Гамильтона Но, имеет вид преобразования координат, в котором изменяется только 1, а величины а,-, Д, г = 1,..., 71 принимаются постоянными. Закон движения с функцией Гамильтона Я дается точно такими же формулами, что и закон движения с функцией Гамильтона Но, но координаты 1,..., о , Д,..., Д заменяются решением системы канонических уравнений с функцией Гамильтона еНх. [c.696]

В некоторых случаях координаты центра инерции не входят в уравнения (III. 4). Тогда вопрос, в основном, сводится к интегрированию уравнений (III. 4) — (III, 5), определяющих движение тела вокруг якобы неподвижной точки, совпадающей в данном случае с центром инерции тела. [c.401]

Уравнения движения планеты в форме Якоби. Возьмем начало координат в Солнце, плоскость траектории примем за плоскость ху и обозначим через г расстояние Л10 от планеты до Солнца (рис. 177). Весь вопрос сводится к нахождению полного интеграла уравнения [c.485]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Уравнения движения Якоби для консервативной системы. Пусть данная материальная система без неинтегрируемых дифференциальных связей консервативна пусть связи её не зависят явно от времени, а активные силы имеют однозначную силовую функцию U, зависящую только от координат. При выполнении первого условия, как мы видели ( 189), систему можно отнести к таким независимым координатам, чтобы кинетическая энергия системы представилась однородной функцией второй степени от скоростей с коэффициентами, не зависящими явно от времени. Обобщённые силы, являющиеся частными производными от силовой функции, тоже в нашем случае не содержат явно времени. Следовательно, время явно не войдёт и в выражение лагранжевой функции, а также в уравнения движения (33.42) или (32.48) и в те функции, которые мы в предыдущем параграфе обозначили Р . Поэтому, когда систему уравнений (32.48) мы заменим системой уравнений первого порядка [c.335]

Приложение теории последнего множителя Якоби к уравнениям динамики в независимых координатах. Применим полученные результаты к уравнениям движения. Положим, что все связи рассматриваемой материальной системы конечны ( 161), а приложенные к ней силы не зависят явно от скоростей тогда гамильтоновы уравнения движения будут следующие [формула (33.21) на стр. 346] [c.434]

Стремление к унификации формул аналитической механики приводит к идее рассматривать реономные системы как склерономные с п + 1 обобщённой координатой, включив в это число время. Здесь изучается вспомогательная склерономная система, построенная на основе функционала действие по Якоби. Обсуждается обоснование расширенного принципа Гамильтона-Остроградского вспомогательной системы с применением асинхронного варьирования. Получены уравнения движения и условия трансверсальности. [c.111]

Идея метода Якоби — Гамильтона состоит в следующем. При канонической замене координат сохраняется канонический вид уравнений движения, а также функция Гамильтона ( 45, А). [c.226]

Воспользовавшись уравнением Гамильтона — Якоби, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала U — iilr, описывая движение в координатах и = г- -х, v = r — x. [c.180]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

В связи со сказанным становится ясным, почему параллельно с развитием теории программного управления с самого начала построения теории оптимальных процессов ставилась задача о нахождении управляющих сил и сразу в виде функции от текущих координат хг (1) управляемого объекта. При этом получил наибольшее распространение тот подход к рассматриваемым задачам о синтезе, который развивад-ся по пути методов динамического программирования. Этот метод соответствует известным в вариационном исчислении рассуждениям о распространении возбуждений. С точки зрения вариационных принципов механики метод динамического программирования аналогичен введению функции действия и приводит соответственно к уравнениям типа уравнений Гамильтона — Якоби в частных производных. Таким образом, уравнения в частных производных, вытекающие из методов динамического программирования, связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, фигурирующими, например, в принципе максимума, подобно тому как в аналитической механике уравнения Гамильтона — Якоби для функции 8 свйзаны с соответствующими уравнениями движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Основу метода динамического программирования составляет функция V [т, х], которая имеет смысл минимума (максимума) оптимизируемой величины /[т, л (т)] (0 (т< < 1, т> о —текущий момент времени, 1 — момент окончания процесса), рассматриваемой как функция от начальных, временно фиксируемых условий г, х (т) = х, т. е. [c.203]

Канонические ур1внения задачи п трех телах (425) — 30. Алгебраические интегралы задачи о трех телах (426)—31. Уравнения движения в относительных координатах Якоби (427) —32. Вариация произвольных постоянных (431)— 33. Канонические элементы Делонэ (434)— [c.16]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

В дальнейшем Якоби находит много различных случаев получения интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби показывает, что в случае, когда можно выбрать такие обобщенные координаты qi, что силовая функ р1я не зависит от координаты qs-, а живая сила завис1 т от нее, можно получить интеграл данно системы уравнений в виде Ps = onst (при этом говорят, что координата qs — циклическая). [c.212]

Гамильтон считал, что главная функция S должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка (17) и (18). Это обстоятельство уменьшало, видимо, возможности применения метода к частным задачам механики, Якоби показал, что необходимость соблюдения уравнения (18) совершенно излипшя чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения движения по формулам (16), достаточно найти интеграл лишь одного уравнения (17), содержащий надлежаш ее число параметров. Вместе с тем Якоби показал, что этими параметрами могут и не быть начальные значения координат q. Это существенное улучшение результатов Гамильтона имеет особое значение для применения рассматриваемого метода интегрирования канонических уравнений. [c.20]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Уравнения (16) представляют п—1 не содержащих I зависимостей между обобщенными координатами Они дают совокупность всех траекторий в /г-мерном пространстве этих переменных, зависящую от 2п—1 постоянных. Возмооюность непосредственного нахождения траекторий, минуя обычный процесс исключения / из уравнений движения, является замечательной особенностью метода Якоби, [c.538]

Нагорнов В. А., Приведение уравнений движения неголономных систем в неголономных координатах к меньшему числу методами Уиттекера и Якоби, Научн. тр. Ташкентск. ун-та, вып. 222, 1963. [c.504]

Как мы видели, движение механичесжнх систем можно описать с помощью различных дифференциальных уравнений уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, уравнений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби. [c.449]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...