Пример системы двух уравнений

Рассмотрим метод простой итерации на примере системы двух уравнений в следующем виде [c.137]

Пример системы двух уравнений. Пример, о котором мы упоминали в предыдущем параграфе, касается прямолинейного движения частицы в поле сил самого общего вида. [c.133]

Второй подход, приводящий к методу Ньютона, более сложен в реализации, но позволяет во многих случаях ускорить сходимость итерационного процесса, а иногда является и единственным способом решения, приводящим к успеху. Рассмотрим его основную идею на примере системы двух нелинейных уравнений [c.15]

Исключительный случай такого рода приводится в примере 19.11С. (В этом примере характеристическое уравнение системы двух уравнений линейного приближения имеет двойной нулевой корень.— Прим. перев.) [c.172]

Посмотрим, как это сделать, иллюстрируя способ вначале на том же простом примере, что и раньше. Обозначая х = у, можно уравнение (ПП.5) записать в виде системы двух уравнений 1-го порядка [c.221]

В статически неопределимых системах нельзя определить усилия в элементах конструкции, пользуясь только уравнениями равновесия статики. В качестве примеров приведем системы, состоящие из трех стержней, прикрепляющих шарнирный узел А (рис. 20, а), или из четырех стержней, поддерживающих жесткую балку АВ (рис. 20, б). Для неизменяемого прикрепления узла в первом случае достаточно поставить два стержня третий является лишней связью для определения усилий в стержнях этой системы двух уравнений равновесия узла А 2 = 0 2 = О недостаточно и необходимо составить одно дополнительное уравнение деформаций. Для неподвижного прикрепления плоского диска АВ (рис. 20, б, в) к опорной поверхности необходимо лишить его трех степеней свободы и, следовательно, дать три опорных стержня, усилия в которых можно найти из трех условий равновесия [c.31]

Функция X примеры. Точные решения. Если движение безвихревое, то система двух уравнений в частных производных (9.5), (9.3) первого порядка с двумя функциями Vx и Vy может быть заменена одним уравнением второго порядка с одной функцией. В самом деле, при 2 — 0 существует потенциал скоростей Ф, так что [c.106]

Уже в первой части этой книги мы могли убедиться, что систему автоматического регулирования какой-либо одной переменной можно представить в виде двух звеньев — объект и регулятор, — соответствующим образом соединенных друг с другом. Совершенно очевидно, что и объект со своими динамическими свойствами может быть также сведен к соответствующему звену (как это было показано выше на примерах), свойства которого будут описаны соответствующим дифференциальным уравнением, и тогда мы можем ограничиться системой двух уравнений для объекта и регулятора такого характера при довольно ограниченном числе комбинаций. [c.90]

Сам по себе факт, что множители системы 2та дифференциальных уравнений первого порядка распадаются на та чисто мнимых пар, отнюдь пе доказывает полной устойчивости системы в установленном выше смысле. Простым примером системы, пе обладающей полной устойчивостью, хотя и имеющей только чисто мнимые множители, может служить система двух уравнений [c.117]

В следующем по простоте случае имеется система двух уравнений первого порядка. Тут геометрические методы Пуанкаре дают качественные характеристики всех возможных движений, и оказывается, что положения равновесия и периодические движения и в этом случае играют центральную роль. Следующий параграф будет посвящен примеру такого движения. [c.132]

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

Пример 1. Система двух материальных точек /и, и т , соединенных между собой неизменяемым стержнем длиной /, движется по сфере радиуса R. Возьмем начало координат в центре сферы (рис. 164), и пусть координаты точек будут mi Xi, у 2i) и т (х2, у , г ). Тогда связи системы выразятся уравнениями [c.178]

Пример. Система состоит из двух течете Л и В. Согласно связям, наложенным на эти точки другими материальными телами, точки А н В могут двигаться только в плоскости хОу и находиться на постоянном между собой расстоянии г. Связи голономные и их уравнения =0, 2д = 0, г = ]/"(ха— иУ -ЫУл —УаУ - Очевидно, что из шести координат х , Уд, 2 1, хц, уц, гц) независимых остается только три, а остальные три определяются из уравнений связи. Выбор этих независимых координат мы можем сделать по собственному усмотрению. Можно принять за независимые, например, и Лд, а уц определить по независимым координатам и по урав- [c.428]

Особенности задачи рассматриваем на примере неуравновешенного ротора с одним диском, вал которого имеет различные жесткости j и Сц на изгиб в двух взаимно перпендикулярных осях, связанных с ротором. В подвижной системе координат уравнения имеют вид [c.508]

Примерами геометрических систем, удовлетворяющих условию (20.32), могут служить классические конфигурации, образованные внутренней поверхностью одной, двух концентрических сфер или бесконечных цилиндров. В общем же случае систему (20.34) следует рассматривать как аппроксимирующую интегральное уравнение (20.8). Степень такого приближения зависит от числа выбранных зон, поскольку при п—коо система алгебраических уравнений совпадает с интегральным уравнением (20.8). [c.501]

В отличие от уравнений равновесия (4.5.1), построенных при решении в примере 4.3 для нагружения фермы силой Р, эти уравнения однородны. Но так же, как и в примере 4.3, в этих двух уравнениях содержится три неизвестных усилия TVi, N2 ЛГ3, что является следствием статической неопределимости системы. Для составления уравнения совместности деформаций рассмотрим деформированное состояние фермы, которое показано на рис. 4.34 штриховыми линиями. Из ААА В точно так [c.96]

Вторая группа вторичных параметров — это так называемые коэффициенты преобразования. Они представляют собой отношения двух величин, соответствующих раз ным сторонам системы, и характеризуют, таким образом, результат преобразования воздействия на одной стороне в некоторый эффект на другой. Для примера обратимся к уравнениям, записанным в форме г. Положим скорость на стороне II равной нулю, тогда из второго ур-ния (3.3П получим [c.63]

Пример 1. Задается линейная нестационарная параметрическая система двух скалярных уравнений фильтрации, которая в принятых обозначениях имеет вид [c.373]

Последний большой раздел курса, на котором следует остановиться, — это малые колебания систем с одной и двумя степенями свободы на изучение колебаний отведено семь занятий пять занятий (включая контрольную работу) —на колебания систем с одной степенью свободы и два занятия на колебания систем с двумя степенями свободы. На одном- двух простых примерах показываем студентам, когда система при наличии упругих связей будет совершать колебательное движение, а когда колебания могут не возникнуть и от чего это зависит. Мы обычно это поясняем на примере рис. 5. Уравнения движения системы полезнее составлять разными методами, подчеркнув при этом, что, какой бы метод ни применялся, уравнение всегда будет колебательного вида. Важно научить студентов узнавать уравнения колебательного вида, ибо очень часто студенты не видят разницы между уравнениями [c.11]

Рассмотрим вопрос о влиянии гироскопических сил на спектр собственных частот на примере системы с двумя степенями свободы. Пусть система состоит из двух гармонических осцилляторов, связанных между собою лишь гироскопическими силами взаимодействия. Напишем уравнения движения такой системы [c.254]

К обсужденному выше кругу проблем весьма близко примыкают также газодинамические исследования, посвященные задаче об определении оптимальной формы обтекаемых тел. Поскольку эти исследования входят в число немногих пока примеров точных решений для задач оптимизации в системах, описываемых уравнениями в частных производных, их нельзя здесь не отметить. Речь идет о работах, посвященных задачам о нахождении (при различных ограничениях) формы тел в стационарном сверхзвуковом потоке газа, обладающих минимальным волновым сопротивлением, и формы сопел, дающих максимальную тягу, В этой области рассмотрены плоские, осесимметричные и пространственные задачи. Решения получены с использованием точных уравнений газовой динамики и базируются на двух подходах. [c.242]

Различные способы реализации связей. Начнем с простого примера. Рассмотрим движение по прямой двух тел с массами Мит, соединенны.х упругими пружинами с коэффициентами упругости k с (как показано на рис. 6). Пусть х, у — расстояния от стены до точек Мит. Движение описывается простой системой линейных уравнений [c.53]

Первым вопросом, естественно возникающим при качественном рассмотрении динамических систем, является вопрос о том, какие типы фазовых траекторий вообще возможны в динамических системах второго порядка. Траектории, встречавшиеся в рассмотренных ранее примерах (см. гл. П, III и V), являлись либо состояниями равновесия, либо замкнутыми траекториями, либо, наконец, траекториями, стремящимися к состояниям равновесия или к замкнутым траекториям при. - -оо (или при — оо). Исчерпываются ли этим возможные типы фазовых траекторий, и если нет, то нельзя ли установить, каковы вообще все возможные типы отдельных траекторий Оказывается, что на основании двух общих теорем теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений и теоремы о непрерывной зависимости этого решения от начальных условий (см. Дополнение 1) — можно получить исчерпывающие сведения относительно возможного характера отдельной траектории [137, 81]. Рассмотрению этого вопроса будет посвящен следующий параграф. [c.396]

Полученная система нелинейных алгебраических уравнений не может быть решена точно, методы ее приближенного решения рассматриваются ниже. Здесь же остановимся на двух примерах, из которых будет ясен порядок составления системы нелинейных уравнений методом сил, причем, естественно, примеры выберем несложные. [c.61]

В ранее приведенных примерах расчета однопролетных балок было показано, что, используя метод начальных параметров, можно находить вектор (о в М <Э с одинаковой степенью сложности как для статически определимых, так и для статически неопределимых балок. Рассмотренный пример проиллюстрировал возможность отыскания методом начальных параметров указанного выше вектора и для неоднопролетных статически неопределимых балок. Однако при этом решение оказывается более трудоемким, чем при комбинированном использовании метода сил для раскрытия статической неопределимости (применительно к условиям нашего примера величина определилась бы из одного самостоятельного уравнения) и метода начальных параметров для отыскания вектора о О Л1 , когда статическая неопределимость уже раскрыта (нача.тьные параметры при этом находятся из системы двух уравнений с двумя неизвестными). [c.226]

В 12 было показано, что если все решения системы двух уравнений продолжимы па периоде, то для существования гармонического колебания достаточно существования ограниченного решения. Однако далеко не всегда все решения системы оказываются продолжимыми на периоде. Примерами систем, у которых решение может уходить в бесконечность до истечения периода, могут служить системы, у которых на бесконечности превалируют полиномиальные члены. В этом параграфе мы будем изучать именно такие системы. [c.261]

Пример зависимости множества допустимых разрывов от коэффициентов для системы двух уравнений типа (1.46), выражающих законы сохранения, построен Годуновым (Годунов [I960]). Для иллюстрации ограничений, накладываемых требованием существования структуры, рассмотрим п])остой пример с одним законом сохранения (Куликовский [1984]). Пусть функция и х, t) удовлетворяет уравнению [c.89]

Пример 32. Составить уравнения движения материальной системы, состоящей Из двух тяжелых однородных стержней равной Длины /, шарннрно соединеннь[х между собоп в точке Л (рис. 4.2). [c.96]

Хотя в этом примере речь идет о системе с четырьмя степенями свободы, он здесь уместен, так как задача фактически сводится к решению системы двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второга порядка. [c.588]

Система уравнений (18.1) — (18.2) с учетом условия баро-тропности течения (18.3) представляет собой систему двух уравнений для определения плотности р и скорости и в зависимости от координаты х и времени Л Проводимые ниже рассуждения справедливы, вообще говоря, при любой зависимости (18.3) р от р. Случай адиабатических движений совершенного газа (18.4) мы будем рассматривать далее для иллюстрации полученных выводов только в качестве частного примера. [c.221]

В качестве первого примера системы, находящейся в мета-стабильном состоянии, можно рассмотреть пространственно однородную смесь двух химически реагирующих газов. Конкретно мы рассмотрим смесь двух объемных частей водорода и одной части кислорода, содерл ащуюся в некотором сосуде при атмосферных температуре и давлении. Хорошо известно, что, будучи изолированной, эта смесь сохраняет свой химический состав практи-<1ески неизменным в течение чрезвычайно длительного промежутка времени. Однако достаточно слабого внешнего воздействия в виде электрического разряда, чтобы в системе произошло возгорание, в результате которого практически весь кислород и весь водород соединяются с образованием молекул воды в соответствии с уравнением реакции [c.36]

В заключение отметам работу [38], посвященную анализу структуры бифуркационной диаграммы для динамических систем, содержащих седловое состояние равновесия, неустойчивое многообразие которого состоит из двух симметричных одномерных сепаратрис. Примером может служить система галеркинских уравнений, описывающая режимы тепловой конвекции в поле вибрации при слабом нарушении инверсионной симметрии. Рассмотрена ситуация, когда возникающие в системе го-моклинные петли являются притягивающими. В области регулярного поведения обнаружены, помимо периодических, квазипериодические режимы, которым соответствуют инвариантные множества канторотора Граница области хаоса оказывается фрактальной. [c.292]

Известны попытки построения обобщенной функции Лагранжа для частных случаев линейных диссипативных систем [4, 27, 84, 115—117]. При этом существует два способа вводится дополнительная система, поглощающая энергию, выделяемую диссипативной системой, или отыскивается замена переменных, преобразующая уравнения движения диссипативных систем в уравнения с нулевой правой частью. В монографии [84] наряду с заданной системой рассматривается ее зеркальное отражение , обладающее отрицательным трением . Полная энергия двух систем остается постоянной. Построение обобщенной функции Лагранжа производится на примере системы гармонических осцилляторов со стоксовским трением. При этом [c.157]

Пример 2. Два равных шара А ц В прикреплены к концам двух равных тонких стержней Аа и ВЬ. Концы а ц Ь шарнирно соединены с неподвижной точкой О, и вся система приведена во вращательное движение вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, аналогично регулятору паровой машины Пренебрегая массами стержней, показать, что движение системы описывается уравнением юлебания маятника, длина которого равна расстоянию точки О до прямой, соединяющей центры шаров. [c.236]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

R. Straube [1.318] (1963) для определения собственных частот поперечных колебаний балки Тимошенко при различных опорах применял метод возмущения. Малый возмущающий параметр выделяется в членах, характеризующих влияние деформации сдвига и инерции вращения. Получена в каждом приближении система уравнений, и дан пример расчета двух приближений для четырех собственных частот ко<н-соли. [c.85]

Полученные выше как следствие II начала термодинамики в форме ( ) соотношения ( ) фактически замыкают аппарат макроскопической термодинамики, т.е. позволяют на основе термодинамического задания системы с помощью уравнений состояния рассчитать интересующие нас в макроскопической теории характеристики системы. Покажем это на примере системы типа газа (т. е. в случае х V). Так как зависимость термодинамических величин от JV нам заранее известна, то достаточно сформулировать процедуру расчета удельных величин е, 5 и т.д. Итак, пусть система задана с помощью двух уравнений состоян1 я [c.45]

Примеры такой записи — уравнения (16.5.15) и (16.5.16). Число независимых реакций ограничено числом реагирующих компонентов. В однородных системах, в которых изменение концентраций всех реагирующих компонентов определяется только химическими реакциями, для определения состояния системы вместо концентрации пи. можно выбрать степень полноты реакции Химический потенциал ли. функция р и Т. Однако, так как степень полноты реакции связывает изменения, как минимум, двух компонентов, в системах, содержащих г реагирующих веществ, имеется максимум (г — 1) независимых степеней полноты реакций Таким образом, все химические потенциалы могут быть выражены через функцию , Т). Откуда следует, что при любых заданных давлении р и температуре Т имеется только (г — 1) независимых степеней полноты реакций. Так как сродство Ак — линейная функция химических потенциалов, в системе с г реагируюш,ими компонентами могут быть максимум (г — 1) независимых величин сродства. (Иногда этот факт выводится с использованием закона сохранения масс в химических реакциях. Несмотря на то что это может быть справедливо в обычных химических реакциях, этот аргумент не сохраняет общность, например, для ядерных реакций, когда массы изменяются. В действительности, масса связана с химической реакцией, главным следствием которой является изменение числа молекул различных реагирующих компонентов.) [c.356]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...