ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пример системы двух уравнений из "Динамические системы " Выражаясь точнее, мы рассматриваем движение частицы Р единичной массы по прямой линии под действием силы /(.т, v), зависящей от пространственной координаты частицы х и от ее скорости Ради определенности мы предположим, что имеется одно и только одно положение равновесия на прямой движения и что рассматриваемое движение устойчиво в том смысле, что для t О х и v остаются ограниченными по абсолютной величине. [c.133] Эта система уравнений, очевидно, принадлежит к тем системам, для которых имеют место теоремы существования и единственности. [c.134] Единственной кривой, выродившейся в точку, будет начало координат, отвечающее точке равновесия. Остальные кривые имеют всюду касательную, непрерывно изменяющую свое направление, так как нигде, кроме начала координат, dx/dt и dy/dt на обращаются в нуль одновременно. Кроме того, угловой коэффициент касательной может обращаться в бесконечность только для точек, лежащих на оси х. [c.134] Рассмотрим теперь определенную интегральную кривую, соответствующую данному устойчивому движению. Пусть Qq (рис. 1) будет точка на этой кривой, соответствующая i = 0. Для определенности предположим, что Qo лежит в верхней полуплоскости изменения, которые следует сделать в наших рассуждениях, если Qq лежит в нижней полуплоскости, очевидны. Так как dx/dt = у остается положительной до тех пор, пока точка Q, лежащая на интегральной кривой, не пересечет оси абсцисс, то Q движется непрерывно вправо, если t возрастает от своего начального значения 0. [c.134] Но по предположению точка Q ле кит внутри достаточно большого квадрата, с центром в О и сторонами длины 2М, параллельными осям координат. [c.134] Следовательно, пока t, увеличиваясь, остается меньшим любого значения, при котором Q пересечет ось абсцисс, х, которое тоже увеличивается и ограничено, стремится к некоторому пределу х. [c.134] Следовательно, у должно стремиться к некоторому пределу у, когда I безгранично возрастает( ). [c.135] Таким образом, мы получили, что либо приближается к началу координат О слева при безграничном возрастании Ь, либо пересекает ось абсцисс в некоторой точке 0). [c.135] Точки и 2 должны при этом лежать па оси х по разные стороны от начала О. В самом деле, в противном случае /(ж1, 0) и /(ж2, 0) имели бы одинаковый знак [потому что /(ж, 0), равное нулю, только при я = О не обращалось бы в нуль между хх и Ж2], и точка должна была бы двигаться вниз от 2 подобно тому, как она это делает в Отсюда легко усмотреть, что ( 1 должно лежать справа, а ( 2 слева от О. [c.136] В самом деле, ( 1 во всех случаях должно быть справа от начала, потому что, если бы 1, лежало слева, то частица при своем движении влево от не могла бы стремиться к началу координат и, следовательно, должна была бы пересечь ось абсцисс в некоторой точке 2,лежащей, таким образом, с той ке стороны от начала, что и 1. [c.136] Повторяя это рассуждение бесконечное число раз, приходим либо к конечному числу точек пересечения 1, 2, Яп интегральной кривой с осью абсцисс, лежащих поочередно слева и справа от О. после последней из которых Я стремится к О, либо к бесконечной последовательности точек пересечения 6 1, б 2, , тоже лежащих поочередно слева и справа от О. [c.136] Из топологии полученной фигуры очевидно( ), что в последнем случае кривая может либо спиралеобразно удаляться от О. стремясь к некоторому ограничивающему овалу, окружающему О, либо образовывать сама такой овал, либо спиралеобразно приближаться к такому овалу извне (как показано на рис. 1), либо образовывать спираль, приближающуюся к точке О. Из элементарных теорем существования и единственности, разумеется, следует, что кривая пе может пересекать или касаться самое себя. [c.136] Рассмотрим упорядоченное множество различных замкнутых кривых в плоскости X, у. отвечающих периодическим движениям. Все эти кривые, очевидпо, должпы заключать начало координат, которое можно рассматривать как первую, самую внутреннюю из этих кривых. [c.137] Какая-нибудь другая кривая движения может иметь точку между двумя периодическими кривыми, и в этом случае она будет лежать целиком между обеими кривыми и будет устойчива. Частица будет в этом случае приближаться асимптотически к одному из периодических движений, когда Ь безгранично возрастает, и к другому, когда I безгранично убывает. [c.137] Единственный другой случай, который может представиться, — это случай кривой движения, лежащей снаружи от самой внешней (последней) кривой совокупности периодических движений( ). Это движение, очевидно, будет устойчиво в одном и только в одном направлении и приближается асимптотически к периодическому движению, соответствующему внешней кривой, когда 1 безгранично возрастает в этом направлении. [c.137] Вернуться к основной статье