Аттрактор

Существуют три классических типа динамического движения равновесие периодическое движение, или предельный цикл квазипериодическое движение. Эти состояния называют аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система притягивается к одному из трех перечисленных состояний Другой класс движений,характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов,- непредсказуемые, если присутствует малая неопределенность начальных условий то этот класс движения часто связан с состоянием называемым странным аттрактором. [c.6]

Наше качественное обсуждение продемонстрировало, что это преобразование имеет два аттрактора, две точки притяжения температуры Т = О и Т= 00. Действительно, в случае низких температур перенормировка температуры, связанная с переходом на более грубые масштабы, еще больше ее снижает, а при высоких температурах, наоборот, еще больше повышает. [c.86]

Такие траектории называют седловыми, и именно множество таких траекторий составляет странный аттрактор. [c.165]

Странный аттрактор может появиться уже после нескольких бифуркаций возникновения новых [c.165]

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна неясны даже критерии, па которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при [c.165]

Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в другом пространстве — меньшей размерности. Последнее опре- [c.166]

Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний. [c.167]

Обратимся к изучению эволюции свойств движения при дальнейшем увеличении параметра X за значением Лео (числа Рейнольдса R > Ro ) — в турбулентной области. Поскольку в момент своего рождения (при К = Лоо) апериодический аттрактор описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно считать, что и при значениях X, незначительно превосходящих Лоо, допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого отображения. [c.180]

Перед последней (при увеличении Я.) обратной бифуркацией аттрактор занимает два интервала, разделенных промежутком, [c.181]

Эволюция свойств странного аттрактора при А оо с о п р о" вождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем шумовой компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные ники, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники— в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спек-тральных пиков. [c.182]

АТТРАКТОР. Замкнутое притягивающее множество неустойчивых траекторий называют странным аттрактором. АТТРАКТОР имеет нулевой фазовый объем и может характеризоваться величиной - хаусдорфовой размерностью d, а также размерностью вложения, равной числу т независимых фазовых переменных, однозначно определяющих состояние системы. [c.6]

ФРАКТРАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО, странный аттрактор связан с новым по отношению к классической геометрии геометрическим объектом, называемым фраетальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттракгора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние меаду некоторыми из них приближается к бесконечно малому. [c.82]

Будем говорить, что низкие температуры находятся в области притяжения arrpai ropa Т = О, а высокие - в области притяженм аттрактора Т = со. Точки Кюри Тс - граница между двумя областями притяжения. Когда магнит находится при этой температуре, он выглядит одинаково при любых масштабах, а его температура не изменяется при перенормировке Rb(TJ = просто потому, что он не может решить , к какому аттрактору ему следует направиться. На языке динамических систем мы говорим, что Тс - репеллер процесса перенормировки. Если температура магнита даже весьма незначительно отклоняется от Тс, то это отклонение увеличивается перенормировкой, а повторения (итерации) этого процесса ведут к одному из известных случаев, т. е. к идеальному порядку (Т = 0) или к полному беспорядку (Т= ао). [c.86]

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать Е. Lorenz, 1963) его принято называть стохастическим, или странным аттрактором ). [c.164]

На первый взгляд, требование о неустойчивости всех траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, чтобы все соседние траектории при t- oo к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбега-нне траекторий. Это кажущееся противоречие устраняется e jm учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим. В и-мерном пространстве состояний [c.164]

Но уже на третьей бифуркации возникновение странного аттрактора становится возможным (хотя и не обязательным ). Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квази-периодическому режиму, расположен на трехмерном торе S. Newhouse, D. Ruelle, F. Takens, 1978). [c.165]

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению стационарной турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее —их следы) заполняют определенную площадь проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом — сжимается ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение— объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться — в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему влол<енпых друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе t- oo аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев — поверхностей, на которых располагаются седлов1ле траектории (своими притягивающими направлениями обращенные наружу аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого гцзсмеии пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю. [c.166]

По математической терминологии, такие множества по одному из направлений относятся к категории канторовых. Именно канторовость структуры следует считать наиболее характерным свойством аттрактора и в более общем случае п-мериого п > 3) пространства состояний. [c.166]

Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в О-мерном пространстве при малом е имеем N r) xi л Ve-o (где V — постоянная), откуда видно, что N z) можно рассматривать как число D-мерных кубиков, покрывающих в D-мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность п пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной именно такова она для канторовых множеств ). [c.167]

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение вышло на странный аттрактор ), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем зп большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента объема (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. [c.167]

F. Ledrappier, 1981). Поскольку при вычислении d учитываются лишь наименее устойчивые направления (отбрасываются наибольшие по абсолютной величине отрицательные показатели Lj в конце их последовательности), то даваемая величиной Dt, оценка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху. Эта оценка открывает, в принципе, путь для определения размерности аттрактора по экспериментальным измерениям временного хода пульсаций скорости в турбулентном потоке. [c.169]

Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убывающие интервалы последовательность критических значений Ry, R2,. .. стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает слож[1ый апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариантности М. J. Feigenbaum, 1978) ). [c.172]

Функция g(x) определяет структуру апериодического аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определенном для функции [(х X) значении параметра X = Л, . Ясно поэтому, что функции, образованные из f(x X) путем многократ-ног-о итерирования преобразования (32,12), действительно сходятся к g(x) лишь при этом изолированном значении X. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра к от значения Лоо. Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной б — снова без всякой связи с конкретным видом функции f x) ). [c.177]

Масштабный множитель а определяет изменение — уменьшение— геометрических (в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода этими характеристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвосиие сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утверждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть одинаковым для расстояний между всякими двумя точками ). Действительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ними уменьи1ится в а раз если же преобразование про- [c.177]

Аттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки удвоений периода, в момент своего рождения не является странным в определенном в 31 смысле 2 -цикл , возникающий как предел устойчивых 2 "-циклов при fli—>-оо, тоже устойчив. Точки этого аттрактора образуют на отрезке [—1,1] несчетное множество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т, е. полная длина совокупности его элементов) равна пулю его размерность лежит между О и 1 и оказывается равной 0,54 ). [c.180]

При Я > Лоо аттрактор становится странным — притягивающим мнол<еством неустойчивых траекторий. На отрезке [—1, 1] принадлежащие ему точки заполняют интервалы, общая длина которых отлична от нуля. Эти отрезки — следы на секущей поверхности а непрерывной двумерной ленты, совершающей боль-июе число оборотов и замыкающейся на себя. Снова напомним в этой связи о приближенности одномерного рассмотрения. В дей-спвительностн эта лента имеет небольшую, но конечную толщину. Поэтому и составляющие ее сечение отрезки представляют собой в действительности полоски конечной ширины. Вдоль этой ширины странный аттрактор имеет канторову структуру [c.180]

Эволюция свойств странного атграктора при увеличении X. за Аса состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении А. > Л , аттрактор заполняет ряд интервалов fta отрезке [—1, 1] участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2 " и меньше. При увеличении Я скорость разбегаиия траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он разбухает , последовательно поглощая циклы периодов 2 , 2" + ,. .. при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширьчш увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого 2 "-цикла называют обратной бифуркацией [c.181]

Размерность аттрактора в этом направлении малп по сравнению с единицей. Она, однако, не универсальна и зависит от конкретного вида отображения. [c.181]

Бифуркация произойдет при значении = Ль когда границы расширяющегося аттрактора достигнут этой точки. Из рис, 22,6 видно, что внешняя граница аттрактора (ленты) после одного оборота становится его внутренней границей, а еще через оборот— границей ннтервала, разделяющего витки. Отсюда ясно, что значение = Л] определяется условием х,+2 = х, где [c.182]

Можно представить себе, что к рассмотренному участку функции отображения примыкают участки, приводящие к хаотиза-ции траекторий им отвечает в пространстве состояний множество локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако, само по себе не является аттрактором и с течением времени точ- [c.183]

В результате анализа получено, что чувствительно зависимая ст начального состояния физико-химическая система представляет собой аттрактор, которому достаточно трех степеней свободы для возникно л-ния хаотического режима. При числе степеней свободы равном или больше трех система переходит в неустойчивый резким, при котором а результате эволюции возможна стабилизация в нескольких стационарных состояниях. Существует два оснсвных пути эволюции фиэв> о-химической системы на первом последовательность состояний имеет нечетное число степеней свободы, на втором — четное. Переход системы с одного пути эволюции на другой возможен при формировании в ней особых и сингулярных элементов с их последующим обособлением. [c.163]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.32 , c.268 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.299 ]

Динамические системы - 2 (1985) -- [ c.135 ]

Введение в теорию механических колебаний (0) -- [ c.208 ]

Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах (0) -- [ c.48 , c.49 , c.59 , c.72 , c.73 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...