Понтрягин

Разработаны многочисленные методы рещения задачи оптимизации при различных видах целевой функции, уравнений связи и типах ограничений, которые условно можно подразделить на две группы а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление) б) метод математического программирования (методы линейного и нелинейного программирования, метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.). [c.555]

Методы решения математических задач по нахождению оптимальных значений управляющих переменных величин называют математическим программированием. Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. В частных случаях пользуются специальными методами. Если ограничения отсутствуют, а операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, пользуются классическими методами нахождения экстремума с помощью дифференциального и вариационного исчислений. При наличии ограничений применяют принцип максимума Понтрягина, развивающий и обобщающий задачи вариационного исчисления. [c.458]

Решение задач оптимального управления ПР основано на использовании принципа максимума Л. С. Понтрягина и метода динамического программирования. Поиск оптимального решения многовариантной задачи производится с использованием ЭВМ. [c.521]

Дальнейшее развитие получила в 50—60-х годах теория оптимальных систем. Алгоритмы строго оптимальных управляющих устройств могут оказаться весьма сложными. Однако для систем не очень высокого порядка п — 3 -ь- 4) можно получить вполне приемлемые по простоте и весьма близкие к оптимальным алгоритмы управления. Задача об оптимальном управлении в общем случае была решена в 1956 г. Л. С. Понтрягиным и его учениками. Ими был установлен принцип максимума, позволивший решать широкий круг задач теории оптимальных систем. В дальнейшем был получен другой оригинальный вывод принципа максимума и была доказана достаточность этого принципа для линейных систем была впервые выяснена связь между принципом максимума и динамическим программированием и был выведен принцип максимума для линейных дискретных систем. На основе принципа максимума была развита теория оптимальных систем, в которых управляемый объект характеризуется распределенными парамет- [c.271]

В методе Понтрягина вводятся сопряженные переменные Pi x), i = О, 1,. .., и, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений [c.266]

Чтобы лучше понять принцип максимума Понтрягина, установим его связь с вариационным методом Лагранжа. Предположим для этой цели, что функции Ф имеют непрерывные производные не только по и но и по j, что функции Ui x) и ai x) являются непрерывно дифференцируемыми функциями и что ограничения (7.52), (7.53) отсутствуют. Используя переменные множители Лагранжа, напишем модифицированный функционал (7.75) в виде [c.267]

При дифференцируемости функций но условия (7.82) равносильны условию (7.79) в принципе Понтрягина. Таким образом, при достаточно гладких функциях Ф.- и щ и при отсутствии ограничений типа неравенств (7.53) метод Понтрягина совпадает с методом Лагранжа, причем сопряженные переменные Pi x) являются множителями Лагранжа. [c.268]

Сформулированные выше вариационные задачи (поиск управления, минимизирующего (1)) отвечают идеализированной по-становке задачи управления манипулятором, в которой не учтены ограничения на величины относительных перемещений звеньев манипулятора, а также на величины соответствующих скоростей и ускорений. Учет этих ограничений приводит к необходимости использовать принцип максимума Л. С. Понтрягина или метод динамического программирования, требующие большого объема вычислений. [c.28]

ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА И ВОЗМОЖНОСТИ ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ПРЕДЕЛЬНОГО АНАЛИЗА [c.70]

Применение аппарата математического программирования при решении задач предельного равновесия и приспособляемости сплошных тел вынуждает заменять строгие формулировки этих задач приближенными, использующими дискретные модели. Большие размеры получаемых при этом матриц ограничивают область приложения. В то же время имеются математические методы, позволяющие решать задачи предельного анализа непосредственно для сплошной среды—это методы математической теории оптимальных процессов, в частности принцип максимума Л. С. Понтрягина [13, 15, 121]. В задачах механики деформируемых тел этот принцип, по-видимому, впервые был применен А. И. Лурье [94]. [c.70]

Определим условия прогрессирующего изгиба на основании статической теоремы о приспособляемости с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина (см. 9). [c.191]

Методы математического программирования можно разделить на аналитические и численные. К первым относятся методы, основанные на дифференциальном и вариационном исчислении, на принципе максимума Понтрягина и на достаточных условиях Кротова и др. ко вторым относятся методы, основанные на линейном, динамическом и нелинейном программировании, [c.164]

Если имеются ограничения на параметры, управление является функцией независимых переменных, а модель представляет собой набор аналитических зависимостей, могут быть применены принцип максимума Понтрягина и методы, основанные на достаточных условиях Кротова. [c.164]

Функция Понтрягина имеет вид [c.51]

Как видно, наличие фактора неопределенности i 5 осложняет условия Понтрягина (3.26) и Беллмана (3.32). Однако и этот вопрос можно преодолеть, если использовать поэтапное решение, вводя непрерывно функцию я 5 в процессе функционирования. [c.53]

Методы вариационного исчисления и принцип Понтрягина применяются при решении задач, связанных с обеспечением оптимального быстродействия, выбором оптимальных законов движения рабочих органов и пр. [c.20]

Для реализации такого подхода предлагается использовать принцип максимума А. С. Понтрягина, применяемый для решения задач об оптимальном управлении. Принцип максимума состоит в том, что для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние системы в каждый момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действия [11]. В соответствии с этим принципом условие минимальности целевой [c.96]

Традиционные методы оптимизации, основанные на принципе максимума Л. С. Понтрягина [21, 58], сводят задачу к отысканию оптимального программного управления Up (i), после чего оптимальное ПД дСр (О получается как решение уравнения динамики [c.56]

Теорема Понтрягина — Куратовского, Граф планарен тогда II только тогда, когда не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу Кз (рис. 4.24, а) и полному двудольному графу Кз,з (рис. 4.24,6). [c.212]

Принцип максимума Понтрягина. Обобщением вариационного метода Лагранжа является метод, основанный на принципе максимума Понтрягина [256]. Он был разработан применительно к задачам теории оптимального управления, однако то обстоятельство, что он дает возможность искать оптимальные решения среди более широкого класса функций, делает его применение перспективным и к решенпю задач акустической оптимизации машинных конструкций [207, 346, 355, 356]. Метод состоит в следующем. [c.266]

Любой из распространенных способов применения линейного программирования является целевой функцией в виде суммы дохода, экономии или затрат, решаемой математическим методом, с помощью которого отыскивается такая оптимальная комбинация использования ресурсов, при которой целевая функция достигает наиболее выгодного (максимального или минимального) значения. После того, как найден оптимальный план использования ресурсов — будь то единицы разнообразного оборудования на фанерном заводе, давшие повод Л. В. Канторовичу впервые в мире предложить и обосновать метод [11 ], будь-то маршруты перевозок в транспортной задаче или дефицитные материалы, оптимальное использование которых составляет вопрос народнохозяйственного значения — во всех случаях можно однозначно (детермини-рованно) предсказать материальный и экономический результат оптимального плана, а его осуществление, с другой стороны, не требует никаких дополнительных математических исследований. Примерно так же обстоит дело с методом оптимального управления Л, С. Понтрягина [21 ], когда с помощью вариационного исчисления выбирается оптимальная в заданном отношении программа последовательных изменений материальной системы — будь-то прокатный стан, выполняющий заданную операцию, агрегат на химическом заводе, метеорологическая ракета, самолет при посадке и пр. [c.8]

В теории оптимальных процессов существуют два основных метода решения этой задачи метод динамического програмиирования и принцип максимума Понтрягина /3/. [c.73]

Здесь мы кратко рассмотрим стандартный набор приемов для качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробное изложение содержится в книгах Андронова и др. (1959, 1966, 1967), Арнольда (1971), Боголюбова и Митропольского (1963), Лефшеца (1961), Понтрягина (1965). [c.32]

Простейшими. непланарными являются так называемые типовые графы Понтрягина — Куратовского Ks = (a, р), (а, Y), (а, б), (а, Я), (р, у), (Р, б), (р. К), (у. Ь), (у, Л), (6, Х)У. Л з,з = (а, 6), ( , Я), (а, г), (р, б) (Р, Л), (Р, е), (у, б), (у, X), (у, е) , изображенные на рис. 5.4. Легко показать [4, 31], что эти графы не имеют плоских топологических представлений, т. е. являются непланарными. Они замечательны тем, что с их помощью можно полностью охарактеризовать множество всех возможных непланарных графов. [c.178]

Легко показать, что теорема Понтрягина — Кура-товского останется справедливой и в том случае, если производный граф определить через преобразование Q, включающее любую из четырех введенных операций. Это является достаточным обоснованием для следующего алгоритма рекуррентного порождения производных графов с меньшим числом вершин [c.182]

Отметим, что теорема Понтрягина — Куратовского может быть обобщена и на случай графов с запрещенными гранями, если к двум типовым графам Ks и Кз,з добавить еще два, и /Сд (рис. 5.11). Нетрудно убедиться, что с помощью преобразования Л последние сводятся соответственно к /< з, s и Кь, т. е. Л/Сд=/Сз,з и АК =К5. [c.193]

В построенном графе имеется на первый взгляд неустранимое пересечение ребер. Можно попытаться показать, что он непланарный, отыскав в нем один из типовых графов Понтрягина — Куратовского, например методом кружков и квадратиков . Обозначив вершины J, 5, 7 квадратиками, а вершины О, 3,6— кружками, найдем, что каждый квадратик соединяется с каждым кружком одной из следующих цепей /, 2, 0], [1, 3], [1,4,6], [5, 0], [5, 5], [5, б], [7, 0], 7, 5], [7, 6], причем никакая пара цепей не имеет общих внутренних вершин. Это означает, что исследуемый основной граф размещения содержит типовой граф Кз, 3, поэтому Го. р непланарный и соответствующая ему схема геометрически несовместна. [c.200]

Некоторое распространение для исследования систем со сосредоточенными параметрами получил метод амплитудно-фазовых характеристик, который с успехом может быть применен и к исследованию систем с распределенными параметрами (Я. 3. Цыпкин [2], В. В. Солодовников [3j). Однако указанный метод применяется лишь к системам, допускающим размыкание, и требует построения амплитудно-фазовых характеристик, что часто приводит к большим вычислениям. Н. Г. Чеботарев [4] и Л. С. Понтрягин [о] дали решение задачи Гурвица для трансцендентных уравнений вида Я (2, е )=0, где Р — полином, и указали несколько важных теорем. [c.129]

Машиностроение Автоматическое управление машинами и системами машин Радиотехника, электроника и электросвязь (1970) -- [ c.271 ]

Механика в ссср за 50 лет Том3 Механика деформируемого твердого тела (1972) -- [ c.359 ]

Общие свойства динамических систем (1970) -- [ c.138 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...