Траектория орбитно-устойчивая

Теорема 41. Замкнутая траектория не являющаяся предельной для незамкнутой траектории, орбитно-устойчива. [c.283]

Отметим, что орбитная устойчивость отличается от устойчивости по Ляпунову (см. [92, 99, 135]). Именно, траектория орбитно-устойчивая может не быть устойчивой по Ляпунову. В приводимой дальше теории особых и неособых траекторий имеет значение лишь орбитная устойчивость. [c.51]

II. Вокруг каждой точки полутраектории L+, имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при г ->- + оо и при i + оо имеют то же предельное множество, что и L+. [c.54]

Все сказанное относительно положительной полутраектории с очевидными изменениями может быть повторено и относительно отрицательной полутраектории. Таким образом, мы будем также говорить о траектории, орбитно-устойчивой при — со, или а-орбитно-устойчивой, и о траектории, орбитно-неустойчивой при [c.413]

Полностью аналогично определяется а-орбитно-устойчивая (или орбитно-устойчивая при I — оо) траектория. [c.257]

Лемма 1. Если траектория Ь со-орбитно-устойчива хотя бы в одной своей точке, то она со-орбитно-устойчива в любой другой своей точке, т. е. она (о-орбитно-устойчива. [c.257]

Предположим противное, т. е. предположим, что траектория Ь но является (о-орбитно-устойчивой в точке Мг- Тогда существует бо > О такое, что сколь бы малую окрестность 11 с, (М,) мы ни взяли, найдется траектория, проходящая при I = через точку этой окрестности, которая при I > Хп выйдет из бо-окрестности полутраектории Ь 1 . [c.258]

ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ 2Г)Я [c.259]

Очевидно, U (а)-орбитно-неустойчивая траектория L ие является орбитно-устойчивой ни в одной своей точке, т. е. если М — какая-нибудь се точка, то существует ео > О такое, что при любом сколь угодно малом O > О найдется траектория L, проходящая через точку f/g М), и при i > т, выходящая пз Ео-окрестности Lti- [c.259]

Положительная (отрицательная) полутраектория называется орбитно-устойчивой, если она является полутраекторией ш (а)-орбитно-устойчивой траектории. [c.259]

Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, являются траектории, при оо и [c.261]

Из этих примеров нетрудно видеть, что в случае, когда траектория неособая (орбитно-устойчивая), все близкие к ней траектории ведут себя весьма похожим образом (в дальнейшем смысл этих слов уточняется). Но это совершенно не имеет места для тех траекторий, которые мы выше [c.261]

ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ H. ПОЛУТРАЕКТОРИИ [c.273]

Следующая теорема устанавливает, в каком случае замкнутая траектория является орбитно-устойчивой. [c.283]

Пусть — любая точка траектории Ь и 6 > О — столь малая величина, что [/(, (( ) целиком содержится в области у. Тогда, очевидно, всякая траектория, проходящая через точку окрестности Не, (( ), и 1[ри /—> —>- -оо и при —со не выходит из области у, а значит и из Ь Ь). Но это и означает, что траектория Ь орбитно-устойчива. Теорема доказана. [c.284]

Понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраекторий и траекторий непосредственно переносится и на случай динамической системы на сфере. Мы не останавливаемся па этом ввиду полной очевидности такого перенесения. [c.285]

Поведение траекторий, близких к орбитно-устойчивым траекториям. Как и раньше, предложения, относящиеся к полутраекториям, мы будем формулировать только для положительной полутраектории. [c.291]

Принимая во внимание лемму 8, нетрудно видеть, что граница ячейки, заполненной целыми траекториями, либо состоит из целых орбитнонеустойчивых траекторий, целиком лежащих в области С, либо является замкнутой траекторией (орбитно-устойчивой), образующей один из граничных континуумов области С, либо является замкнутой траекторией, состоящей из угловых и граничных дуг (см., например, рис. 180, а, б и в). [c.304]

Введенное таким образом понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям. Поясним эти понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. Очевидно, всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узел или фокус, орбитноустойчива ). Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, очевидно, будут траектории, стремящиеся при >-- -со п —-оо к узлам или фокусам или при / —со ( - — оо) стремящиеся к узлу, а при — оо ( - - - схэ) — к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при - -оо, и при — со (все такие траектории орбитно-устойчивы и при при — оо). [c.414]

Понятия орбитно-неустойчивых (особых) и орбитно-устойчивых (иеособых) траекторий введены в заметке [46] и являются обобщенпем на случай произвольных динамических систем вида (I) аналогичных понятий, введенных ранее А. Андроновым и Л. Понтрягиным [6]. [c.256]

Определение XV. Траектория Ь с ограниченной положительной полутраекторией) называется (о-орбитно-устойчивой или орбитноустойчивой при оо, если она (о-орбитноч/стойчива в любой своей точке. [c.257]

Т2<Т1. Так как в этом случае по.яутраектория является частью полутраекторип дг2 (рис. 14()), то, воспользовавшись теоремой о непрерывной зависимости от начальных условий, нетрудно видеть, что траектория Ь ю-орбитно-устойчива также и в точке М - [c.258]

Определение XVI. Траектория, не являющаяся со (а) орбитно-устойчивой, называется ш а)-орбитно-неустойчиеой траекторией ). [c.259]

Простейшие примеры орбитно-устойчивых и орбитио-иеусто11чи-вых траекторий. Поясним введенные понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. [c.260]

Во.змоишые типы орбитно-неустойчивых полутраекто )И11 и траекторий. Перейдем теперь к выяснению того, какие пз траекторий рассматриваемых нами /цшамических систем второго порядка являются орбитно-устойчивыми, а какие орбитно-неустойчивыми. [c.262]

Будем называть особыми траекториями все ограничеипые орбитно-неустойчивые траектории и, кроме того, также состояния равновесия, являющиеся орбитно-устойчивыми (центры). [c.284]

Б этом случае к множеству особых траекторий, целиком лежащих в замкнутой области G (т. е. к множеству лежащих в G орбитно-неустойчивых траекторий с добавлением всех орбитно-устойчивых состояний равновесия), присоеднпяется еще конечное число дуг без к01ггакта, дуг траекторий и некоторых полутраекторий, характеризующих нормальную границу той области G, в которой рассматривается динамическая система. [c.285]

Очевидно, точки ячеек принадлежат а) либо целым неособым (орбитно-устойчивым) траекториям б) либо неособым (орбитно-устойчпвым) полутраекториям, коицы которых лежат па граинчно дуге без контакта [c.288]

Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической системы в плоской области, называть особой траекторией или особтлм элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособои. Будем также называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории. Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет место лемма, доказательство которой проводится так же, как и дока .а-тельство леммы 1. [c.290]

Так как полутраектория Ь орбитно-устойчива, то она непродолжаема относительно окружности С, и, следовательно, (см. теорему 38) существует часть АВ дуги I, содержащая точку Мо внутри, такая, что всякая траектория, пересекающая эту часть АВ, при возрастании i не выходит из окружности С и стремится к состоянию равновесия О (см. определение ХУ1П). [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...