Сепаратрисы состояния равновесия

Всякую орбитно-неустойчивую полутраекторию, стремящуюся к состоянию равновесия О, мы будем называть сепаратрисой этого состояния равновесия. При этом положительную полутраекторию будем называть ш-сепаратрисой состояния равновесия О, а отрицательную -сепаратрисой состояния равновесия О. Мы будем также называть сепаратрисой [c.277]

Т е о р е м а 60. Всякая ш или а)-сепаратриса состояния равновесия [c.321]

Тогда существует по крайней ли ре одна ш-сепаратриса и по крайней мере одна а-сепаратриса состояния равновесия О, каждая из которых является полутраекторией, либо лежащей между полутраекториями и либо совпадающей с одной из этих полутраекторий. [c.322]

Лемма 5. Пусть между полутраекториями и Ь / не лежит ни одной петли и ни одной сепаратрисы состояния равновесия О, но лежит не являющаяся сепаратрисой полутраектория и стремящаяся к состоянию равновесия О. Тогда у всякой траектории, проходящей через точки достаточно малой окрестности II (О), одна из полутраекторий лежит между полутраекториями Ь и (т. е. не выходя из сектора стремится к состоянию равновесия О). При этом лежащие между полутраекториями и полутраектории, а также сами полутраектории 1 и все положительны или все отрицательны в зависимости от того, положительна или отрицательна полутраектория и . [c.325]

Лемма 6. Пусть при любом е > О существует точка области g, лежащая в е-окрестности точки О такая, что проходящая через нее траектория и при возрастании и при убывании I выходит из окружности С. Тогда существует по крайней мере одна (о- и одна а-сепаратриса состояния равновесия О, одна из которых может совпадать с полутраекторией Лемма 7. Если ни через одну точку криволинейного сектора g не проходит сепаратриса состояния равновесия О, но существует не являющаяся сепаратрисой полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия О, то существует е>0 такое, что через точки 11 (О) не проходят траектории и при возрастании и при убывании I, выходящие из окружности С. [c.326]

Лемма 8. Пусть циклическом секторе д не лежит ни одной петли и ни одной сепаратрисы состояния равновесия О, но существует лежащая [c.326]

Одна из входящих в границу сектора g полутраекторий положительна, а другая отрицательна, и эти полутраектории не являются сепаратрисами. Поэтому в силу следствия из леммы 5 либо существуют лежащие в секторе g а- и со-сепаратрисы состояния равновесия О, либо в этом секторе лежит петля о. В последнем случае эллиптическая область ga отлична от области ga, так как эти области содержатся соответственно в двух областях g и g, не имеющих общих точек. Лемма доказана. [c.329]

Сейчас мы будем выделять их, т. е. мы будем выде.лять все особые полутраектории, стремящиеся к состоянию равиовесия О, как являющиеся его - и а-сепаратрисами, так и не являющиеся. Для того чтобы описать расположение этих особых полутраекторий по отношению к сепаратрисам состояния равновесия О, а также по отношению друг к другу, мы введем понятие полной (глобальной) схемы состояния равновесия. Это понятие играет основную роль при установлении топологической структуры разбиения на траектории в целом (а не только в окрестности данного состояния равновесия ). [c.356]

У всякой негрубой системы (А) непременно существует по крайней мере одна негрубая особая траектория, т. е. либо негрубое состояние равновесия, либо негрубый предельный цикл, либо негрубая сепаратриса состояния равновесия. [c.163]

Особые траектории сшитых систем. Рассмотрим теперь вопрос об особых траекториях сшитых динамических систем. Очевидно, все особые траектории каждой из частичных систем (Ai), целиком лежащие в этих областях (состояние равновесия, предельные циклы сепаратрисы состояний равновесия, лежащие в Gi), являются особыми траекториями сшитой динамической системы. Кроме того, рассмотрим другие особые траектории склеенной системы. [c.363]

В сепаратрису состояния равновесия (л, 0), образующую петлю, и исчезает. 2) Точка пересечения переходит на горизонтальный участок линии v u) (рис. 228, е). На цикле при этом появляется [c.430]

Появление предельных циклов из сепаратрисы, идущей из седла в седло, и из сепаратрисы состояния равновесия седло-узел при его исчезновении. Скажем несколько слов еще о двух простейших случаях рождения предельного цикла (и соответственно исчезновения предельных циклов), именно, о рождении предельного цикла при исчезновении сложной особой точки и о рождении [c.477]

Оказывается, что для выяснения качественной картины для системы второго порядка нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых из них, называемых особыми траекториями. К последним относятся состояния равновесия, предельные циклы и незамкнутые траектории, у которых хотя бы одна полутраектория (т. е. кривая, описываемая изображающей точкой при t +00 или при — XD из начального положения точки в момент времени t = о) является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия. Если взаимное расположение этих особых траекторий известно и, кроме того, определена устойчивость состояний равновесия и предельных циклов, то мы получаем полную качественную картину разбиения плоскости ху на траектории. [c.42]

Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43]

Итак, в грубой системе существуют лишь такие состояния равновесия, для которых А О и для которых а Ф О, если А > 0 лишь такие предельные циклы, для которых ft =5 0 лишь такие сепаратрисы, которые не идут из седла в седло. Эти условия накладывают ограничения и на типы ячеек, возможных в грубых системах [I, 2]. [c.45]

Для О < р- < 2 сепаратрисы порождаются лишь состоянием равновесия, расположенным на оси V. Интересующий нас ус седла, выходя из этого состояния равновесия, [c.165]

Рис. 1. Устойчивая и неустойчивая Wj сепаратрисы седлового состояния равновесия О.

Из рассмотрения рис. 21.14, б видно, что для начальных условий в областях внутри сепаратрис система совершает периодические движения около устойчивых положений равновесия х = Хо или х= —Лр). В начале координат — неустойчивая особая точка —седло (неустойчивое состояние равновесия). [c.523]

Рассмотрим сепаратрисы состояния равновесия О (см. 15). Вследствие предположения о конечном числе орбнтно-неустойчивых траекторий у рассматриваемой системы (I), очевидно, существует лшпь конечное ЧИС.Г10 сепаратрис всякого данного состояния равновесия О. При этом имеет место следующая теорема, непосредственно вытекающая из пред-положедия о конечном числе особых траекторий и леммы 5 15. [c.321]

Одна из полутраекторий является ю-сепаратрисой, а другая — сс-сепаратрисой состояния равновесия О. В секторе g/,, т. е. между и не лежит ни одна сепаратриса, а в рассматриваемом случае не лежит также ни одна петля (так как всякая иетля, содержащаяся внутри окрун ности С, лежит в каком-нибудь эллиптическом секторе). Поэтому рассматриваемый сектор заведомо не является эллиптическим. А тогда нетрудно убедиться на основании леммы 4 17 и следствия из леммы 5 17, что все проходящие через точки сектора gk траектории и прп возрастании и при убывании t выходят из этого сектора и сепаратрисы и являются продолжением одна другой. Такой сектор мы назвали (см. п. 2 17) гиперболическим сектором (рис. 205, в). [c.349]

Рассмотрим теперь наряд5 с со- и а-сепаратрисами состояния равновесия О все стремящиеся к этому состоянию равновесия полутраектории орбитно-неустойчивых траекторий области G, не являющиеся его сепаратрисами, и неренумер5 ем все эти полутраектории (вместе с сепаратрисами) i [c.357]

При 2 = 0 эта система имеет два состояния равновесия 1) Т1 = О, 2 = О, 2) Тг = — а, 2 = 0. Полностью аналогично рассмотрению, проведенному в примере 7, можно показать, что состояние равновесия т = 2 = О — седло-уэел, причем узловая область лежит в области 2 >0, седловые — в области 2 < О, а полуоси оси 2 = 0 — сепаратрисы. Состояние равновесия 2 = 0, т = —а—устойчивый узел. С помощью преобразования Пуанкаре [c.505]

Бифуркации рождения периодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слова направо) или исчезновения (если справа налево) периодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Т- ж (или частота оу- О) при ц, - 0, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. является возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор. Предельный цикл — образ модулир. колебаний — при этом рождается из петли сепаратрисы седло — узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет оиределить свойства нового режима, возникшего после перехода через критич. точку,— возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции. [c.211]

Критерии поведения траекторий. При исследовании конкретных систем ванаю знать типы состояний равновесия, периодич. движений, поведения сепаратрис. Существуют критерии, позволяющие определить их непосредственно по ф-лам, задающим правые части систем дифференц. ур-пий. Для систем с двумерным фазовым пространством методы исследования развиты настолько глубоко, что многие задачи удаётся решить до конца. Примером подобного критерия для систем на нпоскости служит критерий Бендиксона — Д юлака если для системы ж, ( i, 3), л-2=/2 2) существует гладкая ф-ция В (л-i, х ) такая, что выражение д [Bii) дх - -д Bf ldx знакопостоянно в односвязной (двусвязной) области, то в этой области отсутствуют замкнутые траектории (не может быть более одной замкнутой траектории). [c.627]

Критерий Шильникова сформулируем лишь для систем с трёхмерным фазовым пространством. Пусть система xi = Xi x , х , Жд), i —1, 2, 3, имеет состояние равновесия О ж = а , характеристич. ур-ние для к-рого имеет положит, корень Яз>0 и два ко.мплекс-но сопряжённых — Re i,2=a<0 и 7,з+а>0. Пусть также одна из траекторий одномерной неустойчивой сепаратрисы точки О лежит на двумерной устойчивой, образуя петлю сепаратрисы Г. При этом как для данной системы, так и для всех близких к ней в окрестности Г существует сложная структура траек- [c.627]

СЕПАРАТРИСА (от лат. зерагаЬй) — траектория динамической системы С двумерным фазовым пространством, стремящаяся к седловому состоянию равновесия при времени - оо устойчивая С.) или при г —>— оо (неустойчивая С.). Если С. стремится к седлу при < < , то её (вместе с седлом) называют петлей С. [1,2]. В диссипативных динамич. системах из петли С. может рождаться предельный цикл [2]. В консервативных динамич. [c.487]

Смотреть страницы где упоминается термин Сепаратрисы состояния равновесия : [c.277] [c.325] [c.326] [c.330] [c.348] [c.348] [c.349] [c.353] [c.409] [c.437] [c.60] [c.145] [c.365] [c.430] [c.166] [c.238] [c.232] [c.610] [c.313] [c.265] [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...