Уравнения, связывающие компоненты напряжения

Уравнения, связывающие компоненты напряжения. Из элементов теоретической механики известно, что главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих на любое материальное тело, находящееся в равновесии, равны нулю. В случае абсолютно твердого (или, как мы кратко будем говорить, жесткого) тела это условие дает систему шести конечных уравнений, вполне характеризующих состояние равновесия. В случае же деформируемого тела упомянутое условие, если его применять ко всему телу как целому, далеко не дает всех элементов, характеризующих равновесие. Однако из этого условия можно и в нашем случае извлечь уравнения, дающие (в совокупности с законом, выражающим зависимость между напряжениями и деформацией, о чем будет речь впереди) все необходимые соотношения. Но для этого упомянутое условие следует применить не только ко всему телу, как целому, а к каждой части, которую можно мысленно из него выделить. [c.20]

Исключая Ух из (70.7) и из (70.8) путем дифференцирования и вычитания, мы получим два уравнения, связывающие компоненты напряжения. Вводим затем две функции напряжений/ 1 (г, 6) и г] (г, 9), как в задачах о плоской деформации и о кручении [c.340]

Для того чтобы система уравнений Рейнольдса стала замкнутой, необходимо ввести дополнительные шесть уравнений, связывающих компоненты турбулентного напряжения с осредненными составляющими скоростей. [c.267]

Если же функции и, v, w не известны и ищутся компоненты напряжения и деформации, то условия (6.23) выступают как уравнения и именно как те дополнительные уравнения, которые совместно с уравнениями равновесия (5.59) (при учете (5.1)) позволяют раскрыть статическую неопределимость задачи механики сплошной среды. Разумеется, что для совместного использования уравнений (5.59) и (6.23) необходимо иметь зависимости, связывающие компоненты напряжений с компонентами деформаций, чтобы во всех уравнениях содержались одни и те же неизвестные величины. Такие зависимости отражают физическую природу материала и рассматриваются в главе VII. [c.473]

К приведенным уравнениям следует присоединить соотношения, связывающие компоненты напряжения с приращениями компонентов деформации это будут соотношения (14.8), в которых нужно отбросить слагаемые, относящиеся к упругой деформации, т. е. соотношения теории пластичности Сен-Венана — Мизеса (14.14). [c.136]

Имея эти соотношения, мы в состоянии преобразовать уравнения движения или равновесия в напряжениях ( 285 главы VII) к уравнениям, связывающим компоненты деформации, и, следовательно, далее, к уравнениям относительно компонентов смещения и, v, w. [c.404]

В 3 были установлены дифференциальные уравнения движения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации. Такое преобразование мы проведём лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщённая гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями (11.1) и (11.16) главы I. [c.90]

Обычно в механике сплошных сред уравнения течения делятся на общие динамические уравнения, описывающие течения всех сплошных сред, и реологические уравнения, связывающие компоненты тензора напряжения в точках данной среды с компонентами тензора скоростей деформации в этих же точках. Реологические уравнения характеризуют течение конкретной исследуемой среды и, как правило, дают неоднозначные соотношения, обусловленные присутствием в этих уравнениях второго инварианта тензора скоростей деформации. Поэтому в дальнейшем под неоднозначностью уравнений понимается неоднозначность именно такого вида, т. е. связанная с неопределенностью знака компонент напряжения или скоростей деформации. Достаточно подробно проблема подобного рода неоднозначности, но применительно к исследованиям течений пластических сред, рассмотрена в работе Л.М. Качанова [50]. Применительно к задачам исследования пластических течений она решена в работах Б. Сен-Венана (1871 г.) [76] и М. Леви (1871 г.) [54] таким образом, что неоднозначность сохраняется только в одном уравнении (обобщенное уравнение деформирования или условие пластичности). [c.54]

Тогда уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений of ) [c.283]

Третье уравнение, связывающее компоненты тензора напряжений, является условием текучести [c.50]

Уравнение, связывающее функцию напряжений ф с прогибом ш, можно получить из выражений для компонентов деформации с использованием закона Гука [c.380]

Аналогично, но с другими индексами, записываются модули сил, приложенных к площадкам dS и dS3. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряжения описываются совокупностью девяти величин стц (i, к = 1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства изотропных сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона д. (1.4) и модулем всестороннего сжатия к (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы эти деформации или нет. [c.22]

Эти уравнения, связывающие компоненты V, вектора скорости и тензора напряжений являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (импульса) для бесконечно малого объёма среды. [c.35]

Эти уравнения, связывающие компоненты щ вектора скорости и тензора напряжений [c.72]

Общие соотношения. Процесс пластической деформации является необратимым, ббльшая часть работы деформации переходит в тепло. Напряжения в конечном состоянии зависят от пути деформирования. В связи с этим уравнения, описывающие пластическую деформацию, в принципе не могут быть конечными соотношениями, связывающими компоненты напряжения и деформации (аналогично соотношениям закона Гука), а должны быть дифференциальными (и притом неинтегрируемыми) зависимостями. [c.49]

Вязкость ньютоновских жидкостей определяется уравнением (1-9.4) как половина коэффициента пропорциональности в зависимости, связывающей тензор напряжений т с тензором растяжения D. Уравнение (1-9.4) предполагает, что компоненты тензора напряжений должны быть пропорциональны соответствующим компонентам тензора растяжений для любого заданного участка течения. Одним из хорошо известных следствий уравнений Навье — Стокса (уравнение. (1-9.8)) является закон Хагена — Пуазейля, связывающий объемный расход Q в стационарном прямолинейном течении жидкости по длинной круглой трубе с градиентом давления в осевом направлении [c.55]

Переход от деформированного состояния к напряженно-му осз ествлялся по методике, изложенной в /9/. При этом решали совместно уравнения равновесия, условия пластичности и соотношения, связывающие компоненты тензора напряжений и деформаций в пластической области. [c.48]

Остается определить осредненные (по композиту) приращения деформации ползучести, происходящие в течение первого интервала времени. Это делается путем вычисления системы упругих узловых сил, необходимых для удвоения приращений деформации ползучести каждого треугольного конечного элемента. Процедура включает в себя только законы a(s) компонентов композита и уравнения, связывающие узловые силы и напряжения в каждом элементе. Приложение системы узловых сил к массиву конечных элементов (с подходящими ограничениями, вытекающими из условий симметрии) и последующий упругий анализ этого массива прямо приводят к осредненным (по композиту) приращениям деформации ползучести и приращениям напряжения для первого интервала времени. Эти приращения добавляются к напряжениям и деформациям, соответствующим времени / = О, что приводит, таким образом, к напряженно-деформированному состоянию композита в момент времени t = At. Такое вычисление можно повторить п раз до получения напряженно-деформи-рованного состояния в каждом конечном элементе и в композите к моменту времени t = пМ. [c.268]

Аналогично выводятся и два других уравнения обобщенного закона Гука, связывающие компоненты линейных относительных деформаций с напряжениями в главных осях [c.497]

Внося в формулы (1.4.53) параметры, найденные из решения системы (1.4.56), получаем искомые значения действительных компонентов напряжений. Компоненты деформаций оп-ределяю-гся по формулам (1.4.54). Для определения перемещений требуется проинтегрировать уравнения, связывающие деформации с компонентами перемещения. [c.51]

Покажем, что при постоянных объемных нагрузках X = pg и F — PSv решение задачи о плоском деформированном состоянии в напряжениях сводится к решению того же бигармонического уравнения (2.8), к которому была сведена задача о плоском напряженном состоянии. Действительно, уравнения равновесия и зависимости, связывающие компоненты деформаций Р у, Уху с перемещениями и и v, в этих двух задачах полностью совпадают различие между ними заключается только в зависимостях закона Гука, связывающих компоненты деформаций с компонентами напряжений. Преобразуем формулы (2.11) и (2.12), введя новые обозначения [c.39]

Для получения аналитических решений уравнений теории пластичности делается ряд упрощающих предположений. Очень широко применяется, например, предположение о постоянстве напряжений в области пластических деформаций. Соответствующую математическую модель материала называют идеально пластической. Уравнение, связывающее напряжения в области пластических деформаций с некоторой константой материала, называется поверхностью текучести. Экспериментально показано, что приложение гидростатического давления практически не вызывает пластического течения в теле, поскольку приводит лишь к объемной деформации при отсутствии деформаций сдвига. Таким образом, любое условие текучести должно зависеть не от давления Р, а от некоторых функций компонент тензора девиатора напряжений В случае идеально пластического тела поверхность текучести является одновременно критерием перехода от упругих деформаций к пластическим, а п .е-дел упругости и предел пластичности совпадают. [c.73]

И, наконец, что следовало бы отметить здесь. Закон Гука, как известно, может быть представлен как совершенно общая система определяющих уравнений, связывающих все компоненты напряжений со всеми компонентами деформаций. В разделе 4.35 этой книги я опишу недавние эксперименты, которые обеспечили базу для получения мною аналогично обобщенных определяющих соотношений в терминах параболической функции отклика при конечных деформациях. [c.265]

Здесь Ui p)—вектор перемещений в произвольной внутренней точке р(х) Ui Q) и ti(Q)—граничные значения перемещений и вектора напряжений. Ядра-функции Tij p, Q) и Uij p,Q) описывают направленные вдоль Xi компоненты векторов напряжений и перемещений в точке Q(x) в результате действия единичной нагрузки в направлении Xj в точке р(х)2), В уравнении (9) учитывается вся совокупность условий на границе в общем случае в корректно поставленной задаче теории упругости задаются значения tj на части границы 5 и значения Uj на оставшейся части Su- При стремлении р х) к точке границы Р х) уравнение (9) переходит в систему интегральных уравнений, связывающую перемещения точек границы и действующие на границе усилия. Следуя [7, 8], можно получить граничное интегральное уравнение [c.53]

Для замыкания системы уравнений относительно пяти неизвестных функций Ох, Оу, %ху, Ох, Vy используется ассоциированный закон пластического течения, связывающий компоненты девиатора напряжений с компонентами тензора скоростей деформаций [c.55]

В параграфе приводятся основные уравнения теории пластической наследственности, связывающие компоненты тензоров деформации и напряжений, с учетом ползучести и старения материала в случае плоского деформированного состояния тела. Решается задача о равновесии полуплоскости, находящейся в условиях нелинейной ползучести, под действием сосредоточенной силы, приложенной нормально к ее свободной поверхности. Доказывается, что решение плоской контактной задачи нелинейной теории ползучести сводится к совместному решению двух связанных между собой интегральных уравнений. Приводятся решения этих уравнений для случаев симметричного и кососимметричного нагружения контактирующих тел. [c.221]

Тогда, разрешая уравнения (1.3), связывающие компоненты тензора деформации с компонентами тензора напряжений в условиях на-линейной ползучести, относительно [оГг( ) -сг( )], [<т ( ) < (01 Trд t) и принимая во внимание соотношения (1.4), (1.5) и (1.6), получим [c.224]

Все уравнения МСС и граничные условия суть уравнения, связывающие между собой различные размерные величины Qt, среди них — геометрические и механические координаты и перемещения X, и=дс—X, время /, скорость V, ускорение лу, векторы базиса Э1, массовая Р и поверхностная Р > силы, напряжения физические 01/, компоненты тензора напряжений 5//, деформации е//, скорости деформаций Vi , работа Л, мощность R, кинетическая энергия К, различные механические константы среды — модуль упругости Е, коэффициент вязкости 1 и ряд других термодинамические температура 7, количество тепла Q, тепловой поток д, внутренняя и свободная энергия и, -ф, энтропия 5, рассеяние ш, коэффициенты теплоемкости с, теплопроводности X, расширения а и т. д. и величины р электромагнитной (Е, Н, в, о. е. . . ) и другой природы. [c.278]

Основной задачей является получение уравнений состояния, т. е. соотношений, связывающих компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций e j и температурой Т. [c.11]

Уравнения состояния для анизотропных тел, связывающие компоненты тензора напряжений 0,7 с компонентами тензора деформаций 1/ И температурой 0, получим, исходя из следующего выражения свободной энергии [c.10]

Формы представления моделей элементов схем. При моделировании компонентами электронной схемы являются резистор, конденсатор, катушка индуктивности, отдельный электронный прибор в дискретном или интегральном исполнении, источник тока или напряжения и т. п. Элементом электронной схемы может быть как компонент, так и типовой фрагмент схемы (вентиль, триггер и т. п.). Математическая модель электронной схемы при анализе на ЭВМ — система обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающая токи и напряжения в различных компонентах схемы. Математическая модель схемы, полученная непосредственным объединением моделей компонентов в общую систему уравнений на основе топологических уравнений, называется полной моделью схемы. Математическая модель схемы, являющаяся более простой по затратам времени и памяти ЭВМ на ее реализацию, чем полная модель, называется макромоделью схемы. Типовые фрагменты схемы (функциональные узлы) состоят из отдельных компонентов, поэтому модели таких фрагментов в составе сложных электронных схем являются макромоделями. Следовательно, можно выделить два основных типа моделей элементов электронных схем модели компонентов и макромодели функциональных узлов. [c.128]

В главе VIII ( 285) мы с помощью теорем динамики вывели три уравнения, связывающие компоненты напряжения ( дг,... ) С помощью этих уравнений можно определить напряженное состояние. Мы заметили, что для полного определения напряженного состояния одних этих уравнений недостаточно, потому что число независимых компонентов напряжения равно шести. Решение будет возможно, если мы, подобно тому как в главе IV, сможем выразить компоненты напряжения как функции шести компонентов деформации. На самом деле, в главе IX ( 294—295) мы видели, что все компоненты деформации можно выразить как функции трех независимых величин смещений и, v, w. Если мы проведем все эти подстановки в наших динамических уравнениях, то в конце концов мы получим три уравнения с тремя неизвестными. [c.397]

Система уравнений (7.71) — (7.78) содержит восемь уравнений (три закона сохранения, уравнение линии тока, уравнения для Энергии дисторсии и упругой дисторсии 1Ру и два уравнения, связывающих компоненты девиатора напряжений с компонентами девиато-ров деформаций и скоростей деформаций) и девять функций Р, V, , г, и, Зг, 82, у. Девятым уравнением, делающим систему [c.225]

Введение. В то время как в первом томе предполагалось, что в процессе упругого или необратимого деформирования твердого тела температура остается постоянной, в этой главе будут рассматриваться различные случаи, когда температура изменяется при нагружении или разгрузке. В приложениях можно встретить р-яд простых тепловых явлений, для описания которых достаточно включить температуру как характеристику состояния в уравнения, связывающие компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений так будет, например, в случае, когда нужно определить температурные напряжения в неравномерно нагретом теле. В других случаях бывает необходимо использовать первое и второе начала термодинамики и учитывать превращение внешней механической работы или внутренней энергии упругого деформирования в тепло и наоборот, как, например, в случае, когда нужно определить изменение температуры упругого тела или жидкости, происходящее в результате мгновенного деформирования или внезап- ного приложения нагрузки. [c.15]

Присоединим к уравнениям (7.1)—(7.2) условие несйшмаемо-сти и уравнения., связывающие компоненты тензора скоростей деформации с компонентами тензора напряжений [c.51]

В статье, опубликованной в 1843 г., Сен-Венан ссылается на цитированные выше работы Навье, Пуассона и Коши и показывает возможность вывода уравнений движения вязкой жидкости с помощью видоизменения положений теории упругости о пропорциональности касательных напряжений деформациям сдвига без применения гипотез о притяжении и отталкивании отдельных частиц. Он вводит в рассмотрение направления главных скоростей скошения и главных тангенциальных напряжений, принимает гипотезу о совпадении этих направлений при движении жидкости и в конце концов получает два вида соотношений 1) соотношения пропорциональности разностей нормальных напряжений разностям соответственных скоростей удлинений и про-цррциональности касательных напряжений соответственным скоростям сдвига с общим коэффициентом пропорциональности, представляющим собой коэффициент вязкости жидкости, и 2) соотношение, связывающее линейной неоднородной зависимостью среднее арифметическое от нормальных напряжений со скоростью объёмного расширения. Из этих соотношений Сен-Венан получает соотношения Пуассона и Коши для отдельных компонент напряжения. В другой статье, в том же томе Докладов Парижской Академии наук (стр. 1108—1115) Сен-Венан применяет уравнения движения вязкой жидкости к случаю течения [c.19]

Что касается других сред, рассмотренных в 12 главы I, то дифференциальные уравнения движения таких сред можно выразить через составляющие вектора скорости лишь в тех случаях, когда соотношения, связывающие напряжённое состояние с состоянием деформаций, могут быть разрешены относительно всех компонент напряжений. Во всех других случаях необходимо соотношения связи напряжени " е деформациями рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения среды в напряжениях. [c.93]

Рассмотрим наиболее общие уравнения теории ползучести неоднородных стареюпщх тел (1.28), (1.29). Их можно объединить в одно соотношение, связывающее компоненты тензоров деформации и напряжений [25, 38] [c.20]

Следовательно, и восприимчивость среды х получила нелинейную добавку, пропорциональную Е . Но в таком случае поляризация среды Р = хЕ также должна содержать нелинейную компоненту, пропорциональную третьей степени амплитуды поля. Другими словами, самовоздействие света, рассмотренное выше, является одним из нелинейнооптических эффектов, описываемых нелинейной поляризацией среды, кубической по полю. Это обстоятельство наводит на мысль о том, что для теоретического описания распространения световых волн в нелинейных средах в уравнениях Максвелла необходимо считать связь электрического смещения О с напряженностью электрического поля Е нелинейной, т.е. соответствующим образом модифицировать материальное уравнение, связывающее эти величины. [c.194]

Мы можем выразить лсвую часть (11) через компоненты напряжения при помощи равенств, связывающих последние с величинами X,, У и уравнений движения. После этого мы получим левую часть в виде суммы членов, содержащих явно величины и да. [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...