Простейшие случаи малых колебаний

Простейшие случаи малых колебаний [c.188]

Колебательные движения системы имеют особенно простой характер в случае малых колебаний, когда мало смещение системы из положения равновесия. [c.165]

Почти в каждом более сложном случае колебаний действие трения будет таким же, как и в разобранном более простом случае. Амплитуда колебания медленно уменьшается, а частоты собственных колебаний становятся немного меньше. Обычно это изменение частоты настолько мало, что учёт его не представляет интереса. [c.42]

Такой же критерий (соотношение между размером неоднородностей и длиной волны) определяет роль макроскопических неоднородностей. Если сплошное тело (помимо неоднородностей, обусловленных атомной структурой, которые можно не учитывать) макроскопически неоднородно, например, упругий стержень составлен из сильно прижатых друг к другу чередующихся одинаковых латунных и алюминиевых цилиндров ), то для нормальных колебаний, соответствующих волнам, длина которых значительно превышает высоту одного цилиндра, стержень можно рассматривать как однородный, обладающий средней плотностью и средней упругостью. При расчете же нормальных колебаний, длина волны которых сравнима с высотой цилиндра, необходимо учитывать неоднородность стержня. При наличии неоднородностей решение задачи о колебаниях сплошных систем настолько усложняется, что удается рассмотреть только самые простые случаи, например системы с малой неоднородностью или очень плавно меняющимися вдоль длины системы свойствами. [c.697]

Отсюда следует, что рассматриваемое движение является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты, что в общем случае приводит к эллиптической орбите. Известным примером такого движения служат малые колебания сферического маятника. Заметим, между прочим, что обычные фигуры Лиссажу получаются в результате сложения двух взаимно перпендикулярных синусоидальных колебаний, частоты которых относятся как целые числа. Следовательно, движение под действием центральной силы / = —kr дает нам простейшую из фигур Лиссажу. [c.84]

Колебания системы со многими степенями свободы. Задачи, относящиеся к малым колебаниям системы с многими степенями свободы, естественно, несколько сложнее во всяком случае так обстоит дело, если их решать прямыми методами. Следующая задача есть одна из наиболее простых этого рода она является естественным обобщением задачи 1 из 44. [c.176]

Вывести, в частности, из предыдущих формул, что при 6 = 0 будем иметь устойчивое равновесие только в том случае, если > , и что в этом предположении при малых колебаниях около положения устойчивого равновесия система ведет себя как простой маятник длиною [c.64]

Теория устойчивости и колебаний таких систем весьма сложна, и в ней имеется ряд не до конца разрешенных вопросов. В данной главе приведены постановка задачи, различные формы уравнений движения, их первые интегралы, рассмотрены простейшие случаи движения. Указаны вошедшие в инженерную практику алгоритмы расчета малых колебаний системы. Даны основные определения устойчивости движения систем твердых тел с полостями, частично или целиком заполненными жидкостью, соответствующие теоремы прямого метода Ляпунова, рассмотрены примеры. [c.280]

В частных случаях может оказаться, что два (или более) периода нормальных колебаний системы совпадают. Тогда характер нормальных колебаний оказывается не вполне определенным. Наиболее простым примером является колебание сферического маятника или частицы колеблющейся внутри сферической чашки с гладкой поверхностью. В этом случае можно считать, что направления движения при нормальных колебаниях задаются любыми двумя горизонтальными прямыми, проведенными через положение равновесия. С теоретической точки зрения эти совпадения можно считать случайными, поскольку они нарушаются при сколь угодно малом изменении устройства системы (например, при небольшой эллиптичности чашки в приведенном выше случае), однако на практике они часто приводят к интересным результатам (см. ниже, 53). [c.66]

Легко понять, что из всех слагаемых под знаком суммы в соотноше НИИ (20) доминировать будет слагаемое, для которого Wj Wg. Иными словами, если резонатор (маятник, колебательный контур, объемный резонатор и т. п.) обладает высокой добротностью (малое значение 7) и настроен на частоту одной из гармонических слагаемых внешней силы (а и) ) то вклад остальных слагаемых пренебрежимо мал. Таким образом, резонатор есть анализатор гармонических колебаний он откликается не просто на периодические колебания, а на гармонические, и выделяет колебание, на частоту которого настроен. Как будет отличаться результат воздействия силы /(i) на линейный осциллятор с собственной частотой когда /,(i) = а, os ( ч-у ,) и /2(i) = 2 (2i< o +V 2)+< 3 os (З ц + з) В первом случае отклик будет значительным, во втором — слабым, потому что сила/2(0 не содержит косинуса нужной частоты. [c.96]

Система уравнений (6) есть система алгебраических уравнений, исключив в которой Y , 2,,,. >, мы получим возможность найти п значений. Каждое найденное значение о будет соответствовать нормальному колебанию, число которых равно числу тел. Конечно, решение системы (6) легко получить в общем виде, следуя стандартным методам, Однако, для лучшего понимания характера решения и физики данной задачи разумно рассмотреть сначала простые случаи, когда на струне мало тел, как это сделано в [50]. Пусть те == 1. Тогда нам достаточно взять из системы [c.157]

Влияние диссипативных сил на малые колебания системы около устойчивого положения равновесия. До сих пор рассматривались малые колебания механических систем. При этом предполагалось, что на систему наложены идеальные связи и всякое сопротивление движению системы отсутствует. На самом деле на всякую механическую систему действуют некоторые силы сопротивления. В общем случае характер этих сил очень сложный и каждый раз определяется экспериментально. В простейшем случае предполагается, что силы сопротивления, действующие на каждую точку системы, пропорциональны скорости движения соответствующей точки и направлены в сторону, противоположную скорости движений этой точки. [c.568]

Колебания оболочек, заполненных жидкостью. Свободные колебания заполненных частично или целиком сосудов имеют, естественно, два качественно различных участка спектра. При низких частотах колеблется жидкость, оболочка же является практически безынерционной (квазистатической). При высоких частотах, наоборот, колеблется оболочка, увлекая при этом в движение вместе с сосудом некоторый объем жидкости. Несмотря на возможные упрощения (идеальная жидкость, малые колебания), задачи гидроупругости являются далеко не простыми даже в случае осесимметричных колебаний оболочек вращения — ведь движение жидкости и тогда определяется двумерным волновым уравнением. [c.256]

В теории малых колебаний, ку.юме задачи о собств. колебаниях П., возможна постановка задачи о распространении волн заданной частоты. В этом случае требуется определить пространств, зависимость колеблющихся величин. В простейшем случае эта зависимость имеет вид ехр (ikr), где к — комплексный вектор. Вместо к иногда (зывает удобнее пользоваться комплексным показателем преломления JV OJO действит. часть определяет фазовую скорость волны, а мнимая — описывает изменение амплитуды волны в пространство напр., затухание). [c.19]

В некоторых простейших случаях для учета местных деформаций могут быть использованы непосредственно -результаты, полученные в предыдущем разделе. Это можно сделать в том случае, если время соударения Т мало по сравнению с периодом собственных колебаний системы. Так, например, рассматривая удар груза т, по грузу /Пг (фиг. 238), удерживаемому пружиной с коэффициентом податливости , пренебрегая воздействием пружины за время контакта, найдем величину максимального сближения (81), максимального контактного усилия (82) и продолжительность контакта (83). При выводе этих формул предполагалось, что груз является свободным и что движение его описывается вторым из уравнений (77). Из этого уравнения следует, что к концу соударения скорость груза составит [c.542]

Решение нестационарной задачи о деформациях упругого тела, вызываемых некоторыми динамическими источниками (силами), можно строить двумя путями. Первый путь — непосредственное вычисление и суммирование волн прямой (распространяюш,ейся от места приложения нагрузки) и отраженных от границ тела второй — представление решения в виде суммы (ряда, интеграла) некоторых стационарных состояний тела (свободных колебаний). Кроме некоторых простых случаев, первый путь практически пригоден для построения решения лишь в начале процесса при малом числе отражений и в прифронтовой зоне волны, где указанная сумма также может состоять из малого числа членов. [c.134]

Во всех случаях, когда можно предположить, что движение колеблющегося тела является простым гармоническим движением, чти обычно справедливо для малых колебаний ), можно вычислить частоту колебаний по уравнению (14). Предположим, что движение описывается уравнением x XQ5 np . Тогда (дг) ,ах= Подставив в уравнение (14), находим [c.24]

Более сложными представляются зависимости а(т,8Ь) для высоких Мо, но и в этом случае наличие дозвукового спутного потока делает струю более неустойчивой к малым колебаниям. Характер изменения волнового числа а т) более прост и для всех чисел Маха одинаков наличие спутного движения приводит к росту длины волны возмущения. [c.129]

При наличии инверсной населенности уровней энергии 2 и i активной среды ( 2> i), т. е. при выполнении условия N2lg2>N)gi (Ni, Nu 2, g — населенности н кратности вырождения уровней 2, i) вынужденное излучение превалирует над поглощением и свет с резонансной частотой ш = 2— i/h усиливается при прохождении через среду. Усиленный таким образом свет люминесценции активной среды называют излучением сверхлюминесценции. Для возникновения генерации вводят положительную обратную связь, располагая активную среду в оптическом резонаторе, который в простейшем случае представляет собой два параллельных зеркала. Одно из зеркал резонатора делается полупрозрачным для частичного вывода излучения. Пространственное распределение поля генерируемого излучения соответствует собственным колебаниям резонатора, называемым модами. Различают продольные и поперечные моды, относящиеся к распределению поля вдоль оси резонатора и в плоскости, перпендикулярной оси. Искусственное снижение добротности резонатора позволяет достичь значительного коэффициента усиления активной среды без возникновения генерации. Последующее быстрое включение добротности приводит к генерации мощных световых импульсов малой длительности (гигантских импульсов). [c.895]

Стабилизация состояния равновесия посредством гиростл-тичЕСКих действий. Для лучшего уяснения рассуждений предыдущего пункта рассмотрим наиболее простой из возможных случаев, /г = 2, который осуществляется, в частности, материальной точкой, движущейся в плоскости (под действием консервативной силы). Уравнения малых колебаний, если будем писать х, у вместо лг,, х , получат вид [c.399]

Таким образом, в рассмотренном простейшем случае критическая угловая скорость вращения ротора действительно совпала с собственной частотой его плоских изгибных колебаний в одной плоскости. Этот вывод справедлив однако далеко не всегда. Уравнения типа (II.4) для малых отклонений вала от его стационарного вращения в общем случае не совпадают с уравнениями изгибных колебаний невращающегося вала, а оказываются существенно их сложнее. Более общая постановка задачи об исследовании характера возможных колебаний вращающегося ротора дана ниже. [c.46]

К затухающим колебаниям, строго говоря, неприменимо нонятке периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода Ti как промежутка времени между двумя носледующнмн максимумами колеблющейся величины (тока, напряжения, размаха колебаний маятника и т. д.). Период Ti увеличивается по мере увеличения нотер ь энергии в системе. Для приведённых выше простейших случаев соответствующая этому условному периоду частота затухающих колебаний [c.57]

Разрабатывается неск. подходов к объяснению механизмов возбуждения и поддержания спиральных волн плотности (СВП) 8 С. г. Возможность существования СВП как малых возмущений в гравитирующем бесстолк-новит. (звёздном) диске впервые была показана в работе К. Лина (С. Lin) и Ф. Шу (F. Shu). В наиб, простом случае в гидродинамич. приближении для линейных колебаний, описывающих туго закрученные СВ, дисперсионное соотношение имеет вид [c.649]

Слабая Т. J)T. волновых полей, когда из-за сильной дисперсии волновые пакеты перекрываются на. малое время и взаимодействие между волнами оказывается достаточно слабым—справедливо приближение (гипотеза) случайных фаз волн. Пример слабой Т. (в таком понимании)—волнение на поверхности моря без образования барашков. 2) Движение среды (или поля), соответствующее хаосу динамическому. При этом размерность фазового пространства динамической системы, описывающей Т. (или число независимых возбуждённых мод колебаний), прибл. glO. В простейшем случае — это низкоразмерный временной хаос (примером является Лоренца систсма). В более общем случае — низкоразмерный пространственно-временной хаос (пример—динамика дефектов в жидких кристаллах). [c.178]

Большое практическое значение имеют также поперечные колебания валов и балок. Простейшие случаи колебаний призматических стержней были исследованы еще в XVIII веке, причем решения их входили в состав сочинений по акустике. Использование этих решений в применении к балкам технического назначения, поперечные размеры которых не малы в сравнении с пролетом, или же в случаях, когда недопустимо пренебрегать сравнительно более высокими частотами, вызвало необходимость в выводе более полного дифференциального уравнения, учитывающего влияние на прогиб также и касательных напряжений ). Весьма часто размеры поперечного сечения меняются вдоль пролета балки. Строгий анализ колебаний таких балок выполним лишь в простейших случаях ), обычно же приходится прибегать к одному из приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Эти методы приобрели популярность в связи с потребностями расчета частот поперечных колебаний в судах ). Основываются они обычно [c.501]

В этом простом случае флаттер имеет характер резонанса. Возможно, простейшим примером резонанса является маятник, точка опоры которого продолжает совершать колебательное движение с частотой, равной частоте маятника. Легко доказать эксиернментальпо, что в этом случае маятник будет испытывать значительные колебания. Явление резонанса ловко используют люди, иредсказываюгцие с помогцью маятника скрытые процессы. Например, они предсказывают сугцество-вапие воды или руды под землей. Они настраивают маятник на частоту своего пульса, так что малейшее движение руки заставляет маятник колебаться со значительной амплитудой. Наш простой случай с флаттером основан па подобном же принципе. [c.163]

В некоторых случаях, именно, когда два или несколько свободных периодов системы равны между собой, нормальные координаты остаются до известной степени неопределенными, т. е. они могут быть выбраны бесконечно большим числом пo oiбoв. Сложение соответствующих колебаний с произвольными амплитудами и фазами дает малое колебание, при котором движение каждой частицы есть результирующее простых гармонических колебаний различного направления и есть, следовательно, вообще эллиптичесчое колебание с тем же периодом. Примером этого является сферический маятник важный пример из нашей рассматриваемой здесь области представляют прогрессивные волны в глубокой воде (IX гл.). [c.316]

Общая теория малых колебаний материальной точки приводится во всех курсах теоретической механики. Задача обычно сводится к отысканию решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Наибольшие затруднения, по-видимому, представляют вопросы, связанные с определением сил,, создающих колебательное движение, а также составление дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания. В простейших задачах линейные дифференциальные уравнения в точности описывают механический процесс. В общем же случае эти уравнения являются лишь приближенными и остаются справедливыми только для достаточно малых колебаний. Методы линеаризации уравнений движения остаются и в настоящее время наиболее простым и эффективным средством решения бТ)льшей части технических задач. [c.48]

Л разрешения предполагалось, что две точки предмета Si и S2 представляют собой некогерентные точечные источники, и в плоскости создаваемого оптической системой изображения происходит простое наложение дифракционных картин от каждого из них. Несамосветящийся объект должен быть освещен каким-либо источником света. Если этот источник точечный, то световые колебания в точках Si и S2 освещаемого им предмета когерентны. Любой реальный источник имеет конечные размеры, поэтому в общем случае световые колебания в близких точках Si и S2 освещаемого предмета будут частично когерентны. Степень пространственной когерентности 712 световых колебаний в точках Si и S2 зависит от расстояния Z между ними и от угловых размеров источника света (см. 5.5). Когда применяется оптическая осветительная система (конденсор), отображающая светящуюся поверхность источника на плоскость объекта (рис. 7.32), роль углового размера источника играет выходная апертура 2uo осветителя в пределах центрального максимума дифракционной картины от его оправы световые колебания частично когерентны, ибо каждая точка источника отображается конденсором в виде кружка конечных размеров. Радиус этого круж-ка, т. е. размер области когерентности, порядка К/ио- Если апертура осветителя мала по сравне-нию с числовой апертурой объектива микроскопа, то расстояние Zmin между точками Si и S2, лежащими на пределе разрешения, много меньше ширины дифракционного кружка от оправы конденсора и световые колебания в Si и S2 можно считать полностью когерентными. [c.372]

Данная книга ставит своей задачей главным образом изучение устойчивости движения однородной вязкой жидкости по отношению к бесконечно малым возмуш,ениям, т. е. по отношению к естественным формам малых колебаний такой механической системы. Она не содержит, следовательно, многих других интересных проблем, таких, например, как устойчивость границы, разделяющей две различные жидкости. Даже в случае однородной вязкой жидкости не дало бы большой пользы только составление перечня всех изученных случаев. К счастью,.два различных прототипа неустойчивости представлены двумя, простейшими -типами течения, а именно течением Куэтта и плоским течением Пуазейля первое из них впервые успешно исследовал Дж. И. Тэйлор, а второе — В. Гейзенберг. С тех пор оба случая рассматривались рядом других авторов. Исследование этих двух случаев, подробное настолько, насколько это нужно, составляет поэтому центральную часть теоретического анализа, содержащегося в этой книге. При этом будет наглядно показано, что многие другие случаи схожи с двумя указанными. Случаю пограничного слоя также будет уделено много места вследствие замечательного успеха экспериментов Шубауэра и Скрэм-стеда и других недавних открытий, а также благодаря важности этого случая в приложениях к технике. [c.5]

Для измерений резонансным методом на низких частотах образцы вырезаются в виде стержней, диаметр (или поперечные размеры) которых мал по сравнению с длиной. Измерения проводятся на продольных колебаниях, как описано в 6, п. 1. Ось образца обычно ориентируют в направлении одной на кристаллографических осей. Резонансная частота определяется модулем Юнга (l/s,- ), соответствующим данной оси. Проведя достаточное количество измерений, можно определить все независимые модули. Как показал ] эди [188], модуль Юнга для произвольного направления (для обра.эца, ориентированного под любым углом к кристаллографическим осям) можно в].1разить через компоненты матрицы s (т. е. через модули для кристаллографических осей). Для крутильных волн зависимость резонансной частоты от модулей упругости имеет весьма сложный вид, за исключением некоторых простейших случаев (см. [188], стр. 61 и ИЗ). Поэтому обычно предпочитают применять высокочастотные импульсные методы, которые, кроме того, имеют то преимущество, что позволяют проводить измерения на образцах значительно меньших размеров. Рассмотрим с этой точки зрения распространение упругих волн. [c.387]

При очень малых кг и к]/в1 1 скорость дрейфовых волн может бьггь больше альфвеновской скорости и тепловой скорости электронов. Инерцией электронов по-прежнему можно пренебречь. Такие волны называют желобковыми. Из-за большой длины волны вдоль Во в них очень существенны эффекты кривизны и неоднородности магнитного поля. В простейшем случае эти эффекты можно учесть с помощью введения эффективной силы тяжести , действующей на электроны, и ионы. Колебаниями магнитного поля в них можно пренебречь. Их дисперсионное уравнение имеет вид [c.17]

Из вышеизложенного механизма возникновения неустойчивости работы насоса следует, что в простейшем случае (при малых длинах питаюн его и напорного трубопроводов, при У2 и скорости звука суш ественно большей скорости потока) частота колебаний определяется величиной времени запаздывания и составляет [c.68]

Как видно, колебания такого маятника можно рассматривать как простые гармонические лишь в случае малых амплитуд, когда sin6A 0. Если амплитуды не малы, то имеет место более сложное движение и период колебаний будет зависеть от величины амплитуды. Ясно, что восстанавливающая сила не иронорииональна перемещению и увеличивается в меньшей мере, так что частота будет убывать с увеличением амплитуды колебаний. Разлагая sin0 в степенной ряд и беря только первые два члена этого ряда, вместо уравнения (Ь) получим уравнение [c.126]

В отличие от цилиндрических и прямоугольных резонаторов, объем открытого резонатора на большом протяжении не ограничивается металлическими плоскостями. В микрорадиоволновом диапазоне частот открытый резонатор является аналогом интерферометра Фабри - Перо в оптике. В простейшем случае открытый резонатор состоит из двух плоских бесконечных тонких дисков, расположенных параллельно друг другу так, что их оси симметрии совпадают. Такие резонаторы имеют дискретный спектр резонансных частот и соответствующие им собственные колебания с малыми потерями на излучение в свободное пространство. Условием резонанса в резонаторе является целое число полуволн, ук- [c.34]

Так как модуль упругости сплавов определяется модулем упругости основного компонента я мало зависит от содержания (в обычных количествах) легирующих элементов (например, для сталей колебания заключены в пределах = (19 -г 22) 10 кгс/мм , для сплавов А1 в пределах = (7 н- 7,5) 10 кгс/мм , то в случае деталей одинаковой конфигурации, когда на первом плане стоят требования жесткости, а уровень напряжений невысок, целе-сообразно применять наиболее дешевые материалы (углеродистые стали вместо легированных, алюминиевые сплавы простого состава вместо сложнолегированных). Если же наряду с жесткостью имеет значение прочность, то предпочтительны прочные сплавы. [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...