Теорема о временных средних

Теорема о временных средних 167 [c.167]

Применение теоремы о вириале ) дает нам возможность определить среднюю (за большой промежуток времени) кинетическую энергию системы ча-ч тиц, движущихся в ограниченной области пространства под влиянием сил, действующих по закону обратных квадратов [c.299]

Уравнение (100) называется теоремой о вириале ). Оно не означает, что кинетическая и потенциальная энергии материальной точки в любой момент должны быть связаны этим соотношением утверждение теоремы относится только к средним значениям за длительные периоды времени ). [c.300]

Этот парадоксально звучащий вывод непосредственно следует из теоремы о вириале и на закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Согласно (120) между полной энергией и средней по времени кинетической энергией, существует следующее соотношение [c.304]

Если обозначить через т подходящее значение времени между о и то вторая теорема о среднем позволяет (в предполо- [c.170]

Теорема о количестве движения и теорема о моменте количества движения для установившихся движений. Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения, хорошо известные из общей механики, находят своеобразное применение к установившимся движениям жидкостей, а также к таким неустановившимся движениям, которые во времени могут рассматриваться в среднем как установившиеся. Ценность этих теорем состоит в том, что для их применения требуются только данные о состоянии потока на граничных поверхностях рассматриваемой области, но не внутри области это позволяет получать из них выводы о таких гидродинамических явлениях, детали которых не могут быть полностью учтены. [c.113]

Теорема о количестве движения для потоков с пульсациями скорости. Среди неустановившихся течений часто встречаются такие, в которых скорость в каждой точке пространства хотя и изменяется со временем, причем иногда даже значительно и очень неравномерно, тем не менее в среднем она остается постоянной для любого достаточно большого промежутка времени. Совокупность таких средних значений скорости во всех точках пространства определяет собой некоторое установившееся течение. Действительное, т.е. неустановившееся, течение в таких случаях принято называть течением, в среднем установившимся. Простой случай такого течения мы рассмотрели в примере с) предыдущего параграфа. [c.125]

Доказательство. Предположим противное. Тогда в окрестности D некоторой точки тора нет точек траектории ф(<). Легко построить непрерывную функцию /, равную нулю вне D и с пространственным средним / = 1. Временное среднее / (фо) на траектории ф( ) равно О Ф I. Противоречие с утверждением теоремы доказывает следствие 1. [c.252]

В силу теоремы 6 есть, однако, один случай, когда возникшее затруднение отпадает. Если данная поверхность постоянной энергии метрически неразложима, то временные средние любой суммируемой фазовой функции для почти всех траекторий одинаковы и совпадают с фазовой средней этой функции на данной поверхности постоянной энергии. В этом случае, следовательно, каждая физическая величина получает в нашей теории совершенно определенную интерпретацию — фазовую среднюю соответствующей фазовой функции, и тем самым снимаются те затруднения, о которых говорилось выше. [c.34]

Кроме того, поскольку Т Тс, величина Л12(Т ) определяется как результат интегрирования величины и(Рь <)и (Р2, О по многим независимым флуктуационным интервалам. Непосредственно из центральной предельной теоремы следует, что при таких временах интегрирования величину Л12 Т) приближенно можно считать комплексной гауссовской случайной переменной. Однако комплексная гауссовская случайная переменная не является, вообще говоря, круговой (т. е. Ф и ее среднее значение не равно нулю. Благодаря отсутствию корреляции между величинами Я 2 Т) и 2 Т) (и, следовательно, в предположении о гауссовском распределении, благодаря их статистической независимости) мы можем написать приближенно совместную плотность распределения в виде [c.251]

Учтем, что предел 5— -оо соответствует усреднению по времени 5 за бесконечно большой промежуток времени. Но, согласно эргодической теореме [16], среднее по времени равно среднему по ансамблю. Следовательно, [c.331]

Заметим, что в гармонической волне связать наличие потока мощности или усредненного потока мощности с каким-либо переносом энергии нельзя так как в гармонической волне возмущение охватывает всю среду, то замкнуть цилиндры, о которых шла речь выше, так, чтобы их основания оказались вне области возмущения, невозможно. Если же замкнуть цилиндры внутри возмущенной области, то теорема сохранения выразит только, что в замкнутом объеме энергия бегущей гармонической волны не изменяется в среднем за период. Тем не менее в этом случае плотность энергии можно локализовать и для гармонической волны в каждый момент времени. [c.118]

Из выражения (45) следует, что для температурного поля = 0т должны быть заданы скорость изменения его во времени dVy,ldt и функция пространственного распределения температуры dW Jdxj. Полное описание этих параметров с учетом произвольной ориентации поля можно выполнить в тензорной форме. Однако для нормирования во времени достаточно задавать среднее А/т значение отклонений и амплитуду изменений б/т. н температуры, так как согласно теореме о среднем и теореме оценки определенного интеграла влияния t.. [c.45]

НСАГЕРА ГИПОТЕЗА — состоит в том, что временная эволюция флуктуации данной физ, величины в равновесной термодинамич. системе происходит в среднем по тому же закону, что и макроскопич. изменение соответствующей переменной. Высказана Л. Онсагерои (L. Onsager) в 1931 и послужила ему основой для разработки термодинамики неравновесных процессов. Вывод Онсагера теоремы, о симметрии кинетич. коэффициентов опирается на эту гипотезу и симметрию ур-ний движения частиц относительно обращения времени. [c.409]

Эргодич. теоремы описывают поведение временных средних физ. величин, т. е. ф-ций, определённых на фазовом пространстве (X,. с/, ц) ДС. Для каскада Г временное среднее А, ф-ции f x), хеХ, на отрезке времени [О, /] определяется равенством [c.626]

Т. о., эргодич. теоремы позволяют говорить о предельных временных средних или о временнь1х средних пй бесконечному отрезку времени. Существование последних — признак нек-рой регулярности в поведении траектории ДС, но эта регулярность связана с усреднением, а потому носит лишь статистич. характер. Что касается предельного временного среднего, то его можно охарактеризовать в гсом. терминах, не прибс1 ая к помощи усреднения. Здесь ключевую роль играет понятие инвариантной функции. Так называются ф-пии, постоянные вдоль траекторий почти всех точек фазового пространства. Множества, индикаторы к-рых инвариантны, наз. инвариантными множествами. В пространстве инвариантные ф-ции образуют линейное подпространство, и предельное временное среднее / любой ф-ции feL совпадает с её ортогональной проекцией на это подпространство. Аналогичным образом можно охарактеризовать / ив том случае, когда / имеет лишь интегрируемый модуль, т, е. принадлежит пространству L . [c.627]

Роль устойчивых и неустойчивых многообразий в изучении эргодич. свойств гиперболич. систем иллюстрирует следующее рассуждение Э. Хопфа (Е. НорО. Если две точки лежат на одном устойчивом многообразии, то при г оо они сближаются, а потому для любой непрерывной ф-ции / её временное среднее / принимает одинаковые значения в тех точках этого многообразия, где ф-ция/ определена. То же самое верно при /- — ( для точек любого неустойчивого многообразия, а т. к. по теореме Биркгофа / существует на множестве полной меры, найдётся такая ф-ция /, посхоянная на каждом fV"(x) и на каждом W(x), что. / =/ всюду, кроме, быть может, множества нулевой меры. Очевидно, У S onst, если выполняется следующее условие связности для любых точек х, х можно подобрать цепочку точек у о, в к-рой уо = х, у =х, и при любом к<п точки Vk и принадлежат либо одному устойчивому, либо одному неустойчивому многообразию. Пользуясь тем, что всякая интегрируемая ф-ция приближается непрерывными ф-циями, можно распространить утверждение о постоянстве (почти всюду) средних / на все интегрируемые ф-ции / и тем самым доказать эргодичность. [c.632]

Теперь можно рассмотреть член 1/г, характеризующий поверхностное натяжение и начальную скорость роста, которую пузырь приобретает за первые несколько микросекунд. Это делается следующим образом. Апрок-симируем интеграл уравнения (11) функцией 2гН полученной по теореме о среднем. Эта величина слишком завышена, однако со временем она приближается к истинной величине интеграла. Используем ее в качестве приближенного значения интеграла в уравнении (11). Это приводит к простому дифференциальному уравнению первого порядка, которое решается разделением пеоеменньтх- т. е. [c.222]

Как уже говорилось выше, больцмановская схема микроскопической интерпретации статистики, соединенная с тезисом о размешивающемся характере статистических систем, получает вполне законченный вид. Возникающая таким образом теория основана на применении к динамическим системам названного типа определенных вероятностных представлений (см. 2—4). Эта теория является наиболее полным выражением всех тех возможностей, которые предоставляются классическохг механикой для истолкования физической статистики. Она позволяет, исходя из ее принципов, получить все обычно употребляемые формулы физической статистики. В частности, она позволяет получить главную часть и тех основных утверждений статистической физики, которые были отмечены в 1 принадлежащая этой теории интерпретация процесса релаксации в достаточной мере была объяснена раньше ( 5—7) теорема о средних во времени значениях физических величия является прямым следствием эргодичности, вытекающей из размешивающего характера систем (см. 6). Однако следует сделать несколько замечаний по поводу некоторых характерных черт, которые приобретают эти основные постулаты 1 в рассматриваемой картине. [c.39]

Цель, которая должна быть поставлена перед квантовыми теориями, посвященными обоснованию статистики, по существу совпадает с той, которая ставилась в работах, исходивших из классических представлений. Эта цель заключается в том, чтобы дать интерпретацию не только некоторым частным проблемам — эргодичности илп ZT-теоремы, как обычно ставилась задача, но и всей совокупности принципов, лежащих в основании физической статистики. Эти принципы — эргодический характер временных средних, равномерная (относительно начальных состояний и относительно выбора той или иной величины заданной группы величин) сходимость к пределу временных средних, существование релаксации п /f-теорема — были охарактеризованы нами в 1 главы I. До сих пор обычно оставлялись в стороне утверждения о равномерной сходимости и о релаксации (в том смысле, что после некоторого времени — времени релаксации — вероятности состояний должны определяться флюктуационной формулой). Мы будем различать в дальнейшем две части проблемы необратимости проблему монотонного возрастания энтропии, которую будем называть ЛГ-теоремой, и проблему релаксации, имеющую только что определенный смысл. Совокупность указанных принципов лежит в основании как классической, так и квантовых статистик. В квантовых статистиках эти утверждения выражаются лишь на квантовом языке, так же как и понятия состояний системы, вероятностных распределешш, эргодических средних и т. д. [c.135]

Отметим также, что теорема о вириале (4) получена при условии финитного движения. Финитность движения позволяет ввести для системы с внутренними движениями массу покоя , которая характеризует среднюю по времени энергию. [c.259]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

У. струи о твердую преграду сильно отличается от У. твердых тел, т. к. при соударении двух твердых тел по окончании явления У. происходит разгрузка, при течении же жидкости частицы жидкости непрерывно действуют на преграду, создавая нек-рое постоянное давление на последнюю. Т. к. масса струи жидкости, притекающей в единицу времени к преграде, является величиной постоянной, то теорема о количестве движения м.б. написана для одной секунды и дать не только импульс силы, но, наоборот, самую силу, вызванную постоянным У. частиц жидкости о твердую преграду. Если М означает секундную массу жидкости, притекающей перпендикулярно к пре-гоаде и стекающей с нее, т.н. массовый расход, (j—объемный расход жидкости, с—среднюю скорость притекающей жидкости, у — уд. в. жидкости (вес единицы объема) и — угол, образуемый потоками струй, стекающих с пластинки или преградыс первопачальпым направлением движения струи, то сила Р, действующая на пластинку или преграду, получит на основании закона количества движения вид [c.223]

В общем случае произвольной волны такое соотношение не liMeex места. Аналогичную формулу можно написать в общем случае Л1гшь для среднего (по времени) значения полной звуковой энергии. Она следует непосредственно из известной общей теоремы механнки о том, что во всякой системе, совершающей малые колебания, среднее значение полной потенциальной энергии равно среднему значению полной кинетической энергии. [c.357]

Вследствие предположения, которое сделано при выводе уравнений (8), осью 2 может быть ось наибольшего или наименьшего, но не среднего главного момента инерции. Проведенные вычисления показывают, что если мгновенная ось вращения при / = О бесконечно мало отклонена от оси наибольшего или наименьшего главного момента инерции, то она всегда остается бесконечно близкой к этой оси. Поэтому говорят, что вращение тела вокруг оси наибольшего и вокруг оси наименьшего главных моментов инерции устойчиво. Пусть тело может вращаться также вокруг оси среднего главного момента инерции, тогда уравнения (4) выполняются, если предположить р = О, р = О, г = onst но это вращение неустойчиво, т. е, если бесконечно мало отклонить мгновенную ось вращения при i = О от рассматриваемой главной оси, то это отклонение станет конечным с течением времени (хотя бы по истечении бесконечно больщого промежутка времени). Именно, пусть и бесконечно малы, т. е. в силу уравнений (7) и (8) бесконечно мало отличается от единицы, эллиптические функции /, которые входят в уравнение (5), превращаются в показательные функции, и обсуждение этого случая приводит к высказанной теореме, что, однако, не должно здесь рассматриваться. [c.62]

Доказательство мертонскох теоремы у Орема начинается со следующего утверждения О скорости следует сказать то же, что о линейном качестве, с тою разницей, что вместо средней точки берут среднее мгновение времени, измеряющего скорость движения . [c.69]

Работа состоит из шести глав. Первая глава посвящена разбору возможностей, предоставляемых классической механикой для решения названной основной задачи, и критике относящихся сюда работ, основанных на классической механике. Вторая глава посвящена аналогичному рассмотрению в квантовой механике. В третьей главе разбирается вопрос об описании немаксимально полных опытов, в частности об условиях применимости понятия статистического оператора матрицы плотности). В четвертой главе выводятся некоторые ограничения, которые накладываются на возможности измерений, производимых над макроскопическими системами, условием сохранения их заданной макроскопической характеристики. Значительная часть вопросов, затронутых в третьей и четвертой главах, заключается в получении свойств релаксации, Я-теоремы и т. д.— утверждений макроскопических, т. е., казалось бы, не связанных с вопросами о возможностях измерения. Поэтому, чтобы при решении поставленной в работе задачи не казалось странным возникновение этих вопросов, отметим сразу же, что самая суть поставленной задачи заключается в выяснении связи макроскопических утверждений с микромеханикой, а уравнениям последней можно, как известно, придать физический смысл лишь в связи с возможностями измерений. Пятая глава посвящена общим понятиям о релаксации физических систем, об j/У-теореме и о средних во времени значениях физических величин. В шестой главе выясняется связь между существованием релаксации и определенными свойствами гамильтониана системы. [c.16]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Теорема сохранения. При втором применении закона сохранения количества движения и кинематической связи между количеством движения и завихренностью будем рассматривать средний шаг вихревой цепочки с вихрями равной знакопеременной интенсивности х как в вязкой, так и в невязкой жидкостях. Для облегчения задачи мы пренебрежем влиянием тела на развитие во времени следа вниз по потоку. Будем также полагать, что след в начальный момент времени t = О состоит из бесконечного ряда знакочередующихся вихрей интенсивностью X, расположенных в полосе по обе стороны от оси х, причем средний продольный шаг 12) равен й и поперечный шаг равен h. Эти же предположения приняты в теории устойчивости Кармана (п. 7), и поэтому настоящее более общее рассмотрение применимо также и там. [c.368]

Если интервал временного сглаживания р выбран достаточно большим в смысле центральной предельной теоремы (8), то каждое сглаженное по времени наблюдение Д в некотором приближении может считаться нормально распределенным со средним (/) и дисперсией о 1р. Более того, в силу той же теоремы каждое такое сглаженное среднее асимптотически (по р) статистически не зависит от конфигурации в начальный момент интервала, по которому проводится сглаживание, поэтому набор наблюдений (/s) асимптотически статистически независим между собой. Следовательно, значения /, определяемые формулой (104), приблизительно нормально распределены со средним (/) и дисперсией а 1МрР = a n, что нам было известно и ранее. Однако в обычной статистической теории малых выборок дисперсия о р оценивается в виде обычной дисперсии выборки sj/p набора (/ ) [c.312]

Необходимые и достаточные условия того, что процесс является эрго-дическим в соответствии с теоремой Биркгофа-Хинчина следующие его стационарность, причем строгая и так называемая метрическая транзитивность, состоящая в том, что любая часть совокупности реализации случайного процесса уже йе стационарна (строго). Стационарность-это необходимое условие эргодичности. Для нестационарного процесса первый и второй моменты (средние по совокупности) могут быть функциями времени, и в этом случае средние по времени не будут совпадать со средними по реализациям. Временная корреляционная функция для стационарного (в том числе для эргодического) процесса есть функция корреляционного интервала т = Г2-Г1, в то время как для нестационарного и, следовательно, неэргодического процесса корреляционная функция зависит от двух аргументов-корреляционного интервала т и текущего времени г. Однако стационарность, будучи необходимым условием эргодичности, не является условием достаточным. Так в [26] приводится пример стационарной случайной функции, не удовлетворяющей условию транзитивности, а потому не являющейся эргодической. В связи со сказанным, неставдо-нарные случайные процессы не удовлетворяют условиям эргодичности. Приведенные рассуждения о связи стационарности и эргодичности поясняются условным графическим изображением случайных процессов на рис. 1. [c.9]

Следовательно, если предположить, что в произвольный момент времени Луна движется так, что ее ось наименьшего момента инерции направлена к Земле, а угловая скорость относительно ее оси вращения почти равна С1)еднему движению Луны вокруг Земли, то направление оси наименьшего момента инерции будет всегда близким к направлению на Землю. Средняя же угловая скорость вращения Луны вокруг своей оси непременно станет равной угловой скорости o6paiiieHHH Лупы вокруг Земли и будет обладать всеми ее вековыми из.менениями. В этом состоит теорема Лапласа. Она скорее свидетельствует о том, что данное состояние движения Луны устойчиво, чем объясняет, каким образом угловая скорость вращения Луны вокруг ее оси становится почти равной угловой скорости обращения вокруг Земли. [c.418]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...