Больцмана гипотеза

Блазиуса решение 173 Больцмана гипотеза 16 [c.270]

Больцман сформулировал основное уравнение теории газов, носящее ныне название кинетического уравнения Больцмана. Он нашел ряд частных решений этого уравнения и доказал, что в стационарном случае единственным решением газокинетического уравнения является распределение Максвелла. Одновременно Больцман установил статистическую природу второго начала термодинамики и на этой основе в противовес возникшей тогда концепции тепловой смерти Вселенной выдвинул флуктуационную гипотезу, сыгравшую прогрессивную роль в общей борьбе за материалистическое мировоззрение. В настоящее время ясна ложность самой постановки вопроса о тепловой смерти Вселенной. [c.182]

Благодаря этой гипотезе нам удастся установить справедливость формулы Больцмана для тела произвольной природы при нашем рассуждении мы воспользуемся также результатом, полученным в случае газа. [c.28]

Бернулли — Эйлера гипотеза 200 Био число 127 Больцмана подстановка 69 Блок граничных условий 160 ---нелинейных 103 [c.249]

При формулировке П. о. предполагается, что кинетич. ур-ние можно вывести из ур-ний механики без привлечения к.-л. вероятностных гипотез. В действительности в выводе Больцмана неявно содержится предположение вероятностного характера о том, что число столкновений пропорц. произведению функций распределения сталкивающихся частиц, т. е. состояния между каждым столкновением не коррелируют (гипотеза молекулярного хаоса ). Более строгий вывод кинетич, ур-ния, данный Н. Н. Боголюбовым в 1946 [3], явно использует граничное условие ослабления корреляций , имеющее вероятностный смысл. [c.529]

Отметим, что, несмотря на внешнее сходство и несомненно имеющуюся глубокую связь этого приема с искусственным приемом Гиббса в теории идеального газа ( 36), между ними существует принципиальное различие. Прием Гиббса применялся в рамках распределения Максвелла - Больцмана, основанного на неверной гипотезе о различимости микрочастиц и имеющего смысл только как предельный случай правильных формул Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна. Как мы уже подчеркивали, этот прием логически несостоятелен. [c.325]

Эта разительно контрастирует с одночастичной компонентой обобщенного уравнения Лиувилля в нем скорость изменения Д зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от/зИ т. д. Таким образом, мы видим, что посредством больцмановской гипотезы молекулярного хаоса бесконечная цепочка уравнений для функций распределения обрывается и остается единственное уравнение для /х ). Таким образом, уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для функции Д. Этим же свойством обладает и уравнение Фоккера — Планка [c.33]

Описанный выше метод построен по аналогии с процессами, происходящими в реальном газе. В его основе лежат те же статистические гипотезы, что и в уравнении Больцмана. Однако строгая теория метода, основанная на последовательном рассмотрении имеющих здесь место марковских процессов, еще не создана. В имеющихся к настоящему времени реализациях метода оправданием выбранной постановки математического эксперимента служило правдоподобие полученных результатов (см. 4.2, 4.4, 6,6). Сходимость метода для каждой задачи проверялась в процессе расчетов. [c.228]

Среднее расстояние, проходимое молекулами газа между столкновениями, будем считать большим в сравнении с их диаметром. Это условие дает возможность использовать гипотезу Больцмана о молекулярном хаосе. Перед столкновением две молекулы проходят относительно большие расстояния, выходя из начальных точек, удаленных друг от друга настолько, что вначале молекулы движутся совершенно независимо. Гипотеза молекулярного хаоса обозначает, что при столкновении двух классов молекул (двух групп молекул, векторы скорости которых кончаются соответственно в элементах пространства скоростей и Ша) молекулы этих классов распределяются совершенно беспорядочно по элементу объема с1х и что не существует никакой связи между скоростями молекул и их положением. [c.16]

Работая над теорией излучения, Больцман, применяя гипотезу светового давления Максвелла, дал теоретический вывод закона Стефана, заложив этим основу теории излучения. Этот закон носит название закона Стефана — Больцмана. [c.598]

В кинетической теории газов энтропия термодинамической системы рассматривается как функция вероятности (р) состояния этой системы (гипотеза Л. Больцмана). Сопоставление этой предпосылки с принципом аддитивности энтропии (следствие И1 второго начала термостатики, 7) приводит к выводу, что энтропия изолированной системы является линейной функцией логарифма вероятности состояния этой системы [c.72]

Это замечание относится, впрочем, также и к флуктуационной гипотезе Больцмана. Необходимо иметь в виду, что в наблюдаемой нами части вселенной мы не видим прямых указаний на возможность таких фундаментальных аномалий в больших размерах, если не говорить о флуктуациях микроскопического порядка, которые имеют все же совсем иные масштабы. Сам Больцман указывал, что следует соблюдать осторожность, применяя результаты лабораторных исследований ко всей вселенной. Поэтому, не предсказывая направления дальнейшего развития физических теорий, следует все же сказать, что в настоящее время флуктуационная гипотеза Больцмана представляется слишком смелой и недостаточно обоснованной. Возможно, что со временем будут найдены совершенно новые возможности решения этого вопроса. [c.14]

Это — так называемая флуктуационная гипотеза Больцмана. [c.547]

В начальный момент времени система была в неравновесном состоянии. Исследования показали, что переход ее от неравновесного к равновесному Состоянию происходит за 150—200 шагов интегрирования при величине шага А = 0,3-сек, что подтверждает соответствующую гипотезу Больцмана. Критерием достижения равновесия может служить вид распределения молекул по скоростям. Можно считать, что система находится в состоянии равновесия, если распределение молекул по скоростям близко к максвелловскому. На рис. 1 представлен типичный вид кривой распределения молекул по скоростям. Как видно, максвелловская кривая для данной температуры и полученная в результате машинного эксперимента л гистограмма распределения молекул по скоро- [c.98]

В качестве еще одного примера применения экспоненциальной неустойчивости укажем анонсированное Я. Г. Синаем доказательство эргодической гипотезы Больцмана для системы твердых шариков. Гипотеза состоит в том, что фазовый поток, соответствующий движению одинаковых абсолютно упругих шариков в ящике с упругими стенками, эргодичен на связных множествах уровня энергии. (Эргодичность означает, что почти каждая фазовая кривая проводит в каждой измеримой части множества уровня время, пропорциональное мере этой части.) [c.281]

Гипотеза Больцмана позволяет заменять временные средние пространственными и считалась долгое время необходимой для обоснования статистической механики. Б действительности для статистического предельного перехода (число частиц стремится к бесконечности) гипотеза Больцмана (в которой речь идет о пределе, когда время стремится к бесконечности) не нужна. Однако гипотеза Больцмана вызвала к жизни весь анализ стохастических свойств динамических систем (так называемую эргодическую теорию), и ее доказательство служит мерой зрелости этой теории. [c.281]

Молекулярно-кинетический подход к исследованию опирается на изучение молекулярного (микродискретно-го) строения газа и поэтому лучше соответствует реальным условиям. Однако использование дифференциальных уравнений в частных производных требует возврата к гипотезе о квазисплошности среды и квазинепрерывности полей ее характеристик. Возникающее противоречие снимается с помощью перехода к макроскопическому описанию свойств и процессов через микроскопические свойства отдельных молекул среды, структура и элементарные процессы в которой дискретны. Этот переход осуществляется с помощью функций распределения Максвелла или Больцмана. При этом свойства среды выступают как осредненные по всем молекулам и как непрерывные функции координат и времени. [c.26]

Дискуссии вокруг флуктуационной гипотезы Больцмана продолжаются и в наши дни, что само по себе доказывает ее плодотворность. Сам же ученый скромно писал, что никто, конечно, не станет считать подобные умозрения... высшей целью науки , но тем не менее относил их к очарованию фантазии о Вселенной, не прибегая к пошлой гипотезе тепловой смерти . Со временем обнаружились слабые места гипотезы, заключающиеся в том, что вероятность такой гигантской флуктуации, как нахождение видимой части Вселенной в неравновесном состоянии, ничтожно мала. Выдвинуты другие теории, учитывающие гравитационное взаимодействие между объектами Вселенной, но, как справедливо замечает Г. Я. Мякишев, теорию пульсирующей Вселенной можно рассматривать как современный аналог флуктуационной гипотезы Больцмана. В ней вместо флуктуаци-онного механизма, возвращающего Вселенную к жизни, действует более глубокий механизм гравитационных взаимодействий современной теории поля. Общие же выводы о невозможности тепловой смерти Вселенной носят сходный характер [56]. [c.88]

Теория Зоммерфельда. Выход из этого затруднения был ух азан Зом-мерфельдом [11, 12]. В п. 4 мы видели, каким образом Эйнштейну удалось объяснить наблюдаемое уменьшение теплоемкости 6 с температурой. Это достигалось заменой классического выражения, найденного в представлении о равномерном распределении средней энергии осциллятора, планковским выражением для средней энергии, полученном на основании квантовой гипотезы. Это соответствовало переходу от классической функции распределения Максвелла—Больцмана [c.322]

Против флуктуационной гипотезы Больцмана был выдвинут ряд возражений. Одним из них является исчезающе малая вероятность сколько-нибудь больших флуктуаций. Ни концепция тепловой смерти , ни флуктуационная гипотеза не учитывали специфики Вселенной как гравитирующей системы. В то время как для идеального газа наиболее вероятным является равномерное распределение частиц в пространстве, в системе гравитирующих частиц однородное распределение не соответствует максимальной энтропии. Образование звезд и галактик из равномерного распределения вещества происходит не вследствие флуктуаций, а является естественным процессом, идущим с ростом энтропии. [c.84]

Несмотря в общем на прогрессивный характер идей Больцмана, необходимо все же указать на недостаточность и известную метафизичность его флуктуационной гипотезы. Недостаток этой гипотезы заключается в том, что предполагаемая гигантская флуктуация слишком маловероятна для того, чтобы она осуществилась.. Метафизичность же ее видна из следующего. Согласно этой гипотезе все развитие Вселенной сводится к случайным отклонениям (флуктуациям) от состояния термодина1У[ического равновесия, в котором пребывает Вселенная. На самом деле это, конечно, не так. Развитие Вселенной есть непрерывный сложный процесс движения по восходящей линии, сопровождающийся качественными превращениями, примером которых является образование новых звездных систем. Поэтому не может быть предполагаемого Больцманом неизменного исходного равновесного состояния Вселенной для нее само понятие термодинамического равновесия лишено смысла. Вселенная в целом всегда неравновесна , она развивается необратимо без стремления перейти в состояние равновесия. Это отно- [c.91]

Несмотря на в общем прогрессивный характер идей Больцмана, необходимо все же указать на недостаточность и известную метафизичность его флукгуационной гипотезы. Недостаток этой гипотезы заключается в том, что подобная гигантская флуктуация слишком маловероятна, ДЛЯ ТОГО чтобы она осуществилась. Метафизичность же ее видна из следующего. Согласно этой гипотезе все развитие Вселенной сводится к случайным отклонениям (флуктуациям) от состояния термоди- [c.107]

Достойна восхищения прозорливость Гиббса, предвосхитивщего еще в конце XIX в. современную концепцию неразличимости частиц. Однако с логической точки зрения прием, использованный им для устранения парадокса энтропии, ни в какой мере не может считаться последовательным. Действительно, в этом рассуждении сначала, при выводе распределения Максвелла - Больцмана, частицы газа рассматриваются как различимые и лищь в окончательном результате вводится поправка , учитывающая тождественность состояний, отличающихся перестановками молекул. Логически последовательный способ рассуждения основан на гипотезе неразличимости частиц и приводит к распределениям Бозе - Эйнщтейна или Ферми - Дирака. Распределение же Максвелла - Больцмана появляется при этом лищь как приближенное в предельном случае малых чисел заполнения. [c.188]

Обратим внимание на то, что в формулу (52.11) квантовая постоянная / не входит, и мы находим объем ячейки а из по существу чисго классических формул (52.6) — (52.9), не учитывающих квантование энергии, по основанных на предположениях о неразличимости частиц (распределение Бозе - Эйнштейна). В противоположность этому, в 45, 46, 48 мы определяли объем ячейки в рамках гипотезы о раз-личимоези частиц (распределение Максвелла - Больцмана), но с учетом квантования энергии, благодаря чему постоянная / с самого начала входила в наши формулы. [c.250]

Ответ заключается в следующем так как уравнения механики обратимы, то необратимость возникает тогда, когда уравнения механики мы дополняем чуждыми самой механике вероятностными гипотезами. В случае уравнений Фоккера - Планка такой гипотезой является предположение о марковском характере процесса (уравнение Смолухов-ского). В выводе уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова роль такой гипотезы выполняет условие ослабления корреляций (87.17), приводящее к появлению асимметрии по отношению к отражению времени и т. д. Введение подобных гипотез теснейшим образом связано с ролью взаимодействия между частицами (в частности, с ролью столкновений). Оно является фактором, вызывающим направленную эволюцию состояния, которое описывается функцией распределения. Не случайно поэтому, что в кинетических уравнениях, при выводе которых взаимодействием частиц, в частности столкновениями, мы пренебрегаем, необратимость не возникает. Примерами подобных уравнений являются уравнение самосогласованного поля ( 89) и уравнение свободно-молекулярного течения ( 88), обратимость которых без труда обнаруживается. [c.547]

Предположение = широко известно оно было названо Больцманом Stosszahlansatz ( гипотезой о числе столкновений ), 1ТТШ гипотезой молекулярного хаоса (ввиду статистической независимости молекул). Со времен Больцмана оно вызывало множество дискуссий и, что более важно, на протяжении столетия стимулировало громадное число работ. С нашей точки зрения, в последнее время достигнуты значительные успехи в выяснении фундаментальных аспектов этой проблемы. В последующих главах вш подробно проследим, как можно оправдать и интерпретировать гипотезу о числе столкновений. На данном же этапе мы предпочтем рассмотреть, к какого рода следствиям приводит эта гипотеза. [c.33]

Однако приведение цепочки ББГКИ к единственному уравнению достигается дорогой ценой уравнение Больцмана оказывается нелинейным. Но даже и в этом слзгчае вш имеем огромное математическое упрощение. Для решения этого уравнения были разработаны мощные приближенные методы, так что теперь мы имеем возможность провести детальное (и успешное) сопоставление с экспериментальными результатами. Справедливость гипотезы молекулярного хаоса ограничивается более тонким предположением. Сначала длина корреляций должна быть достаточно малой. Время релакса-1(ии дальних корреляций, если они существуют,значнтельно больше,, поэтому закон эволюхщи таких корреляций будет иным. Эта сложная задача недавно была исследована Ю. Л. Климонтовичем. [c.34]

Следовательно, мы должны были привнести их в окончательный результат, используя соотношение (11.2.14). Напротив, исходя из уравнения Больцмана, мы использовали для описания процесса столкновения точную динамическую модель. Наш расчет [равноценен явному вычислению функций памяти ф (Q) и а (Т) в рамках предложенной модели. Наградой служит тот факт, что теперь равновесное распределение следует из модели, а не привно- сится в нее. Поэтому уравнения Больцмана и Ландау представляют значительный шаг вперед на пути к разработке микроскопической теории неравновесных процессов. Однако не следует забывать о том, что уравнение Больцмана было выведено отнюдь не безупречным способом и что важная гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz) находится в очевидном противоречии с механи- кой. Невозможно утверждать, что мы обладаем строгой микроскопической теорией необратимости до тех пор, пока не выясним этот важный вопрос. Указанная проблема рассматривается в общей теории, которая ввиду ее более абстрактного характера будет изложена в заключительной части книги. [c.48]

Теперь мы ясно видим, что уравнение Больцмана описывает частную форму эволюции в П-пространстве. Оно характеризует не полную функцию распределения, а лишь кинетическую ее часть. Поэтому здесь не возникает никаких трудностей, рассматривавшихся в разд. 11.5. В частности, мы еще раз продемонстрировали, что гипотеза молекулярного хаоса точно выполняется в ходе процесса эволюции в П-пространстве, если только она вьшолнялась в начальный момент времени (см. также раэд. 19.1). [c.279]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

Цермело в своей критике теории Больцмана особенно подчеркивал необходимость доказательства сохранения вероятностных предположений во времени, точнее говоря, доказательства того, что вероятностные предположения без противоречия могут быть отнесены ко всем моментам времени. Главным образом он имел в виду предположение о числе соударений ( гипотезу молекулярного беспорядка ). [c.83]

Это соотношение было получено в случае теплового равновесия для Л ->оо. Если принять его и в неравновесном случае и подставить (3.2) в (3.1), то получится уравнение, содержащее только Рдг Это, в сущности, гипотеза молекулярного хаоса (51о882аЫапза12), использованная Больцманом [4—7, 1] при выводе уравнения для Р / которое соответственно называется уравнением Больцмана. [c.65]

Пренебречь в пределе а —> О, /V -> оо при фиксированном 5 (пли даже при росте 5 вместе с N (5 Л/), если Л а ->0, как в случае идеального газа). Мы приходим к выводу, что гипотеза Больцмана (3.2) неверна в буквальном смысле, но может стать верной в пределе при УУ- оо, а- 0, если считать, что соотношение (3.2) выполняется почти всюду, т. е. перестает быть верным лишь на исключительных множествах меры нуль (в которые нужно включить множество послесголкновительных состояний). [c.66]

Газ вязкий 118 Гамма-функция 250 Гильбарга уравнение 149 Гипотеза Больцмана 16 [c.270]

Несмотря на прогрессивный в общем характер идей Больцмана, необходимо все же указать на недостаточность и известную метафизичность его флюктуационной гипотезы. Согласно этой гипотезе все раз витие Вселенной сводится к случайным отклонениям (флюктуациям) от состояния термодинамического равновесия, в котором постоянно пребывает Вселенная. На самом деЛе это, конечно, не так. Развитие Вселенной есть непрерывный сложный процесс движения по восходящей линии, сопровождающийся качественными превращениями, примером которых является образование новых звездных систем. Поэтому не может быть предполагаемого Больцманом неизменного исходного равновесного состояния Вселенной, для которой понятие термодинамического равновесия вообще лишено смысла. [c.88]

Флюктуационная гипотеза Больцмана 88 Формула Больцмана 84 [c.336]

О 1900 г. Планк получил формулу для спектральной плотности i)ш(Г) равновесного излучения, хорошо согласующуюся с опытом при всех частотах. Оказалось, что для теоретического вывода этой формулы необходима гипотеза, коренным образом противоречащая представлениям классической физики. Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения е , отделенные друг от друга конечными интервалами. Переход осциллятора из одного состояния в другое сопровождется поглощением или испусканием конечной порции (кванта) энергии излучения. В такой системе с дискретным энергетическим спектром среднюю энергию <е> в тепловом равновесии при температуре Т уже нельзя находить по формуле (9.15). Вероятность р того, что осциллятор находится в состоянии с энергией Еп, в соответствии с распределением Больцмана пропорциональна ехр [ —е /(/г7 )], но при вычислении средних значений интегралы заменяются суммами [c.429]

В последние годы большое распространение получили различные формы метода статистических испытаний (Монте-Карло). Метод состоит в моделировании на ЭВМ элементарных процессов и статистических гипотез, лежаш их в основе вывода уравнения Больцмана. В различных вариантах метода применяются различные способы разыгрывания пробегов и столкновения молекул. Естественно, это требует большого объема вычислений. Но основная трудность при реализации метода на современных ЭВМ — это большая потребная память для запоминания функции распределения. Если по каждой пространственной и скоростной координате запоминать лишь по 10 чисел, то в трехмерной задаче нужна память порядка 10 . В. И. Власов (1966) предложил метод статистического запоминания функции, позволяюш,ий запоминать в каждой пространственной ячейке лишь по нескольку скоростей молекул, что делает потребнуЮ память приемлемой. [c.431]

Сущность метода Максвелла состоит в том, что он совершенно не связан с решением уравнения Больцмана и позволяет осуществить переход к уравнениям гидродинамики при любой функции распределёния. При этом, чтобы получить уравнения движения вязкой жидкости в форме уравнений Навье — Стокса, Максвеллу пришлось ввести две гипотезы [c.54]

Данные Накамуры, Мацумуры и Симодзи для а (Т) в системе TI2S+TI, показанные на рис. 8.31, по-видимому, наиболее подходят для исследования, поскольку они лежат в области Максвелла—Больцмана и соответствуют относительно большим концентрациям избыточного таллия xti (концентрации приведены в ат. %). Видно, что существует сравнительно малая энергия активации, которая увеличивается с уменьшением хть Это можно объяснить с помощью модели, в которой Ef лежит между порогом подвижности f i и краем зоны Есо, так что она очень слабо изменяется с температурой. Альтернативная гипотеза, согласно которой п возрастает с температурой вследствие возбуждения электронов из валентной зоны, как в случае Т1—Те (гл. 7, 1), [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...