Конечные, малые и бесконечно малые деформации

КОНЕЧНЫЕ, МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ [c.82]

Конечные, малые и бесконечно малые деформации 83 [c.83]

Этот важнейший вывод из теоремы Гельмгольца, конечно, относится к бесконечно малым деформациям и мог быть сделан уже после введения понятия о тензоре бесконечно малых деформаций ( 2). Более ого, поскольку этот тензор по структуре и физическому смыслу сходен с тензором скоростей деформаций, то и физическая интерпретация компонент тензора скоростей деформаций может быть получена путем процедуры, аналогичной относительно компонент U.J ( 2), Диагональные компоненты тензора представляют собой скорости относительных удлинений по координатным осям, а недиагональные — половину скоростей угловой деформации в соответствующих координатных плоскостях, так что в криволинейных координатах имеем [c.187]

На рис. 4.19 приведены результаты расчета распределения напряжений в случае бесконечно малой деформации толстостенного цилиндра с отношением внутреннего и наружного радиуса 1 2. Дополнительное напряжение, обусловленное осевой нагрузкой, = Р/л [(/ ) — iY увеличивает напряжения растяжения или сжатия. При этом распределение напряжений в тангенциальном направлении сге становится плоским, что является характерной особенностью для рассматриваемого случая. Такие же закономерности наблюдали [25] и в случае конечной деформации. На рис. 4.20 показано распределение компонентов скорости ползучести трубы (наружный диаметр 50 мм, внутренний диаметр 25 мм) из котельной стали с 0,14 % С при совместном воздействии внутреннего давления и осевой нагрузки. [c.113]

Тензор бесконечно малых деформаций. В рассматриваемой точке тела деформация является бесконечно малой, если начальное и конечное состояния сопутствующей системы координат в этой точке разнятся бесконечно мало, так что длины векторов базиса и углы между ними за время деформации изменились на бесконечно малые величины. Следовательно, компоненты деформации = [c.85]

Формулы теории бесконечно малых деформаций используются для расчета небольших конечных деформаций, например, упругих или малых упруго-пластических деформаций. Кроме того, на основании теории бесконечно малых деформаций строится теория скоростей деформаций, с помощью которой рассчитывается напряженно— деформированное состояние в процессе обработки металлов давлением и при больших конечных деформациях. [c.88]

В обозначении dt символ d означает деформацию, а индекс t — что она тангенциальная. Аналогично деформацию удлинения обозначают di, или нормальную деформацию, с которой мы познакомимся позже, dn- Производная но времени d является скоростью деформации сдвига. Однако определенная выше скорость сдвига, которую мы обозначали через G, равна 2 dt Заметим, что деформацию вообще и особенно конечную деформацию мы обозначаем через/), а буквой d — только малую или даже бесконечно малую деформацию, поскольку при более детальном рассмотрении рис. II. 4 мы увидим, что вращение будет результатом наложения двух единичных сдвигов лишь при условии, если они являются бесконечно малыми. [c.44]

В случае ламинарного вращательного двин<ения, в качестве объемного элемента можно рассматривать часть тела, конечную в двух направлениях и бесконечно малую в третьем. Этот случай встречался при рассмотрении течения в трубе и в ротационном приборе, где величина у принималась постоянной по длине цилиндра и зависящей только от г. В случае однородной деформации нет надобности применять реологические уравнения к элементу объема. Если деформация однородна, то все тело в целом можно рассматривать как элемент нет необходимости в интегрировании, все реологические свойства тела содержатся в его реологическом уравнении. К таким случаям относятся простой сдвиг, простое объемное сжатие и простое растяжение. [c.81]

Рассуждения предыдущего параграфа применимы при рассмотрении упругих деформаций винтовой пружины. Даже тогда, когда каждый элемент пружины подвергается только бесконечно малой деформации, суммарный эффект поворотов, вследствие изгиба и кручения элементов, вызовет очень заметное перемещение конца под действием осевой растягивающей силы. Если бы даже материал пружины не следовал гуковскому закону пропорциональности, то перемещения все же следовали бы этому закону, так как отклонения от закона Гука становятся заметными только при конечной деформации, тогда как в рассматриваемом случае, как было сказано выше, даже при конечных перемещениях деформация бесконечно мала. [c.93]

Данное исследование позволило для всего этого класса тел обнаружить закономерность, далеко выходящую за рамки простого наблюдения того факта, что аналитическая форма функции отклика для инфинитезимальных и для конечных деформаций оказывается во всех случаях одинаковой. Открытая закономерность состояла и в том, что как постоянные упругости при бесконечно малых деформациях, так и коэффициенты параболы, являющейся функцией отклика, при конечных деформациях всех изучавшихся тел этого класса оказались единым образом связанным набором квантованных значений. Как для постоянных упругости, так и для коэффициентов параболы эти специфические распределения связывали между собой различные материалы, а также — в терминах переходов второго рода — различные состояния одного и того же твердого тела. [c.264]

Из этого непосредственно вытекает, что для установленных таким путем конечных деформаций, точно так же, как и для бесконечно малых деформаций, существует поверхность (второго порядка) деформации, выражающаяся уравнением [c.166]

Во многих практических задачах деформации очень малы по сравнению с единицей. Поэтому произведениями двух и более деформаций можно пренебречь по сравнению с самими деформациями. В данной книге мы ограничимся рассмотрением деформаций, которые удовлетворяют этому условию. Такие деформации известны как бесконечно малые деформации. Преимущество, возникающее при использовании малых деформаций, состоит в том, что при определении компонент деформаций отпадает необходимость в тонком учете различия между деформированной и недеформированной формами тела. Как -следствие деформации, вызванные в точке тела одной системой напряжений, можно суммировать с деформациями, вызванными другой системой, причем конечный результат не зависит от порядка, в котором эти напряжения прикладываются. Это есть иллюстрация принципа суперпозиции, который лежит в основе линейной теории упругости. [c.21]

Чтобы полнее развить этот подход, важно начать с точного описания деформации, для чего в некоторых примерах используется тензор конечных деформаций. Однако чтобы сохранить связь с обычным подходом, в других примерах используется тензор бесконечно малых деформаций. Задачи этой главы выявляют различие между этими двумя подходами и показывают, при каких условиях можно с достаточной точностью использовать более простое описание через тензор малых деформаций. [c.26]

Свойства жидкостей. Жидкости отличаются от твердых тел легкой подвижностью своих частиц. Для изменения формы твердого тела к нему необходимо приложить силы конечной, иногда весьма значительной величины. Между тем для медленной деформации жидкости достаточны самые ничтожные силы, которые в предельном случае бесконечно малой деформации делаются равными нулю. Однако при быстрой деформации жидкость, подобно твердому телу, оказывает сопротивление деформации. Но как только движение жидкости прекращается, это сопротивление очень быстро исчезает. Свойство жидкостей оказывать сопротивление деформации называется вязкостью. Подробно это свойство будет рассмотрено в 1 гл. П1. Кроме обычных легко подвижных жидкостей существуют очень вязкие жидкости, сопротивление которых деформации весьма значительно, но в состоянии покоя по-прежнему равно нулю. По мере увеличения вязкости жидкость становится все более похожей на твердое тело, однако нельзя провести резкой границы между жидкостью с очень большой вязкостью и твердым телом некоторые вещества при быстрой деформации ведут себя как твердые тела, а при медленной — как жидкости. К таким веществам принадлежит, например, асфальт. Если опрокинуть бочку с асфальтом, то в зависимости от температуры воздуха весь асфальт вытекает из бочки в течение нескольких дней или недель и принимает форму плоской лепешки. С течением времени такая асфальтовая лепешка все более и более растекается, но, несмотря на это, по ней можно ходить, не оставляя на ее поверхности заметных следов только в том случае, если постоять на ней некоторое время, такие следы появляются. При ударе молотком разлившаяся масса асфальта разлетается на куски подобно стеклу. [c.10]

При изучении больших по величине, иногда называемых конечными в отличие от бесконечно малых, деформаций характеристики деформированного состояния сильно усложняются, так как при этом уже нельзя пренебречь вторыми и высшими степенями деформаций, которые не малы по сравнению с единицей [20]. [c.53]

Что касается ориентировки главных осей результирующего тензора деформации относительно главных осей тензора напряжения (пли относительно направлений главных напряжений), то здесь следует различать два важных случая в зависимости от того, совпадают или не совпадают главные направления напряжений с главными осями результирующего тензора деформации, представляющего собой, как уже было упомянуто, сумму тензоров упругой и пластической деформации. В первом случае часто бывает достаточно ввести зависимости между напряжениями и упругой и пластической деформациями в конечной форме, тогда как во втором случае эти зависимости должны относиться к бесконечно малым приращениям деформаций. Важно, однако, добавить, что в некоторых практических приложениях и в тех именно случаях, когда составляющие деформации весьма малы, необходимо исходить из бесконечно малых приращений деформации. К зависимостям между бесконечно малыми приращениями деформации приходится переходить также и в общем случае при наличии больших деформаций. Однако случаи, когда пластические деформации становятся конечными, в этой главе рассматриваться не будут. [c.432]

В этом параграфе, посвященном конечным деформациям, сопоставлялись по величине затрачиваемой на них механической работы различные последовательности деформаций, удовлетворяющие всем точным условиям, характеризующим течение идеально пластичной среды. В других экстремальных или вариационных принципах, предложенных для такой среды применительно к бесконечно малым деформациям (о чем будет идти речь и в гл. 3), при варьировании обычно допускают последовательности деформаций, которые в том или ином отношении дают отклонения от точного решения. [c.137]

Разница между формулами (2.5) и (14.2) состоит, следовательно, вовсе не в том, что вторые относятся только к бесконечно малым деформациям, а первые—к конечным деформациям (будь так — линейные формулы (14.2) не имели бы никакого практического значе- [c.51]

Приведенные выше семейства деформации важны потому, что на. примере полей напряжений, необходимых для того, чтобы их произвести, видно, как взаимодействуют различные типы деформаций. В теории упругости при бесконечно малых деформациях напряжения, соответствующие смещению, равному сумме двух смещении, представляют собой сумму напряжении, требуемых для того, чтобы произвести каждое смещение в отдельности. В теории упругости при конечных деформациях, конечно, принцип суперпозиции нарушается.. Рассмотренные семейства универсальных деформации как раз и позволяют понять, каким образом этот принцип нарушается в некоторых случаях мы увидим это в следующем параграфе. [c.285]

Основанием для рассмотрения теорий бесконечно малых деформаций, конечно, является то, что они проще в математическом отношении, чем точная теория. Как мы видели в 1> если бесконечно малое смещение является результатом последовательного осуществления двух других, то соответствующие повороты и меры деформации получаются сложением друг с другом двух последовательных поворотов и мер деформации [c.296]

Обоснование 4 мы также рассмотрим позднее при изложении теории конечных деформаций, однако даже в теории бесконечно малых деформаций оно пе адекватно, поскольку (X. 1-1)- лишь достаточно, но не необходимо для того, чтобы скорости волн были действительны и отличны от нуля. Например, как мы увидим в XI. 8, для изотропных материалов необходимыми и достаточными условиями служат более слабые неравенства [X > О, + 2[х>0. Таким образом, обоснование 4 никак нельзя развить в адекватное основание для получения априорного неравенства. [c.315]

В X. 4 мы показали, что для бесконечно малых деформаций из известной конфигурации условия ССЫ+ и ССЫ сводятся к одному и тому же условию, которое представляет собой типичное дополнительное неравенство теории бесконечно малых деформаций. В этой теории, конечно, каждая конфигурация является приближенно естественной конфигурацией. Поэтому сочетание (8) с теоремой Адамара приводит к типичному результату теории бесконечно малых деформаций, принадлежащему по существу Френелю [c.343]

До сих пор мы рассматривали фиксированный момент времени IQ. Предположим теперь, что на некотором конечном интервале IQ t <. IQh, где Л > О, известна и фиксирована некоторая определенная предыстория F. Используя t как параметр, мы можем построить однопараметрическое семейство предысторий (F(0, F+), в котором F(/) задается произвольно и не обязательно равно F+(-f 0). Чтобы пояснить это, используем в качестве примера особенно простой случай больцманов-ской теории бесконечно малых деформаций, а именно тот, в котором ядро не зависит от текущей деформации [c.459]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

По формуле (15.8.9) tga = l. Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают траектории главных напряжений под углом п/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях I, т]. Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации. [c.506]

Как формулы теории конечных деформаций преобразуются применительно к бесконечно малым деформациям Покал ите это на формулах для е и 0. [c.92]

Можно поэтому ожидать, что переход от бесконечно малых деформаций к конечным будет заключаться не только в замене линейных зависимостей нелинейными в рамках известных классических эффектов, но также в появлении новых эффектов, не имеющих классических аналогов. Согласно современным теориям (некоторые из них будут излагаться ниже) такими примерами являются эффекты Пойнтинга и эффекты Вейссенберга. [c.60]

В настоящее время разности нормальных напряжений составляют объект все возрастающего числа исследований. Для измерений разностей нормальных напряжений (3.28), рассматриваемых в главе 9, обычно используются сдвиг или сдвиговое течение с искривленными линиями и поверхностями сдвига. Поэтому необходимо распространить сделанный выше анализ на неоднородное состояние деформации и напряжения. Изложенное выше доказательство дано Вейссенбергом Ему же принадлежит обобщение на случай сдвигового течения в зазоре между вращающимися конусом и пластиной Дальнейшее распространение на другие системы, представляющие интерес для экспериментальной реологии, проделали Коулмен и Нолль р ]. Пойнтинг рз2,133 по-видимому, первый предположил, что наложение на упругое твердое тело конечной деформации сдвига может привести к возникновению не равных по величине нормальных компонент напряжения. В классических теориях, ограниченных бесконечно малыми деформациями, нормальные составляющие напряжения при сдвиге равны друг другу. [c.92]

Выше на рис. 3.128 я дал несколько сравнений. Наиболее интересным здесь фактом, если не касаться завершения исследования квантованной структуры значений в нулевой точке модулей изотропных элементов, было то, что из экспериментов при конечных деформациях этих тел (которые будут описаны в следующей главе см. часть И), я нашел, что температурная зависимость модулей при очень больших деформациях линейная, коэффициентом в которой является выражение вида (1—Т/Тт)- Модуль упругости при сдвиге при бесконечно малых деформациях также линейно зависит от температуры в этой линейной зависимости имеет место другое выражение коэффициента, а именно, (1—Т12Тп)- Это различие имеет интересный и, может быть, серьезный смысл для атомных теорий, от параметров которых при отыскании конечных деформаций на основе дислокационных моделей зависит модуль упругости при сдвиге. [c.522]

В механике сплошной среды тело представляют в виде некоторой субстанции, называемой материальным континуумом, непрерывно заполняющей объем геометрического пространства. Бесконечно малый объем тела также называется частицей. Феноменологически вводятся пoняtия плотности, перемещения и скорости, внутренней энергии, температуры, энтропии и потока тепла как непрерывно дифференцируемых функций координат и времени. Вводятся фундаментальные понятия внутренних напряжений и деформаций и постулируется существование связи между ними и температурой, отражающей в конечном счете статистику движения и взаимодействия атомов. Б МСС используются основные уравнения динамики системы и статистической механики, в первую очередь законы сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии. Обоснование этого и установление соответствия [c.7]

П., и моменту Мо закрепления, приложенному в плоскости, перпендикулярной к оси П., и перенеся их к сечению проволоки О, раскладываем эти силы в координатных осях X, У, (фиг. 6), причем X совпадает с касательной к винтовой оси п., а оси Y и Z являются взаимно перпендикулярными к ней и лежат в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Так. образом имеется 1) крутяпщй момент Рг os а (по оси X) 2) изгибающий момент Рг sin а (по оси Y) 3) крутящий момент Мо sin а (по оси X) 4) изгибающий момент Мо os а (по оси Y) 5) сила сжатия Р sin а (по оси X) 6) срезывающая сила Р os а (по оси Y). Усилия по оси Z равны нулю. Авторы теорий различным образом оценивают влияние составляющих внешних усилий. Формулы, выведенные на основании законов сопротивления материалов, строго справедливы только в условиях бесконечно малых деформаций. В действительности работа П. сопровождается всегда большими, имеющими конечные величины, деформациями. Поэтому точное решение возможно лишь [c.214]

В заключение параграфа следует обратить внимание читателя на установившуюся в большинстве курсов теории упругости (а также и в специальной научной литературе) традицию называть величины е,у, определяемые формулами (2.5), (5.6) компонентами конечной деформации . Благодаря этому неизбежно (даже если это явно не говорится) линейные величины e j (14.2) воспринимаются как компоненты бесконечно малой деформации. Между тем из содержания этого и предыдущего параграфов со- Рис 12 вершенно ясно, что малость удлинений и [c.51]

Если л = 1, то система (12) сводится к системе уравнений (IX.3-14) и (IX.3-16), которые дают решение граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций при ui = u и bi = b. Для произвольного п (12) имеет тот же самый вид, за исключением того, что и заменяется на и , Ь на и tx на txrt- Таким образом, представляется, что решение граничной задачи с заданными усилиями в теории конечных деформаций, удовлетворяющее предположениям (2), (3) и (4), сводится к решению п граничных задач с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, первая из которых представляет собой соответствующую классическую граничную задачу для того же самого тела. Нагрузки для задачи п-го порядка равны Ь и Согласно (13), это не просто п-е члены разложения данных нагрузок (3) это определенные функции от решений Uj, Ua, U3, u i, полученных на предыдущих п—1 стадиях процесса. [c.306]

Установлено, что при <7- 0, т. е. при ф2ар 1, существует решение чисто сдвигово-вращательного характера с нулевым поперечным отклонением, как в конечной, так и в бесконечной балке. Проведены экспериментальные исследования колебаний тонкостенной балки коробчатого сечения с густым набором достаточно жестких диафрагм. В таких конструкциях нет простой связи между изгибной жесткостью, сдвигом и инерцией в,ращения, как в сплошной балке, и влияние инерции вращения мало. На фиг. 1.17 приведенырезультаты теории и эксперимента (кружочки) для первой ф1 и второй ц>2 симметричных форм колебаний балки со свободными концами. Как видно, учет деформации сдвига даже для низших форм колебаний является существенным в тонкостенных конструкциях. Для оценки аппроксимации в виде однородной балки были проведены более точные расчеты в матричной форме, основанные на представлении реальной конструкции в виде конечного числа масс, соединенных безмассовыми уп- [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...