Малые и бесконечно малые деформации

КОНЕЧНЫЕ, МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ [c.82]

Конечные, малые и бесконечно малые деформации 83 [c.83]

Малые и бесконечно малые деформации аддитивны в том смысле, что если даны поля перемещения и (х, t) и и (х, t) с соответствующими деформациями е , ejy, вычисляемыми по фор- [c.86]

Малые и бесконечно малые деформации [c.79]

В кинематике сплошных сред, наряду с принятыми в кинематике дискретной системы точек понятиями перемещений, скоростей и ускорений, появляется характерное для сплошной среды представление о бесконечно малой деформации среды, определяемой тензором деформаций. Если рассматривается непрерывное движение текучей среды, то основное значение приобретает тензор скоростей деформаций, равный отношению тензора бесконечно малых деформаций к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого деформация осуществилась. Как с динамической, так и с термодинамической стороны модель сплошной среды отличается от дискретной системы материальных точек тем, что вместо физических величин, сосредоточенных в отдельных ее точках, приходится иметь-дело с непрерывными распределениями этих величин в пространстве — скалярными, векторными и тензорными полями. Так, распределение массы в сплошной среде определяется заданием в каждой ее точке плотности среды, объемное силовое действие — плотностью распределения объемных сил, а действие поверхностных сил — напряжениями, определяемыми отношением главного вектора поверхностных сил, приложенных к ориентированной в пространстве бесконечно малой площадке, к величине этой площадки. Характеристикой внутреннего напряженного состояния среды в данной точке служит тензор напряжений, знание которого позволяет определять напряжения, приложенные к любой произвольно ориентированной площадке. Перенос тепла или вещества задается соответствующими им векторами потоков. [c.9]

Однако следует представлять себе, что при рассмотрений деформаций произвольной величины концепция линейной связи между напряжениями и деформациями уже не может однозначно определяться из физических соображений. Это происходит потому, что деформации можно измерить бесконечным числом способов, которые являются равно обоснованными и среди которых не существует средств априорного выбора на основе соображений механики сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С или либо ввести другие меры деформации. При этом линейная связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной связи между напряжением и, скажем, С" . Таким образом, линейное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем результаты измерения деформаций, для которых устанавливается это соотношение. Однозначная концепция линейности существует только в предельном случае бесконечно малых деформаций, поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной из величин, определяющих деформацию, означает также линейность связи между т и любой из них ). [c.216]

Критическим пунктом, подлежащим экспериментальной проверке, является вопрос о том, будет ли поведение, предсказываемое линейной теорией вязкоупругости, иметь место для реальных материалов в предельном случае бесконечно малых деформаций или же в предельном случае бесконечно малых скоростей деформаций (или, возможно, в случае, когда достаточно малы и те и другие). Следовательно, требуемые доказательства можно получить только при рассмотрении экспериментов с периодическим течением, проводимых при условиях, когда наблюдаются отклонения от линейного вязкоупругого поведения. [c.229]

При изучении движений сплошной среды в переменных Эйлера используется тензор бесконечно малых деформаций среды за время di, когда вводится вектор относительных перемещений точки и за время At, равный [c.9]

Соответствующий этому вектору тензор бесконечно малых деформаций получается ио формуле (1.37) (за состояние отсчета берется состояние среды в момент времени I) [c.9]

Наряду с заданным нагружением вообразим некоторое фиктивное нагружение Ьру или вообще надуманное насилие — деформацию того же тела, но при условии, что деформации (смещения и т. п.) малы (точнее, бесконечно малы) и кинематические граничные условия (условия на опорных контурах) при этих деформациях соответствуют действительным (рис. 27, б). [c.69]

Система дифференциальных уравнений (3.7) и (3.8) является совместной, так как найденные выше значения деформаций (3.6) удовлетворяют уравнениям совместности. Действительно, в рассматриваемом случае бесконечно малых деформаций уравнения совместности в декартовых координатах (см. стр. 91 т. 1) имеют вид [c.324]

Если использовать закон Гука, выражения Ви через го в случае бесконечно малых деформаций и формулы (10.19), выражающие компоненты ю через потенциалы ф и ф, то можно легко установить, что третье условие удовлетворяется автоматически, а два первых приводятся к виду [c.404]

На рис. 4.19 приведены результаты расчета распределения напряжений в случае бесконечно малой деформации толстостенного цилиндра с отношением внутреннего и наружного радиуса 1 2. Дополнительное напряжение, обусловленное осевой нагрузкой, = Р/л [(/ ) — iY увеличивает напряжения растяжения или сжатия. При этом распределение напряжений в тангенциальном направлении сге становится плоским, что является характерной особенностью для рассматриваемого случая. Такие же закономерности наблюдали [25] и в случае конечной деформации. На рис. 4.20 показано распределение компонентов скорости ползучести трубы (наружный диаметр 50 мм, внутренний диаметр 25 мм) из котельной стали с 0,14 % С при совместном воздействии внутреннего давления и осевой нагрузки. [c.113]

Наиболее характерной особенностью У-интеграла является то, что с его помощью можно описать поле напряжений и деформаций в области нелинейной упругости вблизи вершины трещины. Например, обобщенное уравнение нелинейной упругости в теории бесконечно малых деформаций выражается как [c.186]

Смысл независимости от пути интегрирования, заложенной в (2.55), аналогичен тому же в (2.49), (2.50). Выше S r, равная сумме Sjr + 57г (+ и — указывают берега трещины), определяет поверхность трещины, заключенную внутри Г, в то время как S — полная поверхность трещины. Таким образом, вычисление включает в себя не только вычисление объемного интеграла, но и интеграла, взятого вдоль берегов трещины. В работе [10] впервые были представлены варианты / -интегралов для случая бесконечно малых деформаций, которые были получены в результате простой модификации / -интегралов для динамического развития трещины, приведенных в [3]. [c.143]

Тензор бесконечно малых деформаций. В рассматриваемой точке тела деформация является бесконечно малой, если начальное и конечное состояния сопутствующей системы координат в этой точке разнятся бесконечно мало, так что длины векторов базиса и углы между ними за время деформации изменились на бесконечно малые величины. Следовательно, компоненты деформации = [c.85]

Формулы теории бесконечно малых деформаций используются для расчета небольших конечных деформаций, например, упругих или малых упруго-пластических деформаций. Кроме того, на основании теории бесконечно малых деформаций строится теория скоростей деформаций, с помощью которой рассчитывается напряженно— деформированное состояние в процессе обработки металлов давлением и при больших конечных деформациях. [c.88]

Малые и бесконечно малые деформации являются аддитивными в том смысле, что если дано два поля перемещения ы (х, I) и 2(х, I) с соответствующими деформациями е)/, 8f/, счисляемыми по формулам Коши (7.8), то полю перемещения =ц + ы2 сбответствуют деформации 8г,-, равные сумме соответствующих деформаций [c.80]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

В качестве характерного примера приложения уравнений (20.34) и (20.35) к задаче о неустановившемся поведении нелинейной термоупругости рассмотрим нелинейвый вариант задачи Даниловской ), т. е. задачи о неустановившейся поведении термоупругого полупространства при переменном во времени нагреве его границы. Предполагается, что при бесконечно малых деформациях поведение материала описывается нелинейным определяющим законом типа (19.71), (19.72а) и (19.726) [мы также удерживаем член а з в (19.67)1 а тепловой поток описывается нелинейным законом Фурье [c.419]

Деля только что введенные элементы бесконечно малых деформаций на сИ, получим тензор скоростей деформаций 5 и его компоненты диагональные ёк — скорости относительного удлинения координатных отрезков и ёы — скорости скошения координатных углов, или скорости сдвига в соответствующих координатных плоскостях. [c.344]

Выше мы видели, что однородное напряжение и однородная бесконечно малая деформация описываются тензорами второго ранга, каждый из которых определяется девятью компонентами деформации ezj и девятью компонентами напряжения Oij. Если de opj iatj,UH бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжения линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных твердых тел. Математический закон Гука для монокристаллов запишется либо как [c.125]

По формуле (15.8.9) tga = l. Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают траектории главных напряжений под углом п/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях I, т]. Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации. [c.506]

Бесконечно малые деформации бесконечно тонкого первоначально цилиндрического стержня. Изгиб и кручение в случае изотропного и ненапряженного стержня. Изгиб напряженного стержня. Метод Граеезанда определения коэффициентов упругости проволоки. Изгиб горизонтальной проволоки от собственного веса. Продольные и крутильные колебания стержня. Поперечные колебания ненапряженного стержня. Поперечные колебания слабо напряженной и сильно напряженной струны) [c.354]

Равновесие и движение бесконечно тонкой, первоначально плоской, изотропной пластинки. Расширение малой части пластинки. Потенциал сил, производимых расширением. Бесконечно малая деформация. Равновесие при предельных пере-меьцениях. Дифференциальные уравнения поперечных колебаний свободной пластинки. Интегрирование последних для круглой пластинки. Поперечные колебания напряженной мембраны) [c.371]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]

Как отмечалось, дальний контур Г из (2.49) зафиксирован в пространстве. С другой стороны, если рассматривать дальний контур Г в качестве жесткого контура, окружающего вершину трещины и перемещающегося с той же скоростью вдоль координаты ху, то интеграл, не зависящий от пути интегрирования, полученный Бюи [25,26] и Эрлахером [27] для бесконечно малых деформаций и обозначенный ниже через /в, имеет такой вид [c.145]

Ирвин [28] и Эрдоган [29] приводят выражение для удельной высвобожденной энергии в случае линейно-упругих материалов при бесконечно малых деформациях в такой форме [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...