Деформации бесконечно малые

Равенства (1У.64) показывают, что при деформации бесконечно малая окрестность точки М подвергается аффинному преобразованию. [c.501]

Для определения удлинения участка бруса длиной / рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента йг (рис. 2.34, а). Пусть [c.213]

Вычислим вращения, величины и направления главных удлинений, соответствующих уравнениям (6), только для случая, когда полная деформация бесконечно мала. Тогда главные растяжения Р1 — 1, —1, Рз—1. [c.92]

Таким образом, говоря о деформации тела, следует различать деформацию его в целом, которая главным образом характеризуется перемещениями и поворотами, и деформацию бесконечно малого объемного элемента, которая характеризуется изменением длин линейных элементов, входящих в его состав, и сдвигами (изменением углов между этими линейными элементами). [c.487]

Геометрическая картина движения и деформации бесконечно малой частицы (рис. 13). Сопутствующая система координат деформируется вместе с телом ее координатные линии удлиняются либо укорачиваются, а углы между ними меняются. Поэтому меняются и векторы базиса сопутствующей системы координат в рассматри- [c.66]

Деформация происходит во времени с некоторой скоростью. Скорость деформации в рассматриваемой точке М деформируемого тела характеризуется скоростью деформации бесконечно малой частицы, выделенной в теле вокруг этой точки (рис, 24), и описывается тензором скоростей деформаций В теории деформаций сравниваются два состояния — начальное (в момент времени 4) и конечное (в момент времени t ). В теории скоростей деформаций рассматривается мгновенное состояние в любой момент времени [c.93]

В классической теории упругости рассматриваются деформации бесконечно малые в том смысле, что в случае простого сдвига сохраняется величина s как имеющая первый порядок малости, а величинами второго и более высокого порядка малости можно пренебречь. Из (2.66) явствует, что диагональные величины этого порядка в формулах для у - (/о)—y Ht) равны нулю, тогда как отличные от нуля недиагональные элементы имеют первый порядок. Для конечной деформации, с другой стороны, не все диагональные элементы равны нулю и при достаточно больших сдвигах они могут превосходить отличные от нуля недиагональные величины сдвига. [c.60]

Второе замечание касается физической интерпретации уравнения (3.48). Рассмотрим бесконечно малые параллелепипеды до деформации и после нее, как показано на рис. 3.2. Тогда виртуальная работа, совершаемая на отсчитываемых от состояния равновесия после деформации бесконечно малых перемещениях бг напряжениями и массовыми силами, действующими на бесконечно малый параллелепипед, равна [c.468]

Следуя лагранжеву подходу, выделим в теле до деформации бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, ограниченный шестью поверхностями [c.472]

Рассуждения предыдущего параграфа применимы при рассмотрении упругих деформаций винтовой пружины. Даже тогда, когда каждый элемент пружины подвергается только бесконечно малой деформации, суммарный эффект поворотов, вследствие изгиба и кручения элементов, вызовет очень заметное перемещение конца под действием осевой растягивающей силы. Если бы даже материал пружины не следовал гуковскому закону пропорциональности, то перемещения все же следовали бы этому закону, так как отклонения от закона Гука становятся заметными только при конечной деформации, тогда как в рассматриваемом случае, как было сказано выше, даже при конечных перемещениях деформация бесконечно мала. [c.93]

Формула (П1.92) представляет скорости деформации бесконечно малого элемента среды как суперпозицию (наложение) двух деформаций первая из них описывается де- виатором и характеризует скорость искажения формы эле [c.113]

ЧТО-является уравнением того же самого вида, как и уравнение (2.027) преобразования бесконечно малых сдвигов далее это уравнение дает нам геометрическое значение величин Когда деформации бесконечно малы, эти величины [c.166]

Рис. 4. Схема линейных и сдвиговых деформаций бесконечно малого

Деформация бесконечно малой частицы линейна. Это означает, что в процессе деформации в этой бесконечно малой частице прямые переходят в прямые, плоскости в плоскости. [c.214]

При заданной ориентации главных направлений тензора деформаций значения 6,51,52,53 могут рассматриваться как обобщенные координаты, определяющие деформацию бесконечно малого элемента тела. Пусть Si, S2, S3 — обобщенные силы, соответствующие этим координатам. Тогда должно иметь место равенство [c.68]

Это соотношение определяет относительное перемещение точек, определяемых вектор-радиусами R и R- -dR, в виде суммы двух слагаемых перемещения, вызываемого деформацией бесконечно малого объёма, и перемещения, обусловленного поворотом этого объёма, как твёрдого тела. [c.17]

Важной мерой деформации бесконечно малого линейного элемента является отношение йх/йХ, известное под названием коэффициента длины. Эту величину можно определить как для точки Ро в недеформированном состоянии, так и для точки Р в деформированном состоянии. Так, в силу (3.34) квадрат коэффициента длины в точке Рд Для линейного элемента, взятого вдоль единичного [c.125]

Двойникование кристаллов 62, 75 Девиатор напряжений 124 Деформации главные 143, 169 Деформация бесконечно малая 133 —, главные оси 169 [c.637]

Связь напряжение — деформация , вводимая соотношениями (3.42), предполагает следующие зависимости напряжений от скоростей деформации ё=фа, Y—Зфт. Для данного случая течения идеально пластичной среды в (3.42) вместо скоростей деформации e и -у можно подставить пластические деформации е и у (если движение считается установившимся и деформации— бесконечно малыми) (см. т. 1, стр. 265), [c.161]

Давление термическое 482 Даниловской задача 746 Движения уравнения 63—65, 799 Девиатор напряжений 56 Деформации бесконечно малые 28 [c.860]

Если деформации бесконечно малы, то при анализе напряженного состояния можно использовать систему осей недеформированного состояния 8. Таким образом, можно принять [c.27]

Классическая теория. Когда деформации бесконечно малы, TOg = g, и выражение (13.1) сводится к следующему [c.39]

Как и в случае малых деформаций, уравнений равновесия недостаточно для решения задачи требуются также геометрические и физические соотношения. Рассмотрим связь между деформациями и перемещениями. До деформации бесконечно малый отрезок Длиной йз находился в положении АВ. В деформированном состоянии длина этого отрезка равна 5. Первоначальная длина и длина деформированного отрезка выражаются следующим образом (рис. 58) [c.122]

С понятием тензора читателю неоднократно придется встречаться в нашей книге наиболее подробно оно будет освещено в главе И, 14. В качестве предварительного замечания следует сразу же отметить, что тензор нельзя отождествлять с его компонентами (подобно тому как вектор нельзя отождествлять с его проекциями). Рассмотренный выше тензор деформации Г есть сложное геометрическое понятие, заключающее в себе представление о деформации бесконечно малой окрестности произвольной точки сплошной среды и полностью эту деформацию характеризующее. Поскольку деформация, разумеется, никак не зависит от выбора системы координат, от этого выбора не зависит и тензор Г (аналогично тому как, например, векторы скорости или силы не зависят от того, в какой системе координат они рассматриваются). [c.31]

Необходимость существования полученных зависимостей можно обосновать геометрическим путем. Представим себе тело разрезанным на малые параллелепипеды. Если каждый из этих параллелепипедов получит произвольйые деформации, то из отдельных деформированных параллелепипедов не удастся вновь сложить непрерывное твердое тело в некоторых точках окажутся после деформации бесконечно малые разрывы. Уравнения (2.10) и дают такие зависимости между составляющими деформации, при выполнении которых тело после деформации получается сплошным, или непрерывным. Поэтому уравнения (2.10) можно рассматривать как следств гя принятого допущения о сплошности тела. Они называются уравнениями сплошности, или уравнениями совместности деформаций. Выведены эти уравнения Сен-Венаном и поэтому называются уравнениями Сен-Венана. [c.31]

На рис. 64 показана деформация бесконечно малого элемента при выпучивании пластинки. Сила 8с1х совершает работу на пути, равном величине абсолютного сдвига а. [c.187]

Для решения задач на основе сделанных допущений пет необходимости рассматривать условия равпоиесия и деформации бесконечно малых элементов. Появляется возможность сразу учесть равновесие и деформированне участков стержне или всего стержня в целом. [c.145]

При неоднородной деформации бесконечно малый элемент среды можно считать находящимся в однородном деформированном состоянии, следовательно, градиенты деформации по-прежнему должны определяться формулами (21), Однако при неоднородной деформации величина сдвига k и угол наклона волокна 0 будут меняться от точки к точке. Векторы а и п, являющиеся функциями 0, также будут меняться при переходе от одной точки тела к другой. При этих условиях градиенты деформации (21) являются более общими, нежели градиенты кинематически допустимой деформации, удовлетворяющей заданным выше ограничениям. Роль градиентов деформации состоит в том, что они полностью определяют локальные значения ди-сторсии и вращения материальных элементов. [c.303]

Будем задавать деформацию отображением х = х(Х), определяющим координаты X после деформации частицы, в начальном состоянии имевшей координаты X. Деформация зависит также от времени как от параметра, но здесь нет необходимости рассматривать эту зависимость. Деформацию бесконечно малых элементов можно считать однородной, следовательно, начальное d и конечное dx положения линейного элемента среды связаны между собой линейно dx = F-dX. Если начальное и конечное состояния описываются в декартовых координатах, то dXi — = Xj, л Хг А = dXildX ), и, следовательно, градиент деформации F имеет компоненты Fi = Xi A- [c.345]

Таким образом, работа внутренних усилий как внещних сил на деформациях бесконечно малого элемента стержня равна [c.206]

Геометрические уравнения. Рассмотрим перемещения и деформации бесконечно малого элемента abed (рис. 18.3). Перемещение и произвольной точки тела в направлении радиуса называется радиальным перемещением, а перемещение v в направлении, перпендикулярном к радиусу — окружным перемещением. Относительное удлинение е, стороны аЬ элемента называется радиальной деформацией, а относительное удлинение Se дуги ad—окружной деформацией. Относительная угловая деформация Угв представляет собой искажение прямого угла bad. [c.377]

При изотермическом переходе нз одного состояния равновесия в другое работа, произведенная внешними силами над единицей объема материала, должна равняться приращению гельмгольцевой свободной энергии F. Для деформаций, бесконечно малых в том смысле, что соответствующие изменения переменных формы dya бесконечно малы, затраченная работа может быть выражена через компоненты напряжения л - по формуле [c.118]

Формула (III.40) представляет деформацию бесконечно малого элемента тела как суперпозицию (налон ение) двух деформаций первая из них описывается девиатором и характеризует искажение формы элемента без изменения его объема, тогда как вторая составляющая (шаровой тензор) характеризует равномерное всестороннее растяжение или сжатие этого элемента. [c.102]

Рис. 99. Деформация бесконечно малого элемента при радиальном течении в то-роидных координатах

На рис. 99 показана схема деформации бесконечно малого элемента с координатами р, 0 и ф, длиной ребер dp, р d0 и (г + р sin 0) йф и объемом dF = р (г + р sin 0) dp 0 dq> при радиальном течении. Если за время dx точка А (р, 0, ф) смещается в положение А (р + Updx, 0, ф), то длины ребер элемента становятся соответственно равны dp d (Updx), (р - -Updx)dQ, [(р i/p dx) sin 0 + г ] ф. Компоненты тензора скоростей деформации определяют соотношениями [c.193]

То = onst, а напряжения ант суть функции радиального расстояния /. Для этого случая легко найти точное решение ). Пусть 8 и Y — пластические деформации удлинения и сдвига на расстоянии г от оси стержня. В предположении, что деформации бесконечно малы, тензоры напряжения и пластической деформации должны удовлетворять требованию, чтобы их главные направления совпадали 2). Это будет иметь место, если нормальную деформацию в осевом направлении е и деформацию сдвига у принять равными [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...