Деформация бесконечно малая конечная

Деформация происходит во времени с некоторой скоростью. Скорость деформации в рассматриваемой точке М деформируемого тела характеризуется скоростью деформации бесконечно малой частицы, выделенной в теле вокруг этой точки (рис, 24), и описывается тензором скоростей деформаций В теории деформаций сравниваются два состояния — начальное (в момент времени 4) и конечное (в момент времени t ). В теории скоростей деформаций рассматривается мгновенное состояние в любой момент времени [c.93]

В классической теории упругости рассматриваются деформации бесконечно малые в том смысле, что в случае простого сдвига сохраняется величина s как имеющая первый порядок малости, а величинами второго и более высокого порядка малости можно пренебречь. Из (2.66) явствует, что диагональные величины этого порядка в формулах для у - (/о)—y Ht) равны нулю, тогда как отличные от нуля недиагональные элементы имеют первый порядок. Для конечной деформации, с другой стороны, не все диагональные элементы равны нулю и при достаточно больших сдвигах они могут превосходить отличные от нуля недиагональные величины сдвига. [c.60]

Рассуждения предыдущего параграфа применимы при рассмотрении упругих деформаций винтовой пружины. Даже тогда, когда каждый элемент пружины подвергается только бесконечно малой деформации, суммарный эффект поворотов, вследствие изгиба и кручения элементов, вызовет очень заметное перемещение конца под действием осевой растягивающей силы. Если бы даже материал пружины не следовал гуковскому закону пропорциональности, то перемещения все же следовали бы этому закону, так как отклонения от закона Гука становятся заметными только при конечной деформации, тогда как в рассматриваемом случае, как было сказано выше, даже при конечных перемещениях деформация бесконечно мала. [c.93]

Как мы видели в 11.7, градиенты последовательных конечных деформаций составляются путем умножения (композиции). Однако если мы налагаем друг на друга смещения, то их градиенты складываются, т. е. если и = Ц) + иг, то Н = Н, + Нг. Этот простой факт не имеет полезной интерпретации, за исключением случая, когда обе деформации бесконечно малые [c.294]

Формулы (5.29) и (5.30) верны для конечных деформаций. Если же деформации бесконечно малы, то малы компоненты тензоров деформаций Ш и и из (5.29) и (5.30) после разложения в ряд получим [c.73]

Напомним, что в случае конечных деформаций бесконечно малая частица среды также испытывает аффинное, но конечное преобразование с матрицей (5.65). Допустим, что мы имеем два последовательных аффинных преобразования [c.104]

Итак, любое бесконечно малое преобразование бесконечно малой частицы сплошной среды можно разложить на четыре преобразования, одно из которых, (7.23), определяется вектором <0, а три, (7.25), представляют собой чистые удлинения по трем взаимно перпендикулярным главным осям. При этом, в противоположность случаю конечных деформаций бесконечно малой частицы среды, порядок выполнения указанных преобразований несущественен. [c.106]

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

Наименьшее значение нагрузки, при которой угол излома может быть отличным от нуля, равно f = Если зависимость нелинейна, так что G — 5 (0) является модулем сдвига только для бесконечно малых деформаций, то F = GD представляет собой наименьшую нагрузку, при которой возможно возникновение малых углов излома, но это значение не обязательно является наименьшей из нагрузок, при которой возможно возникновение конечных углов изломов. [c.315]

Аналогично истинная деформация определяется по отношению к действительному значению длины рабочей части образца, которая изменяется с увеличением приложенной нагрузки, а не к ее начальному значению. Пусть, например, при увеличении нагрузки от нуля до Р,- длина изменяется от 1 до Предположим, что после этого нагрузка увеличивается на бесконечно малую величину dP , в результате чего длина изменяется на величину d/,-. Бесконечно малая деформация при этом будет определяться величиной d/, //, . В результате изменения нагрузки во всем диапазоне ее значений от нуля до конечного значения истинная деформация б станет равной [c.107]

На рис. 4.19 приведены результаты расчета распределения напряжений в случае бесконечно малой деформации толстостенного цилиндра с отношением внутреннего и наружного радиуса 1 2. Дополнительное напряжение, обусловленное осевой нагрузкой, = Р/л [(/ ) — iY увеличивает напряжения растяжения или сжатия. При этом распределение напряжений в тангенциальном направлении сге становится плоским, что является характерной особенностью для рассматриваемого случая. Такие же закономерности наблюдали [25] и в случае конечной деформации. На рис. 4.20 показано распределение компонентов скорости ползучести трубы (наружный диаметр 50 мм, внутренний диаметр 25 мм) из котельной стали с 0,14 % С при совместном воздействии внутреннего давления и осевой нагрузки. [c.113]

Треска при бесконечно малой и конечной деформациях и уравнения расчета длительной прочности цилиндрических образцов, находящихся под Действием внутреннего давления [6, 16, 26] [c.150]

Если считать, что у основания надреза возникает плоское напряженное состояние, то учитывая, что в исследованных материалах наблюдается довольно большая деформация ползучести, и.исходя из результатов обсуждения данных в разделе 4.2.3 и на рис. 4.26, напряжение у основания надреза при образовании трещины будет равна (где Kt — коэффициент концентрации упругих напряжений). Для образца с надрезом, показанного на рис. 5.29, рассчитали этот коэффициент методом конечных элементов и определили его равным 4,49. Если в качестве условия образования трещин у основания надреза принять разрушение бесконечно малого гладкого образца, соприкасающегося с основанием надреза, под действием постоянного напряжения то соотношение между временем до образования трещины в образце с надрезом ti и временем до разрушения бесконечно малого гладкого образца tj. можно выразить как [c.158]

Соотношение V — ti на рис. 5.33 показано прямой линией, оно хорошо согласуется с экспериментальными данными. Здесь же приведены экспериментальные данные, характеризующие соотношение между общей деформацией на расчетной длине образца 50 мм и временем до образования трещины а также соответствующие зависимости, рассчитанные методом конечных элементов. Из приведенных выше данных следует, что рассматривая образование трещины эквивалентным разрушению бесконечно малого образца, соприкасающегося с основанием надреза, можно считать, что трещина образуется при возникновении у основания надреза деформации ползучести равной деформации при разрушении гладких образцов. Аналогичный подход применили и в случае [41 ] технически чистой меди, деформация при разрушении гладких образцов у которой различается в зависимости от уровня напряжений (при большой долговечности е/ уменьшается). [c.160]

В этой главе рассмотрены параметры разрушения трещины, которые определяют как квазистатический, так и динамический рост трещины, находящейся в упругом или упругопластическом материале. Для двумерных задач, например, эти параметры определяются с помощью интегралов, контур интегрирования которых представляет собой окружность Ге с радиусом е, где Е — бесконечно малая величина. Подынтегральное выражение, включающее в себя описания полей напряжений, деформаций и перемещений, в общем случае представляет собой функцию 1/е, где е — расстояние от вершины трещины в результате интеграл, взятый по контуру интегрирования Ге, оказывается конечной величиной. Этот интегральный параметр стремятся представить, пользуясь теоремой о дивергенции, суммой интеграла по дальнему контуру с интегралом по конечной области. Подобное альтернативное представление оказывается удобным для численного исследования задач механики разрушения. В некоторых частных случаях упомянутый выше интеграл по конечной области исчезает, в результате чего появляется возможность выразить интегральный параметр разрушения только через интеграл [c.129]

Тензор бесконечно малых деформаций. В рассматриваемой точке тела деформация является бесконечно малой, если начальное и конечное состояния сопутствующей системы координат в этой точке разнятся бесконечно мало, так что длины векторов базиса и углы между ними за время деформации изменились на бесконечно малые величины. Следовательно, компоненты деформации = [c.85]

Формулы теории бесконечно малых деформаций используются для расчета небольших конечных деформаций, например, упругих или малых упруго-пластических деформаций. Кроме того, на основании теории бесконечно малых деформаций строится теория скоростей деформаций, с помощью которой рассчитывается напряженно— деформированное состояние в процессе обработки металлов давлением и при больших конечных деформациях. [c.88]

Для всех поверхностей пластичности (кроме начальной) точка нагружения является угловой. Если форму поверхности пластичности рассчитывать из условия возникновения не бесконечно малого, а конечного приращения пластической деформации, то такая поверхность не будет содержать угловых точек, хотя ее кривизна в окрестности точки нагружения возрастает [24]. Это объясняет тот факт, [c.115]

Сказанное справедливо для всех нагрузок, вызываемых контактами с другими телами.., В случае сосредоточенной нагрузки, приложенной в точке на внешней поверхности, поле напряжений становится просто более концентрированным по мере приближения к точке приложения, т. е. напряжения становятся более высокими на тех элементах, которые расположены ближе к этой точке, и так до тех пор, пока в самой точке не получается напряжение с теоретически бесконечно большой интенсивностью на бесконечно малой площадке (или, как это имеет место в практических случаях, с большой, но конечной интенсивностью вследствие развития деформаций в окрестности точки приложения нагрузки, так как в действительности такого явления, как сосредоточенная нагрузка, не существует, что обсуждается на стр. 191). [c.21]

Чтобы получить уравнения равновесия конечного элемента оболочки в классической линейной постановке, необходимо в исходном равенстве (29) вместо тензора конечных деформаций (14) использовать тензор бесконечно малых деформаций [c.287]

В случае классической линейной теории потери устойчивости оболочек поиск нагрузок бифуркации существенно упрощается вместо тензора конечных деформаций (14) в уравнениях устойчивости используется тензор бесконечно малых деформаций (38). В этом случае для конечного элемента оболочки вместо уравнения (41) получаем матричное уравнение устойчивости [c.289]

В обозначении dt символ d означает деформацию, а индекс t — что она тангенциальная. Аналогично деформацию удлинения обозначают di, или нормальную деформацию, с которой мы познакомимся позже, dn- Производная но времени d является скоростью деформации сдвига. Однако определенная выше скорость сдвига, которую мы обозначали через G, равна 2 dt Заметим, что деформацию вообще и особенно конечную деформацию мы обозначаем через/), а буквой d — только малую или даже бесконечно малую деформацию, поскольку при более детальном рассмотрении рис. II. 4 мы увидим, что вращение будет результатом наложения двух единичных сдвигов лишь при условии, если они являются бесконечно малыми. [c.44]

В случае ламинарного вращательного двин<ения, в качестве объемного элемента можно рассматривать часть тела, конечную в двух направлениях и бесконечно малую в третьем. Этот случай встречался при рассмотрении течения в трубе и в ротационном приборе, где величина у принималась постоянной по длине цилиндра и зависящей только от г. В случае однородной деформации нет надобности применять реологические уравнения к элементу объема. Если деформация однородна, то все тело в целом можно рассматривать как элемент нет необходимости в интегрировании, все реологические свойства тела содержатся в его реологическом уравнении. К таким случаям относятся простой сдвиг, простое объемное сжатие и простое растяжение. [c.81]

Будем задавать деформацию отображением х = х(Х), определяющим координаты X после деформации частицы, в начальном состоянии имевшей координаты X. Деформация зависит также от времени как от параметра, но здесь нет необходимости рассматривать эту зависимость. Деформацию бесконечно малых элементов можно считать однородной, следовательно, начальное d и конечное dx положения линейного элемента среды связаны между собой линейно dx = F-dX. Если начальное и конечное состояния описываются в декартовых координатах, то dXi — = Xj, л Хг А = dXildX ), и, следовательно, градиент деформации F имеет компоненты Fi = Xi A- [c.345]

В случае конечной деформации бесконечно малой частицы ереды движение также сводится к повороту и чистой деформации. Найти вектор поворота, зная компоненты матрицы аффинного преобразования Ц Ц, можно, но эта задача сложна. В случае движения бесконечно малой частицы сплошной среды за время dtf когда описывающее его преобразование является бесконечно малым аффинным преобразованием, вектор поворота равен са dt. [c.106]

В приведенных примерах однородной деформации напряжение для всех отдельных элементов данного сечения S (или S ) одинаково. Поэтому мы могли говорить о напряженин для всей площадки конечных размеров (S или S). Однако при неоднородной деформации напряженке для отдельных малых элементов площадки, вообще говоря, различно. В таком случае, как уже указывалось, для определения напряжения нужно брать бесконечно малые площадки dS. Положение такой бесконечно. малой площадки можно определять одной точкой, принадлежащей этой площадке, и ориентировкой площадки. Для каждой точки тела существует бесчисленное множество таких бесконечно малых площадок, различным образом ориентированных. Поскольку напряжение для этих различных площадок зависит от их ориентировки, то напряжение, отнесенное к определенной площадке, еще не характеризует тех сил, которые действуют на любую площадку в данной точке. Только в том случае, когда могут быть определены напряжения для всевозможных малых площадок, лежащих в данной точке тела, напряженное состояние в этой точке будет полностью определено. [c.473]

По формуле (15.8.9) tga = l. Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают траектории главных напряжений под углом п/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях I, т]. Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации. [c.506]

Закон Гука справедлив только для бесконечно малого приращеипя напряжений da, так как конечное увеличение напряжений ведет к существенному изменению длины стержня и зависимость между напряжениями и деформациями будет нелинейной. Поэтому dx -=da-x/E и dajE — dx/x, где д —расстояние от неподвижного до текущего сечения. Интегрируя по длине стержня, имеем o = P/f = 1п(а //). [c.274]

В случае конечных деформаций (как и в случае бесконечно малых) задачи для тел, обладающих осью трансляционной симметрии, решаются предельно просто. Даже если бы не суще- ствовало практически важных задач, в которых деформированное состояние приближалось бы к плоскому, достаточным поводом для детального исследования таких задач явились бы те сведения о механическом поведении волокнистых материалов, которые можно извлечь из анализа соответствующих точных решений. [c.299]

Теперь мы будем рассматряаать равновесие и движение тел, размеры которых в каком-либо направлении можно считать бесконечно малыми. К ним могут быть отнесены тонкие стержни и пластинки. Тела, которые мы будем рассматривать, могут испытывать конечную деформацию, причем расширения не перестают быть бесконечно малыми. Мы можем применить нашу теорию также и к таким случаям, когда можно, разбив тело на части с измерениями одного порядка, применить выведенные выше уравнения сначала к одной из этих частей. [c.336]

Переходя к изложению основных экспериментальных результатов, следует заменить, что конфигурации мгновенной поверхности текучести являются функционалом процесса деформирования материала, свойства которого в настоящее время изучены еще очень слабо. Само определение поверхности текучести связано с определенными допусками на пластическую деформацию и достаточно сложно даже для простейших процессов пластической деформации. Более того, построение теоретической поверхности текучести подразумевает возможность измерения бесконечно малых приращений пластической деформации. Однако экспериментально определяемое приращение зависит от точности измерительного прибора и заведомо является конечной величиной. Таким образом, экспериментально определяемые поверхности текучести всегда соответствуют некоторым конечным приращениям пластической деформации и являются некоторым приближением к теоретической поверхности, зависящим от точности измерений. С другой стороны, современная техиология изготовления материалов такова, что для каждого конкретного материала в состоянии поставки соответствующие экспериментальные кривые имеют достаточно широкий статистический разброс (иногда достигающий 15—20%), ввиду чего результаты, полученные при более точных измерениях, не всегда имеют общее значение. Таким образом, основные результаты экспериментальных исследований начальных и последующих поверхностей текучести позволяют сделать следующие выводы [30—36]. [c.137]

Как формулы теории конечных деформаций преобразуются применительно к бесконечно малым деформациям Покал ите это на формулах для е и 0. [c.92]

Уравнения Праидтля-Рейсса (Х.23) и (Х.24) связывают напряжения с бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, т, е. не являются конечными соотношениями. Они, вообще говоря, не интегрируются, т. е. не сводятся к конечным соотношениям между напряжениями и деформациями для произвольного нагружения или пути деформирования. Этот факт отражает зависимость деформаций от пути нагружения и напряжений от пути деформирования. Например, если из точки О (стпутями нагружения 1 и 2, то по уравнениям теории течения деформации в точке N будут различными. Если есть упрочнение, то при каждом заданном пути нагружения а / = аЧ i) I — некоторый параметр, например, время) можно вычислить деформации. Можно также найти напряжения, если задан путь деформирования (О- В этом случае материал может быть неупрочняю-щимся (задача XJ). ili [c.218]

Можно поэтому ожидать, что переход от бесконечно малых деформаций к конечным будет заключаться не только в замене линейных зависимостей нелинейными в рамках известных классических эффектов, но также в появлении новых эффектов, не имеющих классических аналогов. Согласно современным теориям (некоторые из них будут излагаться ниже) такими примерами являются эффекты Пойнтинга и эффекты Вейссенберга. [c.60]

В настоящее время разности нормальных напряжений составляют объект все возрастающего числа исследований. Для измерений разностей нормальных напряжений (3.28), рассматриваемых в главе 9, обычно используются сдвиг или сдвиговое течение с искривленными линиями и поверхностями сдвига. Поэтому необходимо распространить сделанный выше анализ на неоднородное состояние деформации и напряжения. Изложенное выше доказательство дано Вейссенбергом Ему же принадлежит обобщение на случай сдвигового течения в зазоре между вращающимися конусом и пластиной Дальнейшее распространение на другие системы, представляющие интерес для экспериментальной реологии, проделали Коулмен и Нолль р ]. Пойнтинг рз2,133 по-видимому, первый предположил, что наложение на упругое твердое тело конечной деформации сдвига может привести к возникновению не равных по величине нормальных компонент напряжения. В классических теориях, ограниченных бесконечно малыми деформациями, нормальные составляющие напряжения при сдвиге равны друг другу. [c.92]

При сопоставлении полученных результатов с найденными ранее обращает на себя внимание то, что модуль сдвига в отличие от модуля Юнга постоянен. Это объясняется известным произволом в определениях модулей при конечных деформациях, который, однако, устраняется при бесконечно малой деформации. Если рассматривать модуль как отношение напряжения к деформации , характеризующее реакцию упругого твердого тела на определенного типа деформацию, то возникает вопрос, почему нменно в определении модуля Юнга (4.20) предпочтение отдается частному отношению pii/(ei— 1), а не, например, [c.109]

Рассмотрим твердое деформируемое тело, находящееся в статическом равновесии под действием совокупности поверхностных нагрузок S и объемных сил F. Предположим, что при приложении добавочных сил AS и AF равновесие тела сохранится, а напряжения, деформации и перемещения в теле получат приращения А<т, Ае, Аи соответственно. В случгье, когда добавочные нагрузки вызывают необратимые деформации, при снятии дополнительных сил точки тела не возвращаются в исходное деформированное состояние. Обозначим соответствующие отклонения перемещений, которые состоят из упругих и пластических компонент, через Аи. Если для любых систем дополнительных сил конечной или бесконечно малой величины внешний источник совершает положительную работу на производимых им смещениях, то состояние равновесия тела является полностью устойчивым в большом или, соответственно, в малом. Существует энергетический барьер, препятствующий передвижению системы в любую соседнюю конфигурацию. [c.204]

Как уже отмечалось выше, поперечные силы Раг и F z должны быхь малы по сравнению с силами Fa, F и F t. в случае тонкой оболочки. В задачах устойчивости одна или обе из этих сил вызывают выпучивание. и являются конечными по величине, тогда как деформации, а также силы и моменты, возникающие при перемещениях, связанных с потерей устойчивости, все еще остаются бесконечно малыми. В выражениях для углов величины Aha, Bkf, и т. д. являются, как правило, малыми по сравнению с а, Ь, с и d в задачах о малых прогибах, но они могут увеличиваться и становиться почти столь же или даже более важными в задачах о больших прогибах. Члены, содержащие произведения деформаций на кривизны, по-видимому, никогда не играют большой роли. [c.438]

Рассмотрим теперь призму из воды. Чтобы деформировать такую призму, практически не требуется сколько-либо заметного усилия при условии, что эта деформация протекает очень медленно слои перемещаются один относительно другого с бесконечно малым сопротивлением, и только когда скорость перемещения будет конечной, возникает сопротивление этому смещению. Пусть U на рис. I. 2 представляет собой перемещение в единицу времени, т. е. скорость перемещения V. Тогда по аналогии с соотношецием (I. 5) получим [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...