Существование и единственность решения системы дифференциальных уравнений

Получим условия, определяющие существование и единственность решений системы дифференциальных уравнений (9.29) периодов, кратных Т. Необходимым и достаточным условием существования таких решений является [c.272]

Существование и единственность решения системы дифференциальных уравнений (2. 3) [c.35]

Условия теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений (см. Дополнение 1) для уравнений (5.1), очевидно, выполнены, и поэтому существует единственная система функций x = x t), y=y t), удовлетворяющая уравнениям (5.1) и заданным начальным условиям x = Xq, у=уц при t = Так как решение зависит от начальных условий, то иногда, для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы будем записывать такое решение в следующем виде [c.289]

Первым вопросом, естественно возникающим при качественном рассмотрении динамических систем, является вопрос о том, какие типы фазовых траекторий вообще возможны в динамических системах второго порядка. Траектории, встречавшиеся в рассмотренных ранее примерах (см. гл. П, III и V), являлись либо состояниями равновесия, либо замкнутыми траекториями, либо, наконец, траекториями, стремящимися к состояниям равновесия или к замкнутым траекториям при. - -оо (или при — оо). Исчерпываются ли этим возможные типы фазовых траекторий, и если нет, то нельзя ли установить, каковы вообще все возможные типы отдельных траекторий Оказывается, что на основании двух общих теорем теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений и теоремы о непрерывной зависимости этого решения от начальных условий (см. Дополнение 1) — можно получить исчерпывающие сведения относительно возможного характера отдельной траектории [137, 81]. Рассмотрению этого вопроса будет посвящен следующий параграф. [c.396]

Анализ частотных характеристик. В основу численных процедур анализа НЛП могут быть положены записанные выше дифференциальные уравнения для элементов матриц передачи и рассеяния. Следует отметить, однако, определенные ограничения, связанные с применением различных вариантов уравнений. Существование и единственность решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, доказываются в предположении непрерывности правых частей уравнений по независимой переменной [173]. Применительно к НЛП, описываемой системой (3.1), это условие сводится к непрерывности функций Zi(z) и Ki(z) на интервале изменения г. При этом уравнения (3.1) [либо (3.5)] могут быть решены численно тем или иным методом. Возможность применения уравнений других типов [в частности, (3.9), (3.11)] связана с выполнением более жестких условий кроме непрерывности функций Zi, Y должны выполняться условия непрерывности их производных по Z до определенного порядка. Из сказанного следует, что с точки зрения пригодности для численного решения наиболее подходящими являются системы дифференциальных уравнений, не содержащие производных Zi, Yi. [c.108]

До настоящего времени такая задача теории дифференциальных уравнений в частных производных не рассматривалась. Для преодоления этой трудности при решении системы I применяется обычный прием соответствующим выбором функции координат систему I сводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя локальными граничными условиями (названной системой II). Решение такой краевой задачи достаточно полно освещается в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобное преобразование координат не является единственным, т. е. имеет место неоднозначное соответствие [14 1, 2, 4]. Различные авторы пытались получить систему II в виде обычной дифференциальной системы. Ввиду сложности явлений в пограничном слое это не всегда возможно. Недавно автор получил систему II в виде обычной однопараметрической дифференциальной системы [14 1,4]. Эта система охватывает большой круг задач по пограничному слою. Над системой II необходимо провести следующие математические доказательства а) доказательство существования и единственности решения системы II с двумя соответствующими граничными условиями б) доказательство существования и единственности потока в отношении некоторых принимаемых условий в) доказательство, что решение системы II с двумя соответствующими локальными граничными условиями является решением системы I с двумя соответствующими функциональными граничными условиями. [c.82]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

Если все связи материальной системы голономны, идеальны и двусторонни, то, как мы видели, нахождение ее движения сводится к чисто математической задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений Лагранжа. Предполагая существование и единственность решения соответствующей задачи Коши, мы получим решение нашей задачи [c.425]

Мы, конечно, предполагаем, что условия теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения для системы уравнений (7.1) выполнены. [c.482]

В первом случае система (1.1) нулевого приближения в рассматриваемой области не имеет точек покоя. Используя классические теоремы о существовании и единственности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, можно показать, что решениями операторного уравнения (1.3) являются, по крайней мере локально (в окрестности каждой точки), п линейно несвязных операторов из (С). Обоснование алгоритма в этом случае проводится особенно просто для систем нулевого приближения общего вида (1.1). [c.97]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

Частные решения получают с помощью методов отыскания автомодельных решений, симметрических решений, разделения переменных. Полезными являются методы исследования инвариантно-- групповых свойств дифференциальных уравнений и построения инвариантных решений различного ранга. В этих случаях система уравнений в частных производных сводится к системе уравнений с меньшим количеством независимых переменных. Если удается свести систему уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то далее можно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом аналитических численных или приближенно-аналитических методов. Полученные частные решения связаны с исходной системой уравнений, поэтому доказательства существования и единственности решения основаны именно на частных решениях. [c.174]

Если задать модель взаимодействия точек друг с другом и с остальными точками Вселенной, например определить функции РДг.г,. ...Гд,, г,. ..,Гуу), то уравнения (1.1) представятся как система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 6М. Предполагая выполненными условия теоремы существования и единственности решений, определим движение системы как общее решение системы (1.1), а именно г,= г, (, Г[(0),. .., Гуу(0), Г (0)..., Г/у(0)), / = 1,..., N. Таким образом, начальное состояние системы (набор начальных условий г,(0),, Гуу(0), г,(0)...,г,у(0)) задает единственным образом движение системы. лг [c.81]

Итак, квантовомеханический пространственно-временной эволюционный подход позволил нам избавиться от устаревшей проблемы отбора решений и специальных правил обхода полюсов функций Грина. Сила этого подхода в том, что он приводит не к вычислению отклика среды на действие источника, а к решению начальной задачи (задачи Коши), для которой существуют теоремы о существовании и единственности решения. Фейнман в своем первоначальном подходе к построению диаграммной техники для функции Грина постулировал правила обхода ее полюсов. Эти правила оказались абсолютно правильными для задач квантовой теории поля, в которой рассматривается только рассеяние одной, двух (т.е. конечного числа) частиц друг на друге, а все бесконечное число степеней свободы утоплено в ненаблюдаемый в реальных переходах вакуум. Его роль проявляется только в виртуальных переходах и сводится к перенормировке параметров частиц (закона дисперсии, массы, заряда). При рассеянии частиц и волн в макроскопических системах такой подход оказывается недостаточным, поскольку при этом макроскопическое число частиц или волн оказывается в возбужденных ( над вакуумом ) состояниях. Использование правил отбора решений Фейнмана для таких задач в монографиях [41, 42] приводит к ошибочным результатам. В этом случае работают все четыре обхода двух полюсов, то есть четыре функции Грина, и необходимо использовать диаграммную технику Келдыша [39], полностью эквивалентную задаче Коши. Такая ситуация имеет место для любой классической задачи, связанной с нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением. Эти задачи эквивалентны квантовым (хороший пример - теория турбулентности [43]). Только для линейных задач с параметрической случайностью , т.е. для линейных уравнений со случайными коэффициентами, из четырех функций Грина остаются две - запаздывающая С и д опережающая. Мы увидим, что энергия рассеянных волн выражается через их произведение. При этом (3 отвечает за эволюцию поля на нижней ветви контура Швингера-Келдыша, а 0 - за эволюцию на верхней ветви (см. рис. 2). [c.67]

Теорема существования и единственности для решений рассматриваемой системы уравнений заключается в следующем система дифференциальных уравнений (8.12) имеет решение у (), непрерывное вместе с первой производной по при I j, единственным образом определяемое допустимым набором величин уо, [c.232]

Реальному физическому процессу (например колебаниям маятника, колебаниям в электрическом контуре или объемном резонаторе и т. п.) соответствует динамическая система, когда этот процесс можно описать уравнением или системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.п.), которые допускают существование на конечном или бесконечном интервале времени единственного решения при любых начальных условиях. Именно такими являются уравнения гармонического и линейного осцилляторов — обыкновенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения описывают детерминированные процессы, для которых весь их будущий ход и все прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время [6, с. И. [c.81]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических правых частей Р х,у) и Q(x,y) системы (А). Термины решение , интегральная кривая употреблялись выше в случае, когда правые части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (в частности, уравнений (Aj) и (Аг)) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности. [c.23]

Если правые части уравнений (6.1) удовлетворяют некоторым достаточно общим условиям, то обычные теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений обеспечивают существование единственного решения системы (6.1), удовлетворяющего заданным начальным условиям и определенного для всех значений времени, заключенных в некотором промежутке, включающем начальный момент о- [c.268]

До появления ЭВМ основное внимание уделялось эллиптическим уравнениям. Первое строгое математическое доказательство сходимости и оценку погрешности итерационного метода Либмана для решения эллиптических уравнений дали Филлипс и Винер [1923]. В 1928 г. появилась классическая работа Куранта, Фридрихса и Леви. Эти авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов как инструмента для исследований в чистой математике. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решения дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности для эллиптических, гиперболических и параболических систем дифференциальных уравнений 2). Эта работа определила направление практического получения конечно-разностных решений в последующие годы. [c.18]

Будем считать вектор-функцию / t) периодической с периодом Т и компонентами, являющимися кусочно-непрерывными ограниченными функциями времени с конечным числом точек разрыва в пределах периода. Указанное необходимо для существования при определенных условиях у системы периодического решения (п. 6.4). Система п линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами имеет решение у t), единственным образом определяемое начальными данными [c.173]

Если две системы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и имеют одинаковые граничные условия, и если значения всех параметров в этих уравнениях и граничных уравнениях равны, то эти две системы подобны, при условии существования единственности решения. [c.106]

Если вектор-функция / (/) является ограниченной и кусочнонепрерывной, то в соответствии с теоремой существования и единственности решение системы дифференциальных уравнений (7.2) существует на любом конечном интервале изменения независимого переменного t и единственным образом определяется начальными данными [c.193]

С механическим детерминизмом согласуется существование и единственность решения системы дифференциальных уравнений движения при заданных начальных данньпс. Существование решения и его единственность в теории дифференциальных уравнений установлены для случая, когда система дифференциальных уравнений разрешима относительно старших производных, а правые части уравнений удовлетворяют условиям, которые в механике обычно выполняются. Уравнения движения Ньютона [c.241]

Третья теорема исходит из предположения, -что явления протекают в геометрпчески подобных системах (поэтому геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия), что для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, что установлено существование и единственность решения уравнения при заданных граничных условиях, что известны численные значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение. [c.417]

Уравнения движения материальной точки удовлетворяют принципу детерминированности Ньютона, что эквивалентно выполнению условий существования и единственности решений задачи Кошй для соответствующей системы дифференциальных уравнений. Поэтому каждой совокупности начальных условий отвечает одно движение. [c.172]

Система (96 ), (96"), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно п неизвестных функций t, q ,, q - независимого переменного q . Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы (96 ), (96") существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением независимой переменной остальные п—1 переменных q и соответствующие им производные q вместе с и принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве Г проходит через заданную точку в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении координаты q остальные (п—1) координат и их производные q принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства Г в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве Г будет оо" и из каждой из них выходит оо"" направлений, а на К35КДОЙ кривой существует оо точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференциальной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из элементов. [c.339]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Решение обратной задачи требует выполнение дифференцировг ия, тогда как решение прямой - интегрирования. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь существование и единственность (при Данных начальных условиях) решений при весьма широких предполояданиях об аналитических свойствах правых частей дифференциальных ура ений, т.е. о свойствах силы как функции своих параметров. Нахождение общего решения системы дифференциальных уравнений в замкнутой форме с использованием введенных в обиход в математике функций не всегда возможно. Причина класс функций, определенных дифференциальными уравнениями, шире, чем класс конечных комбинаций используемых математике функций. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...