Уравнения движения произвольного тела

Уравнения движения произвольного тела [c.21]

Уравнения движения тяжелого тела на совершенно гладкой горизонтальной плоскости. Предполагается, что тело ограничено произвольной выпуклой поверхностью 5, определяемой следующим образом. Пусть Оху г — главные оси инерции для центра тяжести тела. Проведем касательную плоскость Я к поверхности 5 и обозначим через 7, 7, 7" косинусы углов, которые образует нормаль Ог к плоскости Я с осями Охуг. Расстояние С от точки О до касательной плоскости Я, а также координаты х, у, г точки касания суть известные функции косинусов 7, 7, 7". Например, если 5 есть эллипсоид с осями а, Ь, с, направленными по Охуг, то для С получается значение [c.227]

Об уравнениях движения тяжелого тела произвольной выпуклой формы. Пусть тело движется по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь на нее одной точкой своей выпуклой поверхности, не имеющей заострений и ребер. Движение происходит в поле тяжести. [c.230]

Так как вариации бгд, Ьф, 69 и 6t 3 произвольны, то из (5.157) получим шесть уравнений движения твердого тела, которые в векторной форме принимают вид ) [c.153]

Уравнения движения ракеты в произвольный момент времени t могут быть записаны в виде уравнений движения твердого тела постоянной массы, если представить себе, что ракета затвердела и застыла в момент времени t (т. е. перестала выделять из себя частицы) и что к полученному таким образом фиктивному твердому телу приложены 1) внешние силы, действующие на ракету, 2) реактивные силы и 3) силы Кориолиса . [c.242]

При изложении первого параграфа по большей части ограничиваются составлением уравнений движения тела в целом. Что касается уравнений движения произвольно выбранной точки тела, то об этих уравнениях либо не говорят вовсе, либо говорят так, как если бы они не, имели Никакого отношения к вопросу об изложении параграфа о распределении скоростей. [c.51]

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате Аналитическая механика (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих оскулирующих переменных. [c.21]

Детальный вывод уравнений движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле рассматривается в 4. Более сложные уравнения, вывод которых использует основные принципы гидродинамики, описывающие движение твердого тела в жидкости, а также тела, имеющего полости, содержащие жидкость, рассматриваются в гл. 5, 2. [c.38]

Первый, кто дал теоретическое объяснение закону Савара, был Коши. В Ме-муаре, представленном Академии наук в 1879 г., он показал, что этот закон следует из линейности уравнений движения. Он рассмотрел общие уравнения движения упругого тела для малых отклонений частиц, не предполагая, что упругие свойства в различных направлениях одинаковы. Эти уравнения служат для определения перемещений ( , ц, ) частицы в функции времени t и координат (х, у, z) частицы в ее невозмущенном положении, и их можно разбить иа два класса. Одни прилагаются ко всем внутренним точкам упругого тела, другие — к точкам его поверхности. Эти уравнения можно найти в любом курсе по упругости, Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти уравнения сохраняются при замене переменных 5, т). i, х, у, г, t на k i, kr, kt,, kx, ky, kz, kt, где k — произвольная постоянная, если только силы изменяются в отношении k 1. Следовательно, если силы отсутствуют, то для того, чтобы период колебаний и перемещения т , изменились в отношении 1 к, достаточно изменить в этом отношении размеры упругого тела и начальные значения 5, т , Таким образом, мы получили обобщение закона Савара, данное Коши. Если высоту тона звучащего тела, пластины или упругого стержня измерять числом колебаний в единицу времени, то она изменяется обратно пропорционально линейным размерам тела, пластины или стержня в предположении, что все размеры меняются в одном и том же отношении. [c.316]

Общие уравнения движения. Выведем теперь общие уравнения движения системы тел, отнесенной к произвольным прямоугольным осям Ох, Оу, Ог, движущимся вокруг неподвижного начала. [c.17]

В этом параграфе решаются задачи на определение проекций угловой скорости и углового ускорения твердого тела на ось вращения по заданному уравнению движения. Эта задача сводится к дифференцированию угла поворота по времени. Обратная задача — определение закона вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, если известно его угловое ускорение или угловая скорость. Эта задача решается интегрированием и последующим определением произвольных постоянных интегрирования по начальным условиям движения. [c.274]

Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Рассмотрим материальную точку уИ, на которую действует сила F, являющаяся результатом взаимодействия этой точки с другими материальными телами. Составим уравнения движения этой точки по отношению к системе отсчета Ax z, произвольно перемещающейся относительно инерциальной системы отсчета Bx y z- (рис. 374). [c.438]

Движение свободного тела мы разложили на поступательное движение, определяемое движением произвольной точки Е, принятой за полюс, и сферическое движение вокруг полюса Е и представили уравнениями движения (122). [c.245]

Абсолютно твердое тело, не стесненное связями, имеет шесть степеней свободы, поскольку возможны поступательные перемещения тела вместе с точкой А по любым трем независимым направлениям в пространстве и, кроме того, возможны произвольные вращения твердого тела вокруг точки А, принадлежащие группе 80(3) (см. 2.4). Таким образом, имеется ровно шесть независимых параметров, определяющих пространство допустимых скоростей точек тела. Для этих параметров (квазискоростей) можно составить шесть уравнений динамики в форме уравнений Аппеля (см. 5.6). Вместе с тем отметим, что и общие теоремы динамики об изменении количества движения (теорема 5.1.3) и об изменении кинетического момента (теорема 5.1.5) также дают шесть дифференциальных уравнений движения. Для простоты изложения воспользуемся этими теоремами. [c.448]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

Но при поступательном движении твердого тела ускорения всех точек тела одинаковы по модулю и направлению, т. е. ас а, где а — ускорение произвольной точки тела. Учитывая это, из теоремы о движении центра масс получаем следующее дифференциальное уравнение поступательного движения тела в векторной форме [c.294]

Это и есть дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела в проекциях на прямоугольные оси координат. В. этих уравнениях х, у, г являются координатами произвольной точки [c.294]

Эта функциональная зависимость называется уравнением движения тела вокруг неподвижной оеи. Уравнение (11.92) определяет закон вращательного движения тела, так как оно позволяет найти положение тела в пространстве в произвольный момент времени. [c.103]

Эти уравнения определяют движение твердого тела вокруг закрепленной точки при условии (III. 36) под влиянием произвольной системы сил. Допустим, как и раньше, что на тело действует только сила тяжести. Тогда уравнения (111.48а) — (111.48с) приобретают такой вид [c.432]

Выделим произвольную подобласть Ою в теле в начальный момент времени t = to, использовав определение плотности to = = То Vo поверхностных усилий на единицу площади недеформи-рованного тела и повторив приведенные выше рассуждения, получим уравнение движения в лагранжевых переменных [c.23]

Реальная физическая задача об обтекании заданного тела, разумеется, однозначна. Дело в том, что в действительности не существует строго идеальных жидкостей всякая реальная жидкость обладает какой-то, хотя бы и малой, вязкостью. Эта вязкость может практически совсем не проявляться при движении жидкости почти во всем пространстве, но сколь бы она ни была мала, она будет играть существенную роль в тонком пристеночном слое жидкости. Именно свойства движения в этом (так называемом пограничном) слое и определят в действительности выбор одного из бесчисленного множества решений уравнений движения идеальной жидкости. При этом оказывается, что Е общем случае обтекания тел произвольной формы отбираются именно решения с отрывом струй (что фактически приводит к возникновению турбулентности). [c.34]

Несмотря на все изложенное, изучение решений уравнений движения, соответствующих непрерывному стационарному потенциальному обтеканию тел, имеет в некоторых случаях смысл. Между тем как в общем случае обтекания тел произвольной формы истинная картина течения практически ничего общего с картиной потенциального обтекания не имеет, в случае тел, имеющих некоторую особую ( хорошо обтекаемую , см. 46). форму, движение жидкости может очень мало отличаться от потенциального (точнее, оно будет не потенциальным лишь в тонком слое жидкости вблизи поверхности тела и в сравнительно узкой области следа позади тела). [c.34]

Если в деформируемом теле происходит движение, то температура тела, вообще говоря, отнюдь не постоянна, а меняется как со временем, так и от точки к точке вдоль тела. Это обстоятельство сильно усложняет точные уравнения движения в общем случае произвольных движений. [c.124]

Из механики известно, что проекция на произвольно намеченную ось X приращения количества движения движущегося тела равна сумме проекций на эту же ось х импульсов внешних сил, действующих на тело, за соответствующий промежуток времени. Если внешние силы постоянны во времени, то уравнение можно написать в виде [c.59]

Выражая в (13.1.3) напряжения через компоненты перемещения с помощью закона Гука, получаем для общего случая тела с произвольной анизотропией следующие дифференциальные уравнения движения [c.439]

Кинетический момент н кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая — только вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует. Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это —три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твердого тела (они описывают посту-пательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части одну [c.163]

После того как во второй лекции мы получили лагранжевы уравнения движения для системы дискретных материальных точек, мы вывели из них в третьей лекции принцип Даламбера и из него принцип Гамильтона. С уравнениями, полученными нами теперь для движения тела, мы произведем действия, которые соответствуют тем, которые раньше привели нас к принципу Гамильтона. Обозначим, как это мы делали до сих пор, через к, у, г — координаты некоторой материальной точки тела в момент 1. а через Ьх, Ьу, Ьг — составляющие бесконечно малого возможного перемещения этой точки. Возможные перемещения здесь совершенно произвольны [c.102]

Второй отдел содержит в себе важное добавление, в котором указывается, в каких случаях общие формулы динамики, а следовательно, и уравнения, получающиеся отсюда для движения системы тел, не зависят от положения осей координат в пространстве отсюда получается возможность путем введения трех новых произвольных постоянных обобщить решение, в котором некоторые постоянные были положены равными нулю. [c.12]

Уравнения движения произвольно выбранной точки М тела 5 с координатами д , у, г в щтрихованной системе получаются автоматически из уравнений преобразования (29), с учетом формул Эйлера (5), в результате замены хо, уо , г о . ф, 0, ф их выражениями в функции времени (30). Таким образом находим [c.55]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм (см. задачу 50) в произвольном положении. Только тогда мы получим уравнения, определяющие пвложеиие движущейся точки (или тела) в у1Юбой момент вреыеш . [c.106]

Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе отсчета ОххУ г (рис. 180). Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси Ax iy[z i, которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета Ох Угг будет известно, если будем знать положение полюса Л, т. е. его координаты Xia Ууа, ia, и положение тела по отношению к осям Ax[y iZ[, определяемое, как и в случае, рассмотренном в 60, углами Эйлера ф, i 3, 0 (см. рис. 172 на рис. 180 углы Эйлера не показаны,чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета ОххУ г в любой момент времени, имеют вид [c.153]

Предположим, что твердое тело совершает плоское движение. Совместим с плсЗскостью чертежа плоскость, в которой движется центр масс тела, показав плоскую фигуру, полученную от сечения тела этой плоскостью (рис. 196). В динамике за полюс принимают не произвольную точку фигуры, а центр масс тела. Тогда уравнения движения плоской фигуры имеют вид [c.232]

Итак, имея уравнение движения (11.105), можно вычислить проекции вектора мгновенной угловой скорости на оси произвольной системы координат. Затем, применяя формулы (11.107), можно найти компоненты линейной скорости произвольной точки тела. Уравнения (11.109b) позволяют найти мгновенную ось вращения. Следовательно, вопрос о распределении линейных скоростей в теле с неподвижной точкой исчерпан. [c.117]

Рассмотрим теперь общий случай колеблющегося тела про-иавольиой формы. В изучеииом выше случае колебаний плоской поверхности член (vV)v в уравнении движения жидкости исчезал тождественно. Для поверхности произвольной формы это, конечно, уже не имеет места. Мы будем, однако, предполагать, что этот член мал по сравнению с другими членами, так что ,м все же можно пренебречь. Необходимые для возможности такого пренебрежения условия будут выяснены ниже. [c.124]

Если бы в процессе двиисення углы ф, 6 п ф оставались неизменными, то тело перемещалось бы поступательно в соответствии с тремя первыми уравнениями системы (4.4). Если бы полюс Л тола оставался неподвижным, то тело двигалось бы вокруг неподвижной точки А согласно трем последним уравнениям системы (4.4). В действительности же в общем случае движения твердого тела меняется как положение полюса, так и углы Эйлера. Поэтому мы можем сказать, что в общем случае движеи ие твердого тела в каждый момент времени слагается из поступательного движения, при котором все точки движутся со скоростью произвольно выбранного полюса Л, и из вращения с мгновенной угловой скоростью (о вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс А. [c.75]

Предположим, что гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Ог, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной в точке оси на расстоянии а от О. Возьмем в качестве неподвижной системы три взаимно перпендикулярные оси Ол , У12 5, проходящие через неподвижную точку, причем ось Ос, параллельна силе Р, но направлена в обратную сторону. С другой стороны, выберем в качестве триэдра, связанного с гироскопом, три главные оси инерции относительно центра О, направив ось Ог по оси симметрии, а две другие оси Ох и Оу перпендикулярно к оси симметрии. Пусть С есть момент инерции относительно оси Ог и Л — момент инерции относительно Ох момент инерции относительно Оу, очевидно, равен А. Пусть, далее, есть начальная угловая скорость гироскопа вокруг оси Ог. Уравнения движения гироскопа будут те же, что и уравнения в п° 362, которые определяли углы Эйлера О, ф и (р при движении тяжелого твердого тела. Но в том случае вектор Р обозначал вес тела, приложенный к центру тяжести, между тем как теперь Р есть произвольная сила, предполагаемая лишь неизменной по величине и направлению. Очевидно, мы встретимся с [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...