Исходные уравнения в методе последовательных приближений

Во всех приведенных вариантах решение систем уравнений проводится методом последовательных приближений по специальной программе на ЭВМ, причем в первом приближении концентрации ионов принимаются равными исходным концентрациям. Расчет производится до совпадения с заданной точностью значений величин х, у, п, т во всех расчетных уравнениях. [c.298]

Однако, даже если условия разрешимости тем или иным образом установлены, численная реализация метода последовательных приближений оказывается, вообще говоря, связанной с некоторыми трудностями. Дело в том, что погрешность реализации (погрешность квадратурных формул), как правило, ведет к нарушению условия (2.25) и дополнительных условий (2.25 ). Устранить вызванную этим явлением неустойчивость (вернее, расходимость) было бы очень просто, если бы наряду с собственными функциями союзного уравнения были бы известны собственные функции исходного уравнения. Тогда надо просто перейти к уравнению (2.24) и решать его, не пренебрегая малыми добавками, которые будут вноситься слагаемыми Ф (л ) ф ( ). Строго говоря, эти добавки равны нулю, но из-за погрешности квадратурных формул они будут отличны от нуля и приводить к сходящемуся процессу. Переход за счет тех или иных слагаемых к уравнениям, не расположенным на спектре и эквивалентным исходным, при условии (2.10) может осуществляться с помощью других искусственных приемов. [c.46]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Для того, чтобы из этого уравнения найти площадь поперечного сечения Р, необходимо знать величину коэффициента (р, значение которого выбирается по табл. 2.3 в зависимости от гибкости стержня %. Но для определения гибкости нужно знать размеры сечения. В связи с этим задачу следует решать методом последовательных приближений. Сначала при произвольном значении коэффициента уменьшения напряжений определяется площадь сечения, затем, задавшись формой сечения, получают величину /. По найденному значению г определяют ф . Если ф окажется близким к значению (р1, то расчет на этом заканчивается. В противном случае расчет повторяют до тех пор, пока исходное и полученное значения коэффициентов ф не окажутся достаточно близкими. [c.167]

Аналитически задача решается методом последовательных приближений. Он особенно прост и удобен, если в результате анализа исходных данных можно предположить или ламинарный режим движения, или квадратичную зону сопротивления. Ориентировочным признаком первого является высокая вязкость жидкости, второго - малая вязкость жидкости, значительная относительная шероховатость труб,. Исходя из этих предположений, выражают X по формулам (4.3) или (4.7), а затем уравнение (5.]) разрешают относительно v. Для проверки правильности решения определяют Re и сравниваю " его со значениями Re p или 500, в зависимости от выдвинутого предположения. Если предположение подтвердилось, определяют Q, если нет, то выдвигают уточненное предположение, расчет повторяется и т.д. [c.85]

Решение уравнений (1) или (7) выполняется методом последовательных приближений. В качестве исходного (нулевого) приближения для собственной функции принимаем параболическую зависимость, считая, что максимум отклонения будет на кОнце правой консоли и равен единице, т. е. г/ (г) = 1 [c.198]

Для нахождения (3 производилось решение исходной системы дифференциальных уравнений ( 1-2) методом последовательных приближений. В результате расчетов принимались те их значения, которые давали достаточно хорошее совпа дение с экспериментом, во- первых, по местоположению зоны спонтанной конденсации и, во-вторых, по )азмерам частиц на срезе сопла. [c.21]

Решение уравнения (6-53) производится методом последовательных приближений, либо графически. Для ускорения его решения в качестве исходной температуры следует подставлять термодинамически оптимальную температуру процесса пиролиза /опт- [c.162]

Уравнение (49) решают методом последовательных приближений. В качество исходного приближения можно выбрать [c.510]

В работах [25, 235] исходная задача сведена путем обращения части оператора, соответствующей задаче дифракции на отдельном круговом цилиндре, к бесконечной системе линейных уравнений второго рода. Показано, что при произвольных значениях параметров задачи решение этой системы можно получить методом усечений, обладающим в данном случае экспоненциальной сходимостью. При малом отношении радиуса цилиндров к периоду решение найдено методом последовательных приближений, что дало возможность уточнить известные ранее приближенные формулы. Проведен большой систематический анализ свойств рассеянных полей в резонансном диапазоне длин волн. В недавно появившейся работе [147] приводятся наиболее полные данные результатов экспериментального исследования периодических структур из круглых металлических брусьев. Ряд сведений о свойствах этих решеток можно найти также в работах [6, 18, 22, 74, 236, 237]. [c.64]

Метод конечных приращений. Ограниченность использования аналитических методов расчета привело к необходимости разработки приемов, обеспечивающих высокую универсальность при удовлетворительной точности анализа теплового поля. Из практических методов наибольшей универсальностью обладает метод конечных приращений, суть которого заключается в том, что дифференциалы в исходном уравнении, описывающем тепловое поле, заменяются конечными интервалами. Для каждого интервала записывают уравнение Пуассона. В результате получают систему уравнений, решая которую методом последовательных приближений с учетом заданных граничных и начальных условий, находят искомую зависимость температуры от координаты и времени. [c.32]

Расчетные точки, в соответствии со Сделанными ранее выводами, лежат ближе к навье-стоксовской кривой при числах М, близких к единице, и ближе к кривой Мотт-Смита при больших М. Однако слишком ограниченное число расчетов без доказательства сходимости метода не позволяет рассматривать полученные решения как точные. Тем не менее полученные результаты показали возможность статистического моделирования сложных молекулярных течений. Использованная схема счета до некоторой степени аналогична методу последовательных приближений, в котором в правую часть уравнения Больцмана подставляется функция распределения предыдущего приближения. Сходимость метода в существенной мере зависит от удачного выбора исходной функции распределения. [c.310]

Решение уравнения (5.1) естественно отыскивать либо в виде ряда по , либо методом последовательных приближений, приняв за исходное решение для свободномолекулярного течения ( ->0 или Кп ->оо). [c.382]

Уравнения (1.5) описывают метод последовательных приближений решения уравнения Больцмана. Интересно, что на каждом шаге надо решать одно и то же уравнение с различным неоднородным членом, который должен быть выражен через функции распределения предыдущих приближений. В этом отношении метод подобен методам Гильберта и Чепмена — Энскога здесь, однако, оператор, действующий на неизвестную функцию Ъ-п,, не просто оператор , а более сложный интегро-дифференциаль-ный оператор. Иными сл евами, уравнения, которые нужно решать, столь же сложны, как и исходное уравнение Больцмана, не считая нелинейности, которой мы избежали. Появление в каждом приближении одного и того же оператора позволяет рассмотреть лишь первое приближение, т. е. изучать уравнение [c.142]

Для решения уравнения (2. 94) методом последовательных приближений зададимся исходной функцией ф. Подставляя выбранную функцию фо в уравнение (2. 95) и пользуясь граничными условиями, получим следующее приближение. Пусть нам известно (п—П приближение функции ф. Тогда для определения п-го приближения этой функции можно написать следующее уравнение [c.130]

Выражения (2.45) и (2.8) с учетом запаса сцепления представляют собой систему двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую можно получить и Sqq. По натяжению набегающей ветви 5нб определяют число прокладок по зависимости (2,3) или проверяют запас прочности лент типа РТЛ. Если число прокладок отличается от предварительно назначенного более чем на единицу, нужно уточнить значение /ц и повторить тяговый расчет согласно методу последовательных приближений. Перед этим целесообразно найти значения натяжений во всех характерных точках тягового органа и провести проверку на допускаемый провес ленты по формулам (2.15) и (2.16) для холостой и рабочей ветвей ленты. При несоблюдении принятых норм соответствующие натяжения ленты необходимо увеличить до требуемых значений. Полученные значения будут считаться исходными для определения натяжений в остальных точках трассы. По окончательным значениям строят диаграмму натяжений по трассе конвейера. [c.135]

Линеаризация по параметру 6 заключается в разложении всех исходных соотношений уравнений равновесия, граничных условий, соотношений связи ij — oij и т. п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяюш ую развить метод последовательных приближений, если решение при 6 = 0 (компоненты нулевого приближения является известным. [c.548]

А. Метод последовательных приближений. Достаточно точный учет влияния сил трения в кинематических парах может быть осуществлен методом последовательных приближений. При этом силы трения в п—т-приближении определяются по величине нормальных реакций [п—1)-го приближения, полученного при решении точных (в пределах исходных предположений) уравнений движения. [c.227]

Перейдем к рассмотрению решения основных уравнений расчета диска на ползучесть. Для этого используем метод последовательных приближений. В исходном нулевом приближении примем, что напряжения распределяются таким же образом, как и в пределах упругости. [c.194]

Сходимость итерационных схем численного обращения оптических измерений в методе касательного зондирования определяется несколькими факторами, среди которых наиболее существенными являются аналитическая структура исходных уравнений (например, характер их нелинейности) и свойства операторов теории светорассеяния дисперсной компонентой атмосферы. Последнее в большей мере относится к численному преобразованию t->J, т. е. к системе (3.39), связанной с каждым элементарным слоем. Заметим, что особое внимание к анализу сходимости схем обращения данных в методах зондирования обусловлено не только необходимостью обоснования математической корректности предлагаемых алгоритмов, но и тем обстоятельством, что во многих случаях ее нарушение указывает на неприемлемость исходных аналитических моделей (то же самое физических предположений) для соответствующего эксперимента. Иными словами, можно утверждать, что мера соответствия априорной информации, используемой в построении схем обращения, проявляет себя в скорости их сходимости, или тоже в качестве последовательности приближенных решений, генерируемых этими схемами. Эта особенность итерационных методов делает их эффективным средством не только в получении решений, но и анализе задач в целом. Изложение этих аспектов можно найти в монографии [19 . [c.167]

В работе [30] теоретически рассмотрено затухание рэлеевских волн при распространении вдоль неровной поверхности, уравнение которой задано в виде 2 = х, у). Изложим основные результаты этой работы. Пусть твердое тело занимает полупространство Предположим, что глубина неровностей мала по сравнению с и малы наклоны поверхности по отношению к средней плоскости. Будем решать задачу методом последовательных приближений с точностью до первого приближения включительно, считая, что в нулевом приближении вдоль плоской границы в положительном направлении оси л распространяется гармоническая плоская рэлеевская волна. В первом приближении необходимо учитывать, что волна распространяется вдоль неровной поверхности, благодаря чему граничными условиями задачи будет отсутствие напряжений на поверхности г 1 х, у), а не на плоскости 2=0. Напряжения а гг, Оуг,Огг В точках поверхности г = Цл , у) будут отличны от нуля, причем их можно выразить через напряжения о1х, в исходной рэлеевской волне нулевого приближения следующим образом [c.68]

Превращение синусоидальной волны в пилообразную на спектральном языке означает обогащение исходного спектра волны кратными гармониками. Рассчитать изменение амплитуд гармоник можно различными способами. Наиболее прямой путь решения нелинейных уравнений — это решение методом последовательных приближений. Ищем решение (1.19) в виде и = -Ь -Ь +. . ., причем считаем, что Уравне- [c.189]

Уравнение (8) решают методом последовательных приближений. Для примера проведем расчет погрешностей прибора УЦК-500 по формуле (7), имея следующие исходные данные а = 24°40 50" в = —5°2l 40 max = 10 кг G = 2 кг Ф = 61° 1б 40" R = 73 мм г = 52 мм е = = 10 мм Т= 5,953 26 кг L = 76,4738 мм Ijp = 85,5 мм /рр = 176 мм. Результаты расчета в случае замены узла рейка — шестерня головки УЦК с модулем пг = 0,8 мм и диаметром делительной окружности = = 17,6 мм узлом с другим модулем и другим диаметром делительной окружности, обеспечивающим четыре оборота стрелки при полезной нагрузке 10 кг, приведены в табл. 3, откуда видно, что максимальная погрешность кинематической схемы составляет 0,008%. При этом представляется возможность уменьшить габаритные размеры прибора и значительно увеличить расстояние между штрихами или разместить 2 тыс. делений. При необходимости размещения большего числа делений применяют диапазонное уравновешивание. [c.57]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

Уравнения (45)—(47) решаются методом последовательных приближений. В исходном нулевом приближении принимается, что напряжения распределяются таким же образом, как и в пределах упругости. При подсчете напряжений в нулевом приближении температурные напряжения не учитываются. После подсчета напряжений в нулевом приближении из соотношения (47) определяется величина р. Затем по формуле (46) подсчитывается величина После этого по формулам (45) вычисляются окружное И радиальное напряжения в первом приближении. Напряжения во втором и последующем приближениях подсчитываются так же, как и в первом приближении, причем за исходные приьимаются напряжения предыдущего приближения. [c.299]

Решение этих уравнений находят методом итерации. Полагая = 1 н задаваясь исходными приближениями для г/ и ф, проводят численное интегрирование. Процесс повторяют, пока отношение сходственных величин в двух последовательных приближениях не совпадает Это отношение равно квадрату основной частоты. Функции у и ф последнего приближения принимают в качестве собственных форм колебани11. При вычислении форм высших колебаний искомая форма ортогонализируется на ках<дом шаге приближений ко всем низшим формам. [c.482]

Для вычисления и фд определяют скорость ползучести по кривым ползучести линейной интерполяцией по параметрам Т, О , т. Из-за недостатка опытных данных по ползучести материала при низких температурах (например, для сплава ХН77ТЮР до 500—600° С) считаем, что = О до некоторого значения. Это значение также задается в исходной информации. После вычисления коэффициентов (i, / = 1, 2), (р т, Фет. Фгс> Фвс расчет ведется по приведенным выше формулам. Интегральное уравнение растяжения диска решается методом последовательных приближений. Точность расчета задается. После нахождения решения интегрального уравнения, например ANr (г) при расчете на растяжение, определяют значения ANq (г), а затем вычисляют прира- [c.102]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Пользуясь данными для Я(Л), приведенными в табл. 5-6, можно вычислить по уравнению (5-32) распределение А(х) вдоль обтекаемой поверхности. При расчете удобно пользоваться методом последовательного приближения. В качестве исходного следует принять А= = соп51 и из уравнения [c.164]

В ряде случаев (например, при нелинейном законе изменения коэффициента подъемной силы сечения крыла по углам атаки) при решении интегро-дифференциального уравнения желательно применять метод последовательных приближений. Однако М. В, Келдыш показал, чтЬ процесс последовательных приближений расходится, если применять его к исходному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению. В работах Г. И. Майкапара (1944) и Г. Ф. Бураго (1947) рассматриваются различные формы обращения интегро-дифференциального уравнения и сведения его к интегральному уравнению с интегрируемым ядром, при решении которого можно использовать метод последовательных приближений. В теории несущей линии был также получен ряд частных точных решений. Г, Ф. Бураго (1947) и И. Н, Векуа (1947) получили точные решения для закрученного эллиптического крыла и для некоторого класса крыльев, являющихся обобщением эллиптического, а Я, М. Серебрийский (1944) получил точные решения для эллиптического крыла при произвольной нелинейной зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки. [c.93]

В работах [49] и [90] основные дифференциальные уравнения рещены численными методами. При этом использовано решение задачи о пластическом состоянии диска со степенным упрочнением, данное В. В. Соколовским [103]. В работе [57] задача решена методом последовательных приближений, причем в исходном нулевом приближении принимается распределение напряжений в пределах упругости. [c.264]

Теория старения в расчетах дисков на ползучесть была использована в работах Р. М. Шнейдеровича [147, 184, 185], А. Г. Костюкова [74], И. И. Трунина [160], А. Ф. Пронкина [121, 122], Милленсона и Мэнсона [248], А. В. Стрункина [158]. В большинстве этих работ задача решена по теории старения в формулировке Ю. Н. Работнова [74, 121, 122, 158, 160] в напряжениях методом последовательных приближений. В работах [147 и 185] показано, что сходимость метода лучше, если задача решается в деформациях, при условии, что в исходном нулевом приближении выбирается распределение деформаций в пределах упругости. Это, грубо говоря, объясняется тем, что различие между деформациями при деформировании в пределах и за пределами упругости меньше, чем между напряжениями. В работе 248] для решения основных уравнений использован метод конечных разностей. [c.243]

Для вычисления и Деес определяется v1 (е. ) — скорость ползучести по кривым ползучести также с помощью линейной интерполяции по трем параметрам Т, ст,, t. Из-за недостатка опытных данных по ползучести материала до 500—600° С обычно считают, что О = О до определенной температуры, например, 550 С для ХН77ТЮР. Это значение температуры также задается в исходной информации. После вычисления коэффициентов Сц (i, / = 1,2), Де,г, Asq расчет ведется по формулам предыдущего раздела. Интегральное уравнение растяжения диска решается методом последовательных приближений. Точность расчета задается. После нахождения AN/ r) из решения интегрального уравнения (3.71) определяются значения ДЛ е (г), а затем по формулам (3.61) вычисляются приращения напряжений п-го этапа Дст, и Аа п, интенсивность приращений напряжений Дст и ef,. Далее по формулам (3.10) проверяются условия нагру>кения. При этом мгновенный предел текучести Стг = = I (е Т) определяется по кривым деформирования методом линейной интерполяции. [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...