Решение уравнения (3.1.1) методом последовательных приближений

Решение уравнения (3.1.1) методом последовательных приближений [c.168]

Уравнение (3.18) рещается методом последовательных приближений, для этого находятся энтальпии газов перед ГТ и избыток воздуха по таблицам [14]. Уравнение (3.18) можно решить также графически, задав несколько значений избытка воздуха в камере сгорания 3.1 и на рис. 3.26 приведен пример решения уравнения теплового баланса КС ГТ типа ГТЭ-115-1170 (АО Турбоатом , г. Харьков) при сжигании природного газа и температуре наружного воздуха = -5 °С. [c.83]

Для нахождения (3 производилось решение исходной системы дифференциальных уравнений ( 1-2) методом последовательных приближений. В результате расчетов принимались те их значения, которые давали достаточно хорошее совпа дение с экспериментом, во- первых, по местоположению зоны спонтанной конденсации и, во-вторых, по )азмерам частиц на срезе сопла. [c.21]

Напряженно-деформированное состояние в точке определяется решением системы уравнений методом последовательных приближений [1]. В первом приближении предполагается, что текущая толщина стенки равна начальной. Деформация и напряжения изделия (рис. 1) подсчитаны решением обобщенной системы уравнений на ЭЦВМ Мир-1 . Результаты приведены на рис. 2 и 3. [c.51]

Уравнение (6) было численно проинтегрировано для небольшого интервала времени в целях проверки справедливости вышеприведенных соображений. Уравнение (10) было решено очень трудоемким методом последовательных приближений. Для небольшого интервала времени в окрестности точки = 0 приведенные выше соображения были проверены путем решения данной задачи на дифференциальном анализаторе Калифорнийского университета. Задачу решали для степеней перегрева 3, 4 и 5° С. Эти решения представлены на фиг. 1. [c.220]

Проведем ан лиз полученных интегральных уравнений. Ядро интегрального уравнения (19) вида (20), п= 1,2, 3,4, зависит от граничных условий на одной грани клина, а правая часть — от нагрузки, приложенной к другой грани. Интегральное уравнение (19) сразу дает выражение для функции Ф ( ), п= 1,2,3,4, при I/ = 1/2 или 2а = тг (полупространство), когда задачи могут быть решены более простыми методами. Исследуем применимость метода последовательных приближений для решения уравнения (19) в пространстве непрерывных ограниченных на полуоси функции j (0, оо), которому принадлежит правая часть уравнения (19). В дальнейшем сушественным образом используется равномерная сходимость в С д (0, оо) функциональных рядов Неймана по степеням (1 — 2v), представляющих решения уравнений (19), тг=1,2, 3,4, например, при обосновании законности почленного интегрирования этих рядов. [c.154]

Система уравнений теории старения не содержит производных по времени время 1 входит в качестве параметра. Для всякого фиксированного момента времени имеем задачу, вполне аналогичную соответствующей задаче теории упруго-пластических деформаций (гл. 3). Для решения последней применимы методы последовательных приближений, численные методы, вариационные методы (см. гл. 3). [c.99]

Полученные в этом параграфе уравнения позволяют найти г)) для любого заданного момента времени t. Порядок решения этих уравнений может быть следуюш,им. Сначала для заданного момента i по формуле (3.8.4) находим М. Для вычисления г[) по известному М можно воспользоваться методом последовательных приближений. Принимая в первом приближении Е = М, мы по формуле (3.8.1) вычисляем г) , а затем из (3.8.5) находим ю, после чего уравнение (3.8.3) дает нам Е. Затем в указанном порядке снова определяем г з, (о, " и т. д. [c.91]

Решение уравнений (3.8.6) и (3.8.7) ищем-методом последовательных приближений. Ниже верхний индекс i = 0, 1,. .. означает номер итерации. Принимаем ж — а/2, Л == 1, 2,. .., п. Пусть величины х известны. Подставим их в (3.8.5), (3.8.6) и, решая задачу линейных уравнений, находим Затем определяем исполь- [c.91]

Можно заметить, что, поскольку для последней ступени ракеты Ря = 0, то из уравнений (84) и (85) после исключения К получим квадратное уравнение относительно олг нужный нам корень этого уравнения определяется уравнением (53). Но такой тип уравнения для других ступеней не годится. Вся система уравнений не решается прямым методом, и любой путь ее решения включает в себя подбор и определенное количество последовательных приближений. В частности, возможна такая последовательность решения. Сначала задаемся рядом подходящих значений оптимальных величин 2 . Затем из соотношений (83) последовательно, начиная с последнего, подсчитываем значения рп. Поскольку значение 0о1 известно, то, исключив из уравнений (84) и (85) при п=1 множитель К, получаем квадратное уравнение для определения Для того чтобы подсчитать уо2, подставляем найденное значение 01 в уравнение (82) при п=1. Всю эту процедуру можно последовательно повторить для подсчета аг и оз по уравнениям (84), (85) и (82) при п=2, 3 и т. д. После того как будут сделаны эти вычисления (не требующие применения метода последовательных приближений), берем уравнения (84) или (85), или какую-нибудь удобную их комбинацию, для проверки полученных значений X. Если все полученные значения Хп окажутся равны между собой, то значит выбранные значения параметров оптимальны для какой-то результирующей величины приращения энергии АЕ= АЕ)о, которая, однако, может быть отличной от потребной величины АЕ. Если же полученные значения X различны, то применяем метод возмущений, который заключается в том, что каждому значению г последовательно придается некоторое малое приращение Э2 , и, проделав весь расчет, найдем соответствующие и ВАЕ. Тогда можно подсчитать приближенные значения производных [c.728]

Определение ai, аг методом наименьших квадратов связана с минимизацией функции Ф(аь г), заданной уравнением (6.1.4). Решение этой задачи может быть осуществлено только последовательными приближениями, поэтому использование критерия вида (6.1.4) в вычислительном отношении неудачно. Для упрощения вычислений используем так называемый критерий ошибки уравнения [13]. Для уравнения (6.1.3) выражение для критерия ошибки уравнения может быть получено с помощью следующих рас-суждений. Подставим в уравнение (6.1.3) экспериментально измеренную выходную функцию y t)-, очевидно, что при этом мы не получим тождественного равенства нулю левой части этого уравнения [c.267]

Движение вектора кинетического момента в случае эллиптической орбиты [еФО) описывается уравнениями (6.3.1). Малость множителя Л о позволяет получить приближенные решения уравнений (6,3.1) при использовании, например, метода последовательных приближений или других методов. [c.218]

В общем случае один из наиболее эффективных методов решения состоит в применении интегральных уравнений и использовании алгоритма последовательных приближений [1]. Рассмотрим задачу о контакте цилиндрических стержней (рис. 5). 132 [c.132]

Тогда решение интегрального уравнения (8.12) в классе С (—1, 1) существует и единственно (с точностью до постоянной N0), может быть найдено методом последовательных приближений, а также имеет место оценка (3.23) гл. 1. [c.95]

Для решения используем метод линейной аппроксимации или последовательных приближений. Полученное значение МзЦ) г) рассматриваем теперь как известную величину и находим первое приближение для 5(1) (г) из уравнения (3.41), которое становится квазилинейным. Далее во втором приближении снова решаем полное уравнение (3.25), причем полагаем Ms (г) = 5(1) (г) и б (г) = 1)Г определенным в первом приближении из формулы (3.32), и находим новое значение (2> (г), которое подставляем в выражение (3.32) для нахождения М5(2>(г). Линейное решение использовано частично в гл. 9 как решение для диска с учетом влияния растягивающих усилий на изгиб (восстанавливающего эффекта центробежных сил). В этом случае уравнения (3.25) и (3.32) имеют вид [c.439]

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений в этом случае они называются возмущениями по координатам. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в 1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опреде ления асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда в 1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в 1.7. [c.9]

Теперь при приближении к решению г1) =+>-> г] для всех (i,/) член в квадратных скобках становится равным нулю в силу уравнения (3.365), а уравнение (3.380) переходит в отвечающее сходимости равенство Если положить, что член в квадратных скобках равен нулю и что в точке (t,/) г1) +1 = то получится метод Либмана. В методе последовательной верхней релаксации член в квадратных скобках в уравнении (3.380) умножается на релаксационный множитель (параметр релаксации) со, где со= 1 таким образом, в общем случае невязка ri,, Ф О, но г,,,— -О при г ) + -> г] . Метод последовательной верхней релаксации приводит к уравнениям [c.183]

Численная реализация математической модели (3.1) фактически является решением системы линейных алгебраических уравнений. Поэтому сравним методы их ре-шения, которые можно разделить на две группы точные и итерационные. К точным относятся методы, позволяющие в отсутствие погрешностей вычисления получить точные решения за конечное число арифметических и логических операций. В итерационных методах, начиная с некоторого начального приближения, выполняется последовательность операций, уточняющих решение, и этот процесс повторяется до тех пор, пока решение не будет получено с заданной точностью. [c.109]

Система уравнений (3.1), (3.2) является нелияейной дифференциальной системой с переменным параметром Р, зависящим от искомых функций 00, а . Решение этой системы в явном виде не представляется возможным. Эффективное решение системы (3.1), (3.2) получается методом последовательных приближений. Для ее решения необходимо располагать двумя граничными условиями. [c.187]

Уравнение (3.18) решается методом последовательных приближений, для которого достаточное условие сходимости Д < 1, (где - И - норма в L-i i В - интегральный оператор уравнения (3.18)) априори выполняется ввиду полной аналогии метода последовательных приближений для (3.18) и альтернирующего процесса (3.15). Возможность решить задачу восстановления напряженного состояния в объеме упругого тела по экспериментальным данным на части его поверхности как корректную задачу основывается на априорной информации о принадлежности искомого решения компактному множеству корректности - множеству ограниченных вектор-функций, удовлетворяющих системе (3.6). Изложенный подход к решению поставленной задачи может быть полностью использован при [c.77]

Для вычисления и Деес определяется v1 (е. ) — скорость ползучести по кривым ползучести также с помощью линейной интерполяции по трем параметрам Т, ст,, t. Из-за недостатка опытных данных по ползучести материала до 500—600° С обычно считают, что О = О до определенной температуры, например, 550 С для ХН77ТЮР. Это значение температуры также задается в исходной информации. После вычисления коэффициентов Сц (i, / = 1,2), Де,г, Asq расчет ведется по формулам предыдущего раздела. Интегральное уравнение растяжения диска решается методом последовательных приближений. Точность расчета задается. После нахождения AN/ r) из решения интегрального уравнения (3.71) определяются значения ДЛ е (г), а затем по формулам (3.61) вычисляются приращения напряжений п-го этапа Дст, и Аа п, интенсивность приращений напряжений Дст и ef,. Далее по формулам (3.10) проверяются условия нагру>кения. При этом мгновенный предел текучести Стг = = I (е Т) определяется по кривым деформирования методом линейной интерполяции. [c.386]

Помимо этого, используется ряд методов, которые считаются релаксационными однако на самом деле они являются методами последовательных приближений и в них релаксационные методы используются для решения системы уравнений для значений v в любой заданный момент времени. Таким образом, релаксационные методы использовались для решения системы уравнений (3.11) данной главы, что позволило выразить I m, п+1 через v , в методе Кранка — Никольсона ). Важный метод подобного типа был предложен Либманом [41] ), который подставлял в соотношение (3.2) вместо (3.3) равноценное выражение [c.465]

Для приближенного решения уравнения (2)вобласти 1 Г(й (т) + 1 вновь воспользуемся методом конечных интегральных преобразований. Его применение к рассматриваемой задаче становится возможным, если произвольный временной интервал разбить на К участков длительностью Атг и считать, что в течение времени Атг= Тг+1—Ti фронт кристаллизации неподвижен и занимает положение (Тг), а в момент т= =Тг+1 мгновенно переходит в положение % (tj+l). Сообразно задача с непрерывно движущейся границей аппроксимируется последовательностью задач-с неподвижными границами (правомерность подобного рассмотрения отмечается в [1, 2, 3]). В этом случае для каждого интервала Атг задача решается методом конечных интегральных преобразований, причем начальным условием для каждого последующего интервала является решение для предыдущего интервала Атг-ь взятое в момент времени т=тг. [c.368]

Вместо метода последовательных приближений можно непосредственно решать систему 10 уравнений с 10 неизвестными. Исключая последовательно неизвестные, можно привести решение к одному уравнению с одним неизвестным. Этот метод разработан Риттером фон Штейном (Fors h. Ing. Wes. Bd 14, S. 113, 1943). Он приводит к уравнению десятой степени, которое опять-такн может быть решено только подбором. При этом из 10 решений этого уравнения следует выбрать только те, которые имеют физический смысл. Это, правда, облегчается тем, что комплексные и отрицательные решения для парциальных давлений выпадают. Штейн выполнил большое число расчетов для углеводорода с атомным отношением ПнМс=1,82 при сжигании его в чистом кислороде при Р= ат. Результаты этих расчетов показаны на рис. 212 и 213, где нанесены относительные парциальные давления или мольные отношения в функции температуры. Рис. 212 относится к сжиганию нефти со стехиометрическим количеством кислорода (3,37 кг кислорода на 1 кг нефти). Из рисунка видно, что при низких температурах образуются только СОг и НгО. При температуре примерно 2 ООО К начинает появляться СО, а затем и Ог, Нг и ОН. При 2 500° К появляются атомарные кислород О и водород Н. С росто.м температуры парциальные давления Нг, Ог, ОН и СО проходят через максимум и, начиная примерно с 5.000° К, газ практически состоит только из СО, О и Н, что сильно упрощает расчеты для этой области температур. Столь высокие температуры можно получить только при дополнительном подогреве, например, в электрической дуге, ибо теплота сгорания при исходной температуре нефти и кислорода 0°С может обеспечить только температуру горения в 3 050°К (конечно, с учетом диссоциации). [c.378]

Методы решения двух последних групп являются приближенными лишь условно, так как с их помощью можно достигнуть любой точности результатов, если решение допускает уточнение в виде учета последующих членов разложения какой-либо величины или посгроено в форме последовательных приближений, или связано с малым интервалом при определении значения исследуемой функции. Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения Эйлера — Лагранжа при исследовании экстремума функционала (например, 3) допускают точное решение или задача имеет конечное число степеней свободы (см. задачу 1.5). [c.8]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений [1, 3, 7, 11, 13] можно подразделить на две группы прямые и итерационные. Прямые методы позволяют получить решение за конечное число арифметических операций, итерационные дают лишь последовательность приближений к решению. Свойства симметрии и положительной определенности матрицы жесткости предопределяют выбор прямого метода, например метода Холец-кого или его разновидности — метода LDL -факторизации. Эффективная программная реализация различных вариантов мбтода Холецкого, ориентированная на применение МКЭ, дана в работе 13]. [c.34]

По происхождению и смыслу название метод граничных интегральных уравнений , конечно, шире, чем метод граничных элементов , поскольку предусматривает возможность решения уравнения любым из множества известных способов, а не только с помощью деления границы на элементы с аппроксимацией функций на них постоянными, полиномами или другими приближенными выражениями. Можно, например, использовать последовательные приближения, замену ядра уравнения иа близкое вырожденное ядро, разложения искомых функций в ряды и другие способы [1, 2]. Однако практически любой способ решения требует численного иитегрироваиия, которое, как правило, выполняется с делением границы иа элементы. Это, в частности, очень сближает два главных способа, используемых для решения ГИУ, — метод последовательных приближений и МГЭ в каноническом виде , т. е. решение ГИУ, сведением к алгебраиче- [c.265]

Отсюда по принципу Банаха неподвижной точки [3] следует, что решение уравнения (1.5) в Ьг(й) может быть найдепо методом последовательных приближений при I i < л5 . [c.396]

Представление (3Л) в применении к функциям ш (г), и z) или 1п г (2) на основном профиле решетки после отделения действительных и мнимых частей дает линейные интегральные уравнения относительно потенциала скорости <р, проекций иу или модуля скорости V как функций дуги профиля 8. в случае решеток из тонких профилей эти уравнения имеют указанное в 2 эффективное решение в виде квадратур для профилей произвольного вида уравнения решаются численно, путем сведения к системе линейных уравнений или последовательными приближениями. Такой способ решения прямой задачи называется обычно вихревым методом в связи с гидродинамической интерпретацией представления (3.1) при Р z) = = V z) и другим способом получения уравнений задачи в результате наложения однородного потока со скоростью иоо на поток от вихрей, распределенных по контурам профилей. Вихревой метод, как лринципиально самый простой, получил широкое распространение и применялся как для одиночных профилей (П. А. Вальтер, 1922 М. А. Лаврентьев, 1932 [c.115]

Здесь использованы те же обозначения, что и в уравнении (3.9). Методам приближенного интегрирования уравнений (6.1) посвящено весьма большое число работ. П. Ф. Папкович (1920) предложил метод, согласно которому первое уравнение (6.1) удовлетворяется приближенно — в смысле метода Бубнова, второе уравнение удовлетворяется точно, тангенциальные граничные условия — в среднем. Развитие этой идеи содержится в работах П. А. Соколова (1932), Э. И. Григолюка (1949), М. А. Колтунова (1953), А. С. Вольмира (1956), А. В. Кармишина (1956) и др. Наряду с этим для решения уравнений (6.1) применялись другие методы метод малого параметра (П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936), метод последовательных приближений (С. А. Алексеев, 1956), асимптотический метод (И. И. Ворович, 1955), метод конечных разностей (А. С. Вольмир и А. Ю. Биркган, 1963) и др. [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...