Уравнения равновесия оболочки в усилиях и моментах

Исключительно важной особенностью кинематических гипотез. Кирхгофа—Лява в теории оболочек является то, что аппроксимация возможного поля скоростей по толщине оболочки в форме, удовлетворяющей этим гипотезам, дает в качестве следствия принципа возможных скоростей менно уравнения равновесия оболочки в усилиях и момента . [c.113]

Вычислим вариацию работы внешней поверхностной нагрузки SAf, вариацию работы внешних контурных усилий 5Л и подставим их найденные значения вместе с 5П из (3.21) в вариационное уравнение (1.15), Приравнивая нулю выражения, стоящие перед вариациями независимых перемещений щ, w получим пять нелинейных дифференциальных уравнений равновесия оболочки в удельных усилиях и моментах [c.56]

Важно заметить, что уравнения равновесия (2.23) в усилиях, и моментах, являются совершенно точными.. Они справедливые для оболочки из любого материала и не связаны с какими-либо, гипотезами о характере изменения перемещений и напряжений по толщине оболочки. . . [c.82]

Возможны три основные постановки задачи о равновесии пластинок. 1) Постановка задачи в усилиях и моментах для этого необходимо написать уравнения равновесия элемента оболочки и к ним присоединить условия совместности деформаций и кривизн, выраженные через усилия и моменты, согласно (4.47). Уравнений равновесия будет, вообще говоря, пять три уравнения равновесия проекций сил Г1, Га, Г,2, Л 1> оси л , у, г и два уравнения равновесия [c.169]

Эти векторы показаны на рис. 18.9. Для изотропных линейно , упругих оболочек, приняв гипотезы а з Оц, а.22 и повторив дословно приведенные в 16.5 построения для пластин, связь между усилиями Nj, N2, N- , моментами Л ,, М2, Мц и характеристиками деформации е,, 62, 1 12, усц, 22. И12 получим в форме (16.26). Так как значения усилий и моментов при переходе от сечения к сечению изменяются, то с учетом этих изменений изображенную на рис. 18.9 картину следует уточнить, что сделано на рис. 18.10, где указан и вектор поверхностной нагрузки Составляя уравнения равновесия мембранных усилий и моментов аналогично тому, как это сделано для пластинки, получим [c.430]

Анализ уравнений теории оболочек позволяет сделать вывод, что различие напряженных состояний исходной и возмущенной оболочек вызвано изменением величин нормальных кривизн, обусловленным малыми возмущениями формы срединной поверхности оболочки. Это особенно сказывается при большом меридиональном усилии ТI, которое почти не изменяется в зависимости от геометрических размеров. Это усилие, умноженное нд кривизну меридионального сечения, входит в соответствующее уравнение равновесия и при изменении кривизны значительно изменяет остальные усилия и моменты. [c.145]

Покажем, что в теории оболочек, так же как и в теории упругости, можно построить функции напряжений, т. е., что десять усилий и моментов теории оболочек Т , S i, Si , Т , Gy, Я х, Я12, Ga, N2 можно выразить через некоторые произвольные функции и их производные так, что однородные уравнения равновесия будут тождественно (при любом выборе этих функций) удовлетворяться [38, 77]. [c.44]

Векторы / < >, Q( ), входящие в уравнения равновесия, выражаются -через внутренние усилия и моменты оболочки формулами ( 3.17) [c.74]

Приступим к выводу нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является разрешающей и полностью определяет напряженно-деформированное состояние оболочки. Первые 2N + 3 уравнений уже получены. Это уравнения равновесия в удельных усилиях и моментах (8.34). Другая группа из 2Л + 3 уравнений следует из деформационных соотношений (8.32), (8.33) и может быть записана в виде [c.175]

Любопытно, что эта неопределенность не имеет для дальнейшего изложения теории оболочек никакого значения. Оказывается, что усилия Ги, Т ,1 и моменты Мц, Мц по отдельности в теории оболочек вообще не нужны, ибо и в уравнения равновесия (по исключении из них Тщ и Т п), и в статические граничные условия эти усилия и моменты входят лишь в комбинациях, обозначенных ранее через 5 и Я. Первое было показано в п. 1.7, второе будет показано в следующем параграфе. [c.48]

Второй путь состоит в дополнении уравнений равновесия элемента оболочки (1.95) соотношениями неразрывности (1.75), записанными с помощью определяющих уравнений (I.I18) в терминах усилий и моментов. В результате получится система шести дифференциальных уравнений относительно неизвестных Т , S, All, 2 и также имеющая восьмой порядок. Определение смещений в том случае, когда усилия (а, значит, и деформации) известны, сводится к интегрированию системы из любых трех заведомо совместных уравнений (1.61). [c.53]

Если пренебрегать слагаемыми, содержащими и ъ формулах для Xj, Иа, X, то (чтобы быть последовательными) следует внести в уравнения теории оболочек еще ряд упрощений. Это можно обнаружить, подставив формулы (1.163) в выражение для потенциальной энергии оболочки (1.112) и выведя затем из него (воспользовавшись принципом минимума полной энергии) уравнения равновесия элемента срединной поверхности в смещениях. Если выполнить указанные действия, записать полученные уравнения в терминах усилий и моментов, а затем сравнить их [c.68]

Для непосредственного определения напряжений, возникающих в оболочке, удобнее оперировать с уравнениями, содержащими лишь усилия и моменты. Основными неизвестными в этом случае являются усилия Л 1, Л а, р1, Q2 и моменты Мх, Н , Н , М , для определения которых должна быть составлена система из девяти уравнений. Пять из них можно получить из условий равновесия (111.34). Наряду с этим искомые компоненты усилий и моментов должны быть такими, что соответствующие им компоненты деформации срединной поверхности удовлетворяют уравнениям неразрывности деформаций (1.35). Эти четыре уравнения, записанные в усилиях-моментах, в совокупности с условиями равновесия (111.34) и составят полную систему девяти уравнений для определения девяти неизвестных функций. [c.46]

Итак, шесть компонент усилий и моментов связаны тремя уравнениями равновесия (111.85) и с компонентами деформации — шестью соотношениями упругости (111.79). В свою очередь компоненты деформации выражаются через перемещения с помощью шести соотношений (111.75). В итоге пятнадцать искомых величин связаны между собой 15 уравнениями (111.85), (111.79) и (111.75). Эта система уравнений совпадает с полной системой уравнений, установленной непосредственно в теории оболочек Кирхгофа — Лява. [c.57]

Уравнения в усилиях-моментах. Для определения усилий и моментов имеем пять уравнений равновесия оболочки (11.9). Недостающие три уравнения получаем, внося выражения для компонент полной деформации (IX.8) в соотношения неразрывности (1.36) [c.189]

Варианты основных уравнений, относящиеся к данному направлению теории слоистых пластин и оболочек и установленные разными авторами, можно разделить на три группы. Первую составляют уравнения, выведенные преимущественно в ранних исследованиях по неклассической теории слоистых оболочек [8, 215, 253 и др. ]. Здесь уравнения равновесия пластин и оболочек устанавливаются без использования вариационных принципов по следующей схеме. При заданной кинематической гипотезе, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить кинематическим и силовым условиям межслоевого контакта и условиям на верхней и нижней граничных поверхностях оболочки, определяются традиционные усилия и моменты, которые и подставляются в уравнения равновесия либо классической теории [8, 215], либо теории, основанной на кинематической модели прямой линии [253 ]. Тем самым остается неустановленной система внутренних обобщенных усилий и моментов, соответствующая принятой геометрической модели. Математически это проявляется в заниженном порядке разрешающей системы дифференциальных уравнений, что не позволяет удовлетворить необходимому числу краевых условий и приводит к существенным погрешностям в определении напряженного состояния оболочки, особенно в зонах краевых закреплений. [c.9]

Тензоры усилий и моментов М известны из классической теории оболочек [99, 322]. Силовые тензоры 5 , Q в классической теории отсутствуют. Их появление в рамках излагаемой модели деформирования многослойных оболочек естественно и необходимо, поскольку введение дополнительных кинематических характеристик л (л , л ), л (л-, х ), описывающих явление поперечных сдвигов, означает увеличение числа степеней свободы оболочечной системы. Этим дополнительным обобщенным кинематическим параметрам и соответствуют в качестве обобщенных внутренних усилий указанные силовые тензоры, удовлетворяющие устанавливаемым ниже уравнениям равновесия. [c.50]

При исследовании деформации срединной поверхности оболочки используются некоторые ( рмулы теории поверхностей вращения, известные из дифференциальной геометрии. Вывод этих формул дается в 6.2. Соотношения между деформациями и перемещениями и уравнения равновесия рассматриваются в 6.3 и 6.4 они совпадают с соответствующими соотношениями и уравнениями изотермической теории оболочек 148, 37, И]. Соотношения между усилиями, моментами и деформациями, учитывающие температурные члены, приводятся в 6.5. [c.170]

Интегрирование в функционалах (45), (46) распространяется по всей срединной поверхности оболочки (через А обозначена мощность поверхностных и краевых внешних нагрузок). В функционале (45) варьируются поля скоростей, удовлетворяющие заданным кинематическим краевым условиям, в функционале (46) — поля усилий и моментов, удовлетворяющие заданным статическим краевым условиям и уравнениям равновесия. [c.116]

Уравнения, связывающие усилия и моменты, действующие в трехслойной пластинке или оболочке могут быть получены из рассмотрения условий равновесия элемента, выделенного из трехслойного пакета. Таким путем получается система из пяти дифференциальных уравнений относительно изгибающих моментов Aix, Му, крутящего момента Я, усилий в срединной поверхности среднего слоя Nx, Ny, Т и перерезывающих сил Qx, Qy. Для трехслойной весьма пологой оболочки система уравнений при изгибе имеет вид [c.248]

Более употребительным является метод сил. Он состоит в том, что к трем уравнениям равновесия (30) присоединяют уравнения неразрывности (16), записанные с помощью соотношений (38) через усилия и моменты. Получаемая при этом для шести искомых функций (Na, Т, N , Ма, Н, М ) система шести дифференциальных уравнений имеет также восьмой порядок. Эта система довольно сложна и содержит много малых, несущественных членов. Для ее упрощения обычно используют различные соображения физического характера, основанные на имеющемся представлении о характере работы оболочки. Широко используют и так называемую статико-геометрическую аналогию [7, 28, 29], согласно которой каждому статическому соотношению (величине) отвечают соответствующие геометрические (деформационные). Проявлением этой аналогии является то обстоятельство, что однородные уравнения равновесия (30) при да = % = Яп — О переходят в уравнения [c.641]

Так как система напряжений приведена к статически эквивалентной системе упругих усилий и моментов в срединной поверхности оболочки, уравнения равновесия запишутся в форме (17) с граничными условиями канонического вида (23). [c.236]

Для всех типов оболочек, используемых в расчетной схеме поршней, могут быть составлены уравнения равновесия в виде системы из шести дифференциальных уравнений первого порядка относительно обобщенных перемещений и усилий. Эта система решается для каждой из оболочек, входящих в расчетную схему, при воздействии единичных краевых нагрузок (усилий и моментов на контурах сопряжения), а также при действии сил давления газов и неравномерного нагрева (по толщине и меридиану), но при отсутствии краевых нагрузок. В результате решения системы уравнений находят возникающие при этом линейные и угловые перемещения. Используя метод сил, исходя из условий сопряжения элементов расчетной схемы поршня между собой по равенству радиальных и осевых усилий, изгибающих моментов, а также линейных и угловых перемещений, составляют систему ли- [c.134]

Линейные уравнения равновесия в усилиях. Пусть, по-прежнему, X — координата вдоль образующей, 5 — координата по дуге поперечного круга Р — радиус исходной поверхности оболочки, — полные удельные тангенциальные усилия Q2 — полная удельная поперечная сила Рг —удельная поперечная сила, воспринимаемая заполнителем — полные удельные изгибающие и крутящие моменты — обобщенные изгибающие и крутящие моменты р , д—внешние тангенциальные и нормальные нагрузки. Уравнения равновесия для сформулированной выше постановки в удельных усилиях и моментах будут иметь вид [c.97]

В четввртой главе строго выводятся уравнения равновесия и движения оболочки е усилиях и моментах. Доны различные формы уравнений [c.3]

Значительный вклад в теорию оболочек внес А. Л. Гольденвейзер. Им были введены уравнения неразрывности деформаций [34], которые являются аналогом известных уравнений Сен-Венана в общей теории упругости. Тем самым открылась возможность решения задач теории оболочек непосредственно в усилиях и моментах, не прибегая к предварительному определению смещений. При этом обнаружилось примечательное подобие вновь выведенных уравнений неразрывности и более полувека используемых уравнений равновесия оболочки, получившее название статико-геометрической аналогии. Указанная аналогия позволяет тождественно удовлетворить уравнениям равновесия путем введения четырех функций напряжения (что было подмечено почти одновременно А. Л. Гольденвейзером [35] и А. И. Лурье [78]). [c.8]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Исходным пунктом построения равноваоного КЭ тонкой оболочки является функционал (2.1) в предположении точного удовлетворении усилиями и моментами уравнений равновесия [c.218]

Очевидно, что выражение таким образом усилия и моменты будут удовлетворять шести однородным скалярным уравнениям равновесия теории оболочек, какими бы ни были достаточное число раз дифференцируемые функции напряжения а , а , с, %. Это значит, что последние играют в теории оболочек такую же роль, как функции Максвелла—Морера в теории упругости. [c.46]

В четвертое и пятое уравнения (3.19.11) усилия Ni и входят алгебраически (это свойство сохраняется и в том случае, когда срединная поверхность отнесена к произвольной системе координат). Пользуясь этим, можнб в первых трех уравнениях (3.19.11) исключить N i, и получить три уравнения относительно усилий и моментов Т , Т , S i, Gi, Gg, которые в свою очередь выражаются через компоненты деформации е,, е , (О, Ki, К2, т с помощью уравнений состояния (5.34.11) или какого-либо другого варианта этих уравнений. Наконец, формулами (4.26.2), (4.26.5) компоненты деформации выражаются через перемещения, что и приводит нас к трем уравнениям равновесия в перемещениях и , и , w. Эти уравнения очень громоздки и в расчетах используются редко. Они, конечно, зависят от того, какой вариант уравнений состояния был использован при их выводе. Для общего случая мы не будем приводить эти уравнения. Пример их применения будет дан в части V при рассмотрении задачи р круговой цилиндрической Оболочке. [c.75]

В заключение заметим, что Г. И. Пшеничнов выводил континуальные уравнения, описывающие деформирование решеток, основываясь на принятии некоторых соотношений, связывающих усилия и моменты с соответствующими деформациями (уравнения состояния). В данной же работе ребра учитывались естественным образом njrreM подсчета их реакций на деформацию оболочки и включения этих реакций в число действующих сил. Таким образом, уравнения 15.71)—(15.72) порождены операторами уравнений равновесия теории тонких стержней, а соответствующие уравнения в работе 1151]—операторами уравнений равновесия теории оболочек и уравнениями состояния. Приведенные примеры показали, что эти два подхода согласуются. [c.518]

Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А, Л. Гольденвейзер (1939) А, И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А, Н. Кильчевский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания. [c.229]

Это направление со временем получило значительное развитие — расширилась номенклатура объектов, а также сфера воздействий на оболочку. Отметим здесь только некоторые работы, посвященные задачам равновесия цилиндрических оболочек (Н. И. Ремизова, 1959), оболочек вращения (Г. И. Ткачук, 1961) и пологих оболочек (Б. Н. Фрадлин и С. М. Шахнов-ский, 1958), исследованию динамики оболочек с привлечением аппарата операционного исчисления (Н. А. Кильчевский, 1955), представлению интегро-дифференциальных уравнений оболочек в усилиях-моментах (Н. И. Ремизова, 1962). [c.241]

Приведенные в гл. 20 т. 1 уравнения равновесия оболочки, а также соотношения между компонентами смещения и деформациями срединной повер (ности и краевые условия [см. формулы (14), (30), (31)] не связаны со свойствами материала, поэтому в случае неупругой оболочки они остаются в силе без изменений. Если упрочнение материала описывается уравнениями де рмационной теории (см. гл. 3 т. 1), то приведенные в гл. 20 т. 1 [формулы (38)] зависимости между усилиями Л а, Т, моментами Ма, Н и деформациями срединной поверхности (ва, 8д, у, Хц, Ир, т) заменяют следующими [1, 19] [c.97]

Малые смещения. Переходя теперь к теории равновесия оболочек, испытывающих действие внешних сил, мы будем предполагать, что смещение всюду мало. Уравнения равновесия (45) и (46) 331 представляют собой систему шести уравнений, связывающих шесть компонентов упругого усилия Г,,. .. и четыре компонента упругого момента О,,. .. с компонентами смещения (и, V, хг>). Шесть величин р[,. .., входящих в эти уравнения, выражаются через и, V, чю по формулам (24) и (25) 326. Если считать достаточным первое приближение для упругого усилия и момента, то четыре из шести компонентов первого и все компоненты второго выражаются через величины г,, .,, ш и XJ, Хд, т по формулам (36) и (37) 329 эти же последние выражаются через и, V, чю по формулам (21) и (26) 326. Мы имеем, таким образом, систему шести диференциальных уравнений для определения пяти вгличин ЛА,, и, V, ш.. При рзшении этой системы отбрасываются все члены порядка выше первого относительно величин ЛА Л 2, н, и, w. [c.592]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...